湖北省孝感市方子高级中学2024届高三第一次模拟数学试题

2024年湖北省孝感市方子高级中学高考数学第一次模拟数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）已知集合，则（）A.B.C.D.2.（5分）下列条件一定能确定一个平面的是（）A.空间三个点B.空间一条直线和一个点C.两条相互垂直的直线D.两条相互平行的直线3.（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为，则这组数据的第60百分位数是（）A.7B.7.5C.8D.94.（5分）已知向量，若，则（）A.3B.-1C.2D.45.（5分）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.6.（5分）“”是“函数的图像关于中心对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.（5分）如图，在三棱柱中，为的中点为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为2，则（）A.B.C.D.8.（5分）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9.（5分）今年“五一”假期，各大商业综合体､超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中将的概率为0.2，则（）A.小王和小张都中奖的概率为0.08B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92（多选）10.（5分）已知，则（）A.B.C.D.（多选）11.（5分）已知函数，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最小值为D.（多选）12.（5分）已知函数和的图象与直线的交点分别为，则（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（5分）命题“”的否定是__________.14.（5分）已知圆锥的母线长为1，底面半径为，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则__________.15.（5分）已知函数为偶函数，则__________.16.（5分）已知函数（其中）的部分图象如图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若为边上一点，，求的面积.18.（12分）已知函数且.（1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；（2）若，求实数的取值范围.19.（12分）已知函数，其中.（1）若函数的最大值是最小值的5倍，求的值；（2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，若，求的值.20.（12分）如图，在三棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21.（12分）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”.某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）在这100名业主中，求评分在区间的人数与评分在区间的人数之差；（2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；（3）若小区物业服务满意度（满意度）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训.请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）22.（12分）如图，在五面体中，面是边长为2的正方形，三角形是等边三角形，且.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成二面角的正弦值为，求的长.2024年湖北省孝感市方子高级中学高考数学第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解.【解答】解：集合，故.故选：C.【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.2.【分析】根据题意，由空间中点线面的位置关系分析选项，综合可得答案.【解答】解：根据题意，依次分析选项：由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确.故选：D.【点评】本题考查平面的基本性质，空间直线､平面的位置关系，属于基础题.3.【分析】把该组数据从小到大排列，计算，从而找出对应的第75百分位数.【解答】解：依题意可得这组数据从小到大排列为，，所以这组数据的第60百分位数为7.故选：A.【点评】本题主要考查百分位数的求解，属于基础题.4.【分析】由平面向量平行的坐标表示建立方程，求解即可.【解答】解：因为，所以，又因为，所以，解得.故选：A.【点评】本题考查平面向量的坐标表示，属于基础题.5.【分析】将不等式转化为，利用基本不等式求出的最小值，从而可得的范围.【解答】解：由，有，又由（当且仅当时取等号），可得.故选：A.【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题.6.【分析】分别根据正弦函数和正切函数的图像的对称性，可得对应的的值，再由充分必要条件的概念，得解.【解答】解：若，则，若函数的图像关于中心对称，则，所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分必要条件的判断，三角函数图像的对称性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.7.【分析】根据面面平行的判定定理证明平面平面，再由平面可得点的轨迹为线段，据此即可得解.【解答】解：如图，取的中点的中点，连接，由，又平面平面，所以平面，同理可得平面，又平面所以平面平面，又平面，故点的轨迹为线段，又由，可得.故选：B.【点评】本题主要考查了线面平行和面面平行的判定定理，属于中档题.8.【分析】由题知，该分段函数是增函数，因此只需在每一段上都是增函数，且在分界点处满足不减即可.【解答】解：因为对于，都有成立，所以函数是增函数，则函数在上单调递增，所以①；同时，在上单调递增，则，即②；且有，即③；联立①②③得.故选：C.