高中数学：数形结合全总结

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高中数学：数形结合全总结

一、数形结合的三个原则

一、等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将

会出现漏洞.首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量

（包括自变量和因变量）的取值范围。

例1.解不等式有匚>x-l.

［分析］令，3-X=yt则)1="(.x-3)(y>0)，它‘衣

示抛物线的上半支.令7=丫-1表示一条直线.作出图

象求解.

【解】作出抛物线_/=-(X一3)()，20),以及直线了=

X-1.

V=X-1»

解方程组1/得x=2或尤=一1(舍去).

y'=-(x-3),

由图象可知，当x<2时不等式JT二7>x-l成立，所

以原不等式的解集为3x<2}.

【点拨解疑】一般地，形如Vax+bx+c>nix+〃(亦

可<)的不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出

图象的函数或方程都可试用此法.如一3V，V2等.

X

二、双向性原则

既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说

明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题

变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简

单轻松.

例2.若当P(“〃)为圆/+(y_])2=1上任意一点时,

不等式〃2+/I+C>。恒成立，则C的取值范闱是()

A.—1—yfl<C<y/2—1B.yfl.—I<C<y/2+1

C.c<-V2-1D.c>VI-1

【解析】由〃?+/Z+CNO,可以看作是点P(〃7,〃)在直

线x+y+c=O的右侧，而点P(m,〃)在圆

父+(y-1)'=I上，实质相当于是丁+(yT)'=1

在直线的右侧并与它相离或相切。

O+1+c>0,

/.q0+1+c|/.c>71-1,故选D。

本题如果用三角换兀，比上面的方法更轻松。

【另解】不等式"7+n+c>0恒成立:等价于c>-m-n.

由题意，令〃z=cos6,n=sin0+\,

••一HI—//=-cos0—sin0—1=—^2'sin(0H—)—1Il*J

最大值为-1,，c2yfl-1.故选D.

三、简单性原则

不要为了"数形结合"而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和

是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确

界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直

线中含有参数)与定二次曲线.

掌握几种工具：

(1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆，正态

分布图，向量：

(2)借助于函数图象；熟练掌握下列各类函数的图

像画法：

y=kx+b]

v=ax*+bx+c=a(x-h)'+k=a(x-阳)(x-x,)

y=fl|.r-h\+k

y=|x-+卜-b\

y=-司-\x-b\

y=/(N)

y=|/(x)|

cix+b

y=------

ex+d

ax~+bx+c

y=―；-----------

ex'+fx+g

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=a"

y=k**

y=ax1+bx'+ex+d

(3)区域(如线性规划)；

(4)借助于方程的曲线，联想圆，椭圆，双曲线，抛物

线等；

(5)借助数式结构特征，广泛联想。

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数

与形进行巧妙地转化.

(I)将a>0与距离互化;

(2)将M与面积互化；

(3)a'+b~+ab=a~+b~-2|fz||/?|cos3(6=60°

或8=120。)与余弦定理沟通；

(4)将“之匕之c>0且匕+c>〃中的。、b、c与二角

形的三边沟通：

(5)将仃序实数对(或复数)和点沟通；

(6)将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应

的圆锥曲线对应；

(7)遇分式联想斜率、点到直线距离公式、导数定义；

(8)遇根式联想两点间距离公式.

这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个

图形(平面的或“.体的).

二、数形结合的应用

一、利用数轴、韦恩图求集合

利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事

半功倍的效果。

例1-1.如图，/是全集，M、P、S是/的3个子集,

则阴影部分所表示的集合是（）

A.(MAP)AS及(MC1P)US

C.（M口叩口弘

【解析】阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合

语言就是何np），且在s的外部（转化为集合语言

就是，S）,故选C.通过上述例子，我们知道，当应用

题中牵涉到集合的交集、井集、补集时，用韦恩图比用

数轴法简便。

二、数形结合在解析几何中的应用

解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出

题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数

学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.

构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合

的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：

(1)6)、(m,〃)连线的斜率：

a-"7

(2)+(b-n):一(",b)、(m,〃)之间的距离:

(3)ci2-^b2=c1^a.b、c为直角三角形的三边；

(4)f(a-A)=f(b+.x)<->，(x)图象的对称轴为K=A+B

2

(5)d"包二q点到直线的距离公式.

VA2+B2

(-)与斜率有关的问题

例2-1.如果实数满足等式(x-2『+y：=3,求上

X

的最大值__________.

V

【解析】本题作为代数问题的形式，二的最大值不易直

X

接求出，若用数形结合法，利用上的几何意义则较为简

X

便，如图所示，在直角坐标系中，(x—2f+/=3表

示以(2,0)为圆心，石为半径的圆，■表示

xx-0

圆上任意一点P(x,y)与原点连线的斜率，当OP与圆

相切时，/POQ=60。时，上取得最大值如.

三、数形结合在函数中的应用

(-)利用数形结合解决与方程的根有关的问题

例3-1.己知方程|/-4\+3|=/〃有4个根，求实

数，〃的取值范围.

【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只涉及根的个

数，而涉及方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线

的交点的个数问题来解决.

【解】方程|解-4*+3|=/〃根的个数问题就是函数

y=|-4x+31与函数y=rn图象的交点的个数.

