2023-2024学年广东省四校高一上学期10月联考数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省四校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗对于①，，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③错误；对于④，为数集，为点集，故④错误；所以正确写法的个数为1个.故选：A.2.下面命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，则，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若，则，又，，即，C正确；对于D，若，，，，则，，此时，D错误.故选：C.3.已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，，则.故选：D.4.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗命题“”为真命题，则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分必要条件为，故选项B不符合题意；对于A选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于C选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，符合题意；对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，不符合题意.故选：C.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或，因此，函数的定义域为．故选：B．6.设正实数、、满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号故的最大值为.故选：C.7.甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（）．A.甲和丁 B.乙和丙C甲和丙 D.乙和丁〖答案〗C〖解析〗由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”，所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾；若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖．即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙.故选：C8.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得或，由，即，得，，当，即时，不等式解为，此时不等式组的解集为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；当，即时，不等式的解为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；综上所述，的取值范围为.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.函数的最小值为2B.若，则C.函数值域为D.函数与函数为同一个函数〖答案〗BC〖解析〗A：，若，显然该方程无实数解，故，所以，因此最小值不是2，所以本选项不正确；B：因为，所以，即，因此本选项正确；C：因为，所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；D：由可知：，所以函数的定义域为，由函数可知，或，所以函数的定义域为或，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确.故选：BC.10.给定命题，都有．若命题p为假命题，则实数m可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗AB〖解析〗若为假命题，则，，解不等式得，所以.故选：AB.11.下列四个命题中正确的是（）A.由所确定的实数集合为B.“是方程的实数根”的充要条件是“”C.若，且，则，，，中的最大值是D.中含有三个元素〖答案〗ABC〖解析〗选项A：当，时，；当时，；当，时，，所有的所有可能的值组成集合，故A正确；选项B：充分性：当时，；必要性：当时，，由方程得，即，故上方程的实数根，B正确；选项C：因为，且，所以，，故，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，因为，所以；同理，综上所述，上述四个式子中最大值为，故C正确；对于选项：若满足，，则是6的正因数，又6的正因数有，由此可列出以下表格：1236210-3因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D错误．故选：ABC．12.已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.B.当时，函数的最大值为C.关于的不等式的解为或D.若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项，二次函数图象开口向上，故，对称轴为，故，图象与轴交点在轴正半轴，故，所以，故，A正确；B选项，因为，故，因为，所以，当时，随着的增大而减小，所以时，取得最大值，最大值为，B错误；C选项，因为，所以，，故不等式变形为，因为，，解得：或，故C正确；D选项，，当时，取得最小值，最小值为，，当时，取得最小值，最小值为，所以，即，所以，即，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，第13-15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分.13.已知函数，则函数的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，令，解得，所以.故〖答案〗为：.14.已知集合，若，则__________．〖答案〗〖解析〗集合，解得，则．故〖答案〗为：.15.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.〖答案〗9〖解析〗把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故〖答案〗为：9.16.一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率小数点后第位上的数字为，则是的函数，设．则（1）的值域为__________；（2）函数与函数的交点有__________个．〖答案〗；2〖解析〗（1）根据函数的定义可知，每一个都对应圆周率上的唯一的数字，即对任意的的值总为，所以值域为；（2）若有交点，则，可得或2或3，由于，当时，，当时，，当时，，而，故函数与函数的交点有2个．故〖答案〗为：；.四､解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）已知．求的最小值．（2）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为．该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？最低为多少？解：（1），当且仅当时取等号，故的最小值为2.（2）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，，当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．18.设集合，集合．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）由题意得，，即，化简得：，即，解得：，经检验当，满足，当，满足，.（2），故，①当为空集，则，即，得或；②当为单元素集，则，即，得或，当，舍去；当符合；③当为双元素集，则，则有，无解；综上：实数的取值范围为.19.设命题P：实数x满足；命题q：实数x满足.（1）若，且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解：（1）由不等式，可得，当时，解得，即p为真时，，由，可得，解得，即q为真时，，若都为真时，实数x的取值范围是.（2）由不等式，可得，因为，所以，即p为真时，不等式的解集为，又由不等式，可得，即q为真时，不等式的解集为，设，因为是的充分不必要条件，可得集合是的真子集，则，解得，所以实数m的取值范围是.20.