【点评】本题考查分段函数单调性，以及一次函数与指数函数单调性的判断，属于中档题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率公式即可求解.【解答】解：A：由题意知：小王和小张都中奖的概率为，故A正确；B：小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；C：小王和小张中只有一个人中奖的概率为，故C正确；D：小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.故选：ACD.【点评】本题考查了互斥事件的概率公式的应用，属于基础题.10.【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式化简求解即可，注意的合理运用.【解答】解：，对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C，故C错误；对于D，故D错误.故选：AB.【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系的运用，是基础题.11.【分析】由已知结合对数函数的性质及函数图象的变化可得，即可判断A，B，然后结合基本不等式检验选项C，D即可.【解答】解：因为函数，且，所以-，且，所以，即A正确，B错误；，当且仅当，即时取等号，但显然与已知矛盾，错误；，当且仅当时取等号，但显然等号无法取得，故D正确.故选：AD.【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式的应用，属于中档题.12.【分析】由题意可得两点的中点为（1，1），从而可得，且，即可判断AB；由，即可判断C；由，即可判断D.【解答】解：因为函数和互为反函数，所以函数和的图象关于直线对称，由解得，又因为直线与直线垂直，所以两点的中点为，所以，且，所以A正确，B错误；由，可得，所以C正确；，所以D正确.故选：ACD.【点评】本题主要考查了指数及对数函数对称性的应用，属于中档题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解.【解答】解：命题“”的否定是“”.故答案为：.【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.14.【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，得到扇形的圆心角为，然后列等式求解.【解答】解：圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，可知扇形的圆心角为，由弧长公式可得，即，则.故答案为：3.【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，考查弧长公式的应用，是基础题.15.【分析】求得函数的定义域为，再由求解即可.【解答】解：由，可得，又因为函数为偶函数，所以又因为，所以，解得.当时，，.故.故答案为：1.【点评】本题考查了偶函数的性质，属于基础题.16.【分析】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，可知为其对称轴，进而可求周期，利用周期公式可求的值，由，结合，可求，由，可求的值，可得函数解析式，进而利用正弦函数的性质即可求解.【解答】解：由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为，由图可知为其对称轴，则，解出，由于，故，则，因为，所以，于是，由于，故，因此，易知，因为在上有且仅有两个零点，所以.故答案为：.【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.【分析】（1）利用正弦定理以及余弦函数的性质即可求解；（2）利用余弦定理求出的值，由此得出的值，再利用三角形的面积公式即可求解.【解答】解：（1）由正弦定理有，由，有，又由，有，由，则，又由，可得；（2）在中，利用余弦定理，，将代入，化简有.解出或（舍去），由于，则，因此的面积为.【点评】本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.18.【分析】（1）根据题意，由对数函数的性质可得，解可得函数的定义域，由函数奇偶性的定义证明可得结论；（2）根据题意，设，分析其单调性，分与两种情况讨论函数的单调性，由此可得关于的不等式，解可得答案.【解答】解：（1）根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，为奇函数，证明如下：函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，（2）根据题意，函数，定义域为，设，则，易得，在上为增函数，当时，在上为增函数，此时函数在为增函数，，解可得：，即的取值范围为；当时，在上为减函数，此时函数在为减函数，，解可得：，即的取值范围为；故当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.19.【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到方程，解得即可；（2）依题意可得，令，求出，即可求出，从而得解.【解答】解：（1）因为，所以，当时，，当时，，由，解得，故；（2）当时，，令，有，有或，可得或，取，可得，又由，有，解得，故.【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，属于中档题.20.【分析】（1）作，垂足为，可得，又，可得平面，根据线面垂直的性质即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量即可求二面角的余弦值.【解答】解：（1）证明：如图，作，垂足为，连接，，且，是等腰直角三角形，又，，又，由余弦定理得，，平面，又平面，.（2）平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，则，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知是锐角，.【点评】本题考查线面垂直､线线垂直的判定与性质､二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21.【分析】（1）由题意，先求出评分在区间的人数，进而即可求解；（2）根据众数和百分位数的定义以及计算方法，列出等式进行求解即可；（3）先求出业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分，得到小区物业服务满意度，进而即可求解.【解答】解：（1）易知评分在区间的人数分别为，所以评分在区间的人数