作出抛物线y=/-4x+3=(x-2)'-1的图象,

将“轴下方的图象沿x轴翻折上去，得到

y=，一0+3|的图象,再作直线,，=〃?，如图所示.

由图象可以看出，当。〈川＜1时，两函数图象有4交

点，故的取值范围是(0,1).

【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题

意的图象是解决这类问题的前提.

(二)利用数形结合解决函数的单调性问题

例3-2.确定函数y=x国-2N的单调区间.

x:-2x,x>0,

【解】y=x|x|-2|x|=

-x2+2A,A<0,

画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增

区间为(-x,0],[L+oc),函数的单调递减区间为

[0,1].

(三)利用数形结合解决比较数值大小的问题

例3-3.已知定义在A上的函数)，=/(x)满足卜一列三个

条件：①对任意的xeK都有/(x+4)=/(x)：

②对任意的04王<三工2,都有/($)</(毛)：

③y:/(x+2)的图象关于y轴对称则“4.5),

〃6.5),〃7)的大小关系是：.

【解析】由①得，T=4：由②知/(x)在|(),2|上是增函

数：由③知/(x+2)为偶函数，则/(一》一2)=/(>+2),

所以“X)的图象关于直线x=2对称.由此，画出示意

图便可比较大小.

y

0244.566578工

显然，/(4.5)</(7)</(6.5).

(四)函数的最值问题

x-Jxl21.

例3-4.设/(x)=g(x)是二次函数，若

[x,|A-|<1,

〃g(x))的值域是[。，+8)，则g(x)的值域是()

A.(-8,-l]U[l,+8)B.(-00,—l]U[0,+oo)

C.[0,+oo)D.[L+00)

【解析】因为g(x)是二次函数，值域不会是A、B,画

出函数y=/(x)的图像，易知，当g(x)值域是

[0,+8)时，/(g(x))的值域是[0,+功，故答案为C.

(五)利用数形结合解决抽象函数问题

例3-S.设/(x),g(x)分别是定义在K上的奇函数和

偶函数，在区间［<7,b］［a<b<0)上，

,广(x)g(x)+/(x)g，(x)>。,且/(x)g(x)有最小

值-5.则函数y='f(x)g(x)在区间［-力,-〃［上().

A.是增函数且有最小值-5

B,是减函数且有最小值-5

C,是增函数且有最大值5

D,是减函数且有最大值5

［解析］f'(x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)］'>0,

y=/在区间［a,b］(a<b<0)上是增函数。

又fix),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,

•*.y=/(x)8(x)是奇函数.

因此它的图象关于原点对称，作出示意图.

易知函数y=/(x)g(X)在区间［-b,-a］上是增函

数且有最大值5,故选C.

四、运用数形结合思想解不等式

(-)解不等式

例4-1.已知是K上的偶函数，且在[0,+8)上是

减函数，/(。)=0(。>0),那么不等式xf(x)<。的解

集是().

A.{x|0<x<a]B.{x[<x<0或x>a}

C.{x|-a<x<«}D,{x|x<-a或0<x<a}

【解析】有题意可得到/(x)的图象.又由已知

0(x)<O,可知x与/(x)异号，从图象可知，当

XG(-a,0)U(n,+8)时满足题意,故选B.

(二)求参数的取值范围

例4-2.若不等式J©-.f>ax的解集是{x[0<xW4},

则实数。的取值范闱是().

A.(0,+oo)B.(—00,4]

C.(—8,0)D.(-co,0]

【解析】令/(幻="x-X，,g(x)=ax,则

〃x)=J4x—/的图象是以(2,0)为圆心，2为半径

的圆的上半部分，包括点(4,0),不包括点(0,0)；

g(x)=ax的图象是通过原点、斜率为。的直线，由已

知“x-A>ox的解集是510<xW4},即要求半

圆在直线的上方，由图可知。<0,故选C

例4-3.抛物线y=ax?+Z;x+c与x轴的两个交点为

A,6,点0(4,8无)在抛物线上且A018。,则成

=()

A.-IB,1C.2D,3

【分析】这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。

我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a,

k总是异号的，即欣＜0再看看各个备选项，不难发现

只有A表示的是小于•()的.故选A.

五、运用数形结合思想解决三角函数问题

纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问

题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.

例5-1,若sina+cosa=tana0<a<—，则aw().

\「7)

儿陪民修,卜

【解析】令f(x)=sinx+cosjr=5/2sin(x+

(0<cz<—),g(x)=(anx，画出图象，从图象上看出

2

交点P的横从标”.

4

ne乃n1+J3__

再令a=一，则sin—Fcos-=--------~1.366,

3332

tan—=y/3®1.732>1.367»由图象知x。应小于工.

33

故选C.

【点评】本题首先构造函数/(x),g(x),再利用两

个函数的图象的交点位置确定a＞巴，淘汰『A、B两

4

选项，然后又用特殊值土估算，结合图象确定选项C,

3

起到「出奇制胜的效果。

六、借助向量的图象解决几何问题

利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线

的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面

距），利用空间向量解决立体几何问题，》型由象的逻辑论证转化为代数

计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

例6-1.如图所示，P是正方形的A/3C7）的对"角线

上一点，四边形PEC尸是矩形，

求正（1）PA=EFt（2）PALEF.

【解析】建立如图所示的坐标系，设正方形的边长是I,

I//1=4,则A(0,1),P(—A,——A),