高中数学函数解题技巧

专题1函数(理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的

反函数.

4.理解分数指数基的概念，掌握有理指数基的运算性质，掌握指数函数的概念、

图象和性质.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容.在复习中要肯

于在对定义的深入理解上下功夫.

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性

的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调

区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是：

1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函

数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.

2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征

的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法.

3.培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合

等数学思想方法解决问题的能力.

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解.

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调

性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不

一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要

受到区间的限制.

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(—x)=-f(x)这两个

等式上，要明确对定义域内任意一个x,都有f(—x)=f(x),f(—x)=—f(x)的实质

是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，

可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有

f(x+a)=f(a—x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关

知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表

现出来。

-1-

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体

现。复习函数图像要注意以下方面。

1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.

2.会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.

3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.

4.掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能

力.

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握

这两种方法是本节的重点.

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把表

列在关键处，要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、

变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等

理论和手段，是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象

为基础进行变换，以及确定怎样的变换.这也是个难点.

例1设a>0,求函数f(x)xln(xa)(xG(O,+co))的单调区间.

分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式f(x)0(递增)及f(x)0(递减)。

1

2xlxa解：f(x)(x0).

当a>0,x>0时

f(x)>0x2+(2a-4)x+a2>0,

f(x)<0x2+(2a—4)x+a2<0.

(i)当a>1时，对所有x>0,有

x2+(2a—4)x+a2>0,

即f(x)>0,此时f(x)在(0,+oo)内单调递增.

(ii)当a=l时，对存1,有

x2+(2a—4)x+a2>0,

即f(x)>0,此时f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递增.

又知函数f(x)在x=l处连续，因此，函数f(x)在(0,+8)内单调递增.

(适)当OVaVl时,令f(x)>0,即

x2+(2a—4)x+a2>0,解得x2a2a,或x2a2a.

2a2a))内也单调递因此，函数f(x)在区间(0,内单调递增，在区

间(2a2a,

增.

-2-

令f(x)<0,即x2+(2a—4)x+a2<0,解得：2a2ax2a2a.

2a2a)因此，函数f(x)在区间(2a2a,例2已知a0,函数f(x)

M(xl,f(xl))处的切线为lo

1axx

,x(0,)。设0xl

2a

,记曲线yf(x)在点

(I)求1的方程；

(H)设I与x轴交点为(x2,0)。证明：①0x2②若xl

lala

la

，则xlx2

(I)分析：欲求切线1的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义

便不难发现，问题归结为求曲线yf(x)在点M(xl,f(xl))的一阶导数值。解：求

f(x)的导数：f(x)

1axl

xl

lx

2

lx

2

,由此得切线1的方程：

y0

(Xxl)o

(II)分析：①要求x2的变化范围，则须找到使x2产生变化的原因，显然，x2

变化的根本原因可归结为xl的变化，因此，找到x2与xl的等量关系式，就成;

②欲比较x2与xl的大小关系，判断它们的差的符号即可。

证：依题意，切线方程中令y=0,

x2xl(laxl)xlxl(2axl),其中0xl

2a

la)

2

①由。xl

<0x2

lala

2a

,x2xl(2axl),有x20,及x2a(xl

xl

la

时，x2

la

la

，当且仅当.

x2

la

②当xl时，axl1,因此，

la

x2xl(2axl)xl,且由①，

所以xlx2

o

点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质,

以及分析和解决问题的能力。

-3-

例3、函数y=l—1

x1的图象是(

解析一：该题考查对f(x)=l

x图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y=l

x的图形变形到y=l

x1,

即向右平移一个单位，再变形到y=一

到答案B.lx1即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y=—lx1+1,从而得

解析二：可利用特殊值法，取x=0,此时y=l,取x=2,此时y=0.因此选

B.

答案：B

点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。

2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数

的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。

考点二：二次函数

二次函数是中学代数的基本这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出

不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的当x0,xl时，证明

XfXxl.

分析：在已知方程fXX0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，

可以写出函数fXX的表达式，从而得到函数f(x)的表达式.

-4-

证明：由题意可知

0xxlx2

f(x)xa(xxl)(xx2).la

/.a(xxl)(xx2)0,当x0,xl时，f(x)x.

又f(x)xla(xxl)(xx2)xxl(xxl)(axax21),xxl0,

且axax211ax20,

f(x)xl,

综上可知，所给问题获证.

点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式

yaxxlxx2例5已知二次函数f(x)ax

x2.

2

bx1

(a,bR,a0),设方程f(x)x的两个实数根为xl和

⑴如果xl2x24,设函数f(x)的对称轴为xx0,求证：xO1；(2)

如果xl2,x2xl2,求b的取值范围.

分析：条件xl2x24实际上给出了f(x)x的两个实数根所在的区间，因

此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.

解：设g(x)f(x)xax

2

(bl)x1,则g(x)0的二根为xl和x2.

g(2)04a2b10

a0(1)由及xl2x24,可得，即，即

g(4)016a4b30

b3

330,2a4a

b3420,

2a4a

两式相加得

b2a

2

1,所以，xO1;

bla

)

2

(2)由(xlx2)(又xlx2

la

4a

,可得2a1(b1)1.

2

0,所以xl,x2同号.

xl2,x2xl

0xl2x2x22xl02等价于或，22

2a1(b1)12a1(b1)1

-5-

g(2)0g(2)0即g(0)0或g(0)0

222a1(b1)12a1(b1)1

解之得b1

4或b7

4.

