数学（北师大版必修4）练习活页作业13向量的减法

活页作业(十三)向量的减法基础巩固1．化简eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))，所得的结果是()A．eq\o(MP,\s\up6(→)) B．eq\o(NP,\s\up6(→))C．0 D．eq\o(MN,\s\up6(→))解析：eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝0.答案：C2．已知向量a∥b且|a|＞|b|＞0，则向量a－b的方向()A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同 D．无法确定解析：a∥b且|a|＞|b|＞0，则当a，b反向时，a－b的方向与a方向相同；当a，b同向时，∵|a|＞|b|，∴a－b的方向仍与a方向相同．答案：A3.eq\o(AC,\s\up6(→))可以写成①eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；④eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)).其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).答案：D4．在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c解析：eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.答案：A5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，则|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝()A．8 B．4C．2 D．1解析：由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，可知eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，那么AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2.答案：C6．在△ABC中，D是BC边的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝________________________.解析：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.答案：07.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________________________.解析：原式＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→)).答案：eq\o(CA,\s\up6(→))8．化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝________________________.解析：原式＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).答案：eq\o(BC,\s\up6(→))9.如图所示，在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，对角线AC与BD交于点O，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，请用a和b表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).解：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－b－a.10．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).证明：如图所示，在四边形CDEF中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).①在四边形ABFE中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).②由①＋②，得eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．∵E，F分别是AD，BC的中点，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).11．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.解：以OA，OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，由向量的三角形法则和平行四边形法则，可得a＋b＝eq\o(OC,\s\up6(→))，a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).又|a|＝|b|，∴平行四边形OBCA为菱形．∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，|a－b|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2.12．如图，在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.(2)由(1)知，a＋b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up6(→))，a＋b与a－b所在直线垂直，即AC⊥BD．又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.(3)|a＋b|＝|a－b|，即|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.∵矩形的对角线相等，∴当a与b垂直时，满足|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能．因为□ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量．智能提升13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，cos∠DAB＝eq\f(1,2)，求|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|与|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|.解：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→)).∴四边形ABCD为平行四边形．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，∴□ABCD为菱形．∵cos∠DAB＝eq\f(1,2)，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝eq\f(π,3).∴△ABD为正三角形．∴|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.14．已知向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，|a|＝4，|b|＝6，求|a＋b|的最大值和最小值．解：方法一由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可得|a＋b|max＝|a|＋|b|＝4＋6＝10，此时a与b同向；|a－b|min＝||a|－|b||＝|4－6|＝2，此时a与b反向．方法二(1)a，b不共线时，连接O，A，B三点所得线段可构成三角形，由两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可得2＜|a＋b|＜10.(2)当a，b共线时，要分同向和反向两种情况来看．若向量a，b同向，则可得|a＋b|＝10；若向量a，b反向，则|a＋b|＝2.综上可得，|a＋b|的最大值为10，最小值为2.15．已知A，B，C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求证：O是△ABC的重心．证明：由于eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))是与eq\o(OA,\s\up6(→))方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB，OC为相邻的两边作□BOCD，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,