浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题

2023学年第二学期期末测试卷高二数学学科试卷第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）A. B. C. D.2.已知），若为纯虚数，则（）A.1 B.2 C.或 D.1或23.已知函数与是互为反函数，则（）A. B. C. D.4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（）A. B. C. D.5.已知平面，，，若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（）A. B. C. D.7.若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，为两个随机事件，且，，则（）A.当和互斥时，B.当和互斥时，C.当和相互独立时，D.当和相互独立时，10.若关于的一元二次不等式的解集为，则（）A. B.C. D.11.已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则______.13.已知正实数满足，则______.14.已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量，是不共线的单位向量，且向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求.16.（15分）已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称.（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域.17.（15分）为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）.（1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数；（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差.18.（17分）如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且.（1）求证：平面平面；（2）已知.（i）若，求证：平面；（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19.（17分）已知函数.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，记函数在上的最小值为.（i）求；（ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围.

2023学年第二学期期末考试高二数学学科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案ABDABCCD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。题号91011答案ABDBCDBC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.； 13.34； 14.7；（第一空3分；第二空2分）四、解答题：本大题共5小题，共77分。15.（1）因为，所以存在实数，使得，即，，所以；（2）因为，所以，即，所以即因为，所以.所以16.（1）由题意得，，.所以，所以，又因为，所以.所以（2）由得，，所以所以函数的值域为17.（1），即男生一周运动时长的平均数为7.3；中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为，运动时长为的概率为，所以中位数落在区间内，由，得到，即中位数为.（2）该班级全体学生一周内运动时长的平均数，所以该班级全体学生一周内运动时长的方差18.（1）由题可知为正三角形，取中点，连接，则，且，在中，，，，，所以，所以在中，，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（也可以连接，证明平面）（2）①取中点，连接，，在中，因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，而，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为，所以平面平面，因为平面，所以平面.（也可取中点，证明）②过作交于点，过作交于，设与交于点，连接，，，同①，易证平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以，由（1）可知平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角，所以，因为，所以，在中，，所以，在中，，所以，所以，所以，解得或，因为，故.（注：本题若用坐标系也给相应的分数）19.（1）因为，所以所以.（2）（i）①若，则，当时，对称轴，所以在上单调递增，当时，若，即，则在上单