已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义法证明；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）在区间上单调递增，设，，且，则，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在区间上单调递增.（2）由（1）知在区间上单调递增，则当时，有最小值为1，因为对恒成立，所以，所以，所以的取值范围为.21.已知二次函数满足，且．（1）求的〖解析〗式；（2）求函数在区间，上的最大值．解：（1）设，则，因为，所以，故，解得：又所以，所以.（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为，当时，，所以此时函数的最大值为；当时，，所以此时函数的最大值为；综上：．22.已知函数.（1）若的定义域为[－2,1]，求实数a的值；（2）若的定义域为R，求实数a的取值范围．解：（1）命题等价于不等式的解集为，显然，如图：且、是方程的两根，，解得：.（2）①若，即，当时，，定义域为R，满足题意；当时，，定义域不为R，不满足题意；②若，为二次函数，定义域为R，对恒成立，；综合①、②得a取值范围.广东省四校2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗对于①，，故①错误；对于②，，故②正确；对于③，，故③错误；对于④，为数集，为点集，故④错误；所以正确写法的个数为1个.故选：A.2.下面命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，若，则，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若，则，又，，即，C正确；对于D，若，，，，则，，此时，D错误.故选：C.3.已知集合，集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗集合，，，则.故选：D.4.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗命题“”为真命题，则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分必要条件为，故选项B不符合题意；对于A选项，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于C选项，得不到，能得到，所以是的必要不充分条件，符合题意；对于D选项，能得到，得不到，所以是的充分不必要条件，不符合题意.故选：C.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或，因此，函数的定义域为．故选：B．6.设正实数、、满足，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号故的最大值为.故选：C.7.甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：我不会获奖，丙获奖；乙预测说：甲和丁中有一人获奖；丙预测说：甲的猜测是对的；丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中．成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（）．A.甲和丁 B.乙和丙C甲和丙 D.乙和丁〖答案〗C〖解析〗由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”，所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾；若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖．即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙.故选：C8.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得或，由，即，得，，当，即时，不等式解为，此时不等式组的解集为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；当，即时，不等式的解为，又因为不等式组仅有一个整数解，则，解得；综上所述，的取值范围为.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.函数的最小值为2B.若，则C.函数值域为D.函数与函数为同一个函数〖答案〗BC〖解析〗A：，若，显然该方程无实数解，故，所以，因此最小值不是2，所以本选项不正确；B：因为，所以，即，因此本选项正确；C：因为，所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；D：由可知：，所以函数的定义域为，由函数可知，或，所以函数的定义域为或，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确.故选：BC.10.给定命题，都有．若命题p为假命题，则实数m可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗AB〖解析〗若为假命题，则，，解不等式得，所以.故选：AB.11.下列四个命题中正确的是（）A.由所确定的实数集合为B.“是方程的实数根”的充要条件是“”C.若，且，则，，，中的最大值是D.中含有三个元素〖答案〗ABC〖解析〗选项A：当，时，；当时，；当，时，，所有的所有可能的值组成集合，故A正确；选项B：充分性：当时，；必要性：当时，，由方程得，即，故上方程的实数根，B正确；选项C：因为，且，所以，，故，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，因为，所以；同理，综上所述，上述四个式子中最大值为，故C正确；对于选项：若满足，，则是6的正因数，又6的正因数有，由此可列出以下表格：1236210-3因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D错误．故选：ABC．12.已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.B.当时，函数的最大值为C.关于的不等式的解为或D.若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则〖答案〗ACD〖解析〗A选项，二次函数图象开口向上，故，对称轴为，故，图象与轴交点在轴正半轴，故，所以，故，A正确；B选项，因为，故，因为，所以，当时，随着的增大而减小，所以时，取得最大值，最大值为，B错误；C选项，因为，所以，，故不等式变形为，因为，，解得：或，故C正确；D选项，，当时，取得最小值，最小值为，，当时，取得最小值，最小值为，所以，即，所以，即，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，第13-15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分.13.已知函数，则函数的值为__________.〖答案〗〖解析〗因为，令，解得，所以.故〖答案〗为：.14.已知集合，若，则__________．〖答案〗〖解析〗集合，解得，则．故〖答案〗为：.15.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.〖答案〗9〖解析〗把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故〖答案〗为：9.16.一位少年能将圆周率准确记忆到小数点后面200位，更神奇的是提问小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．记圆周率小数点后第位上的数字为，则是的函数，设．则（1）的值域为__________；（2）函数与函数的交点有__________个．〖答案〗；2〖解析〗（1）根据函数的定义可知，每一个都对应圆周率上的唯一的数字，即对任意的的值总为，所以值域为；（2）若有交点，则，可得或2或3，由于，当时，，当时，，当时，，而，故函数与函数的交点有2个．故〖答案〗为：；.四､解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）已知．求的最小值．（2）某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为．该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？最低为多少？解：（1），当且仅当时取等号，故的最小值为2.（2）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，，当且仅当，即时等号成立，故该单位月处理量为