点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特

征的充要条件是解决问题的关键。

考点三：抽象函数

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满

足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算

性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，

由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但

由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受

命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函

数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析

研究抽象函数问题，

(一)函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，

抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价

转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1,利用奇偶性整

体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结

合;5,借助特殊点，布列方程等.

(二)特殊化方法

1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x换成一x

等；

2、在求函数值时，可用特殊值代入；

3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型

函数对综合题，的解答提供思路和方法.

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题

目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,

真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感.

例6、A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：①对任意

x[1,2],都有(2x)(1,2)；②存在常数L(0L1),使得对任意的

xl,x2[1,2],都有|(2x1)(2x2)|L|xlx2|

(I)设(x)

x,x[2,4],证明：(x)A-6-

(II)设(x)A,如果存在xO(1,2),使得xO(2x0),那么这样的x0是唯

一的；

(III)设(x)A,任取xl(1,2),令xn1(2xn),n1,2,，证明:给定正

整数k,对任意的正整数p,

L

k1

成立不等式|xk1xk|

1L

|x2xl|

解：对任意x[1,2],(2x)

(2x)(1,2)

3

2x,x[1,2],

3(2x)

5,1

3

3

3

52,所以

对任意的xl,x2[1,2],

|(2x1)(2x2)||xlx2|

2

1

2x1

2

3

1

2x11x2

3

1

x2

2

3

3

12x12

12x11

2

x2

1

x2，

23

所以OV

3

12x1

2

12x11x2

1

2

x2

2

令

3

2

12x1

2

=L,OLI,

12x11x2

1

x2|(2x1)(2x2)|L|xlx2|

所以(x)A

(l,2),x0xO使得xO(2x0),xO(2x0)则反证法:设存在两个

xO,xO

由|(2x0)(2x0)|L|xOx0|,得|x0x0|L|xOx0|,所以L1,矛盾，

故结论成立。

x3x2(2x2)(2x1)Lx2xl,所以

xn1xnL|xkpxk|xkpxkp1xkp1xkp2

xk1xk

kp2

n1

Illi

x2xl

k1

L

1L

|x2xl|

kp3

xkpxkp1xkp1xkp2xk1xkLx2xlLx2x

1+,,

L

k1

x2xl

L

K1

1L

x2xl

点评：本题以高等数学知识为背景，与初等数学知识巧妙结合，考查了函数及

其性质、不等式性质，考查了特殊与一般、化归与转化等数学思想。

考点四：函数的综合应用

-7-

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描

述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻

画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系.因此,

运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函

数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解

决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键.

例7设函数Rx)tx2txtl(xR,t0).

(I)求f(x)的最小值h(t)；

2)恒成立，求实数m的取值范围.(11)若皿)2tm对t(0,22

解：(I)f(x)t(xt)ttl(xR,t0),

当xt时，f(x)取最小值4t)tt1,323

即h(t)tt1.

(11)令8。)h(t)(2tm)t3t1m,

由g(t)3t30得t1,t1(不合题意，舍去).

当t变化时g(t),g(t)的变化情况如下表：

233g(t)在(0,2)内有最大值g(l)1m.

h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，

即等价于1m0,

所以m的取值范围为m1.

点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学

知识分析问题解决问题的能力.

例8甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千

米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：

可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义

域；

-8-

②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函

数关系，并求函数的最小值.

解：(读题)由主要关系：运输总成本=每小时运输成本x时间，

（建模）有y=（a+bv）2S

v

（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数关系式是：

y=s（a

v+bv）,其中函数的定义域是vW（O,c].

a

整理函数有y=S（

由函数y=x+

a

b

a

bkxav+bv）=S（v+bv）,（k>0）的单调性而得：ab当Vc时，则丫=时，y取

最小值；当Nc时，则v=c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当

为丫=&ab<c时，行驶速度应为v=ab；当abNc时，行驶速度应

点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式

的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中

速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，

也可属于不等式模型.

方法总结与2008年高考预测

（一）方法总结

本专题主要思想方法：

1.数形结合

2.分类讨论

3.函数与方程

（-）2008年高考预测

1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都

有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考

查单调性与奇偶性.

2.考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用

平移变换、伸缩变换、对-9-

称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解

题的能力.

3.考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图

象等，一般不需求出反函数，只需将问题转化为与原函数有关的问题即可解决.

4.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多

以基本函数的性质为依托，结合运算推理来解决.

5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量

建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.

6注意与导数结合考查函数的性质.一、强化训练

（-）选择题（12个）1.函数ye

X1

(xR)的反函数是()

A.y1lnx(x0)B.y1lnx(x0)C.y1lnx(x0)

D.y1lnx(x0)

(3al)x4a,x12.已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范

围是

logx,xla

(A)(0,l)(B)(0,)(C)[,)

3

111

73

(D)[,l)

7

1

3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意xl,x2(xlx2),

|f(xl)f(x2)||x2xl|恒成立”的只有(A)f(x)

lx

x

(B)fx冈(C)f(x)2

(D)f(x)x

65

32

5

2

4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时,f(x)Igx.设af(),bf(),cf(),

则

2

(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab5.

函数f(x)

1

2

lg(3x1)

的定义域是

1

11

1

A.(,)B.(,1)C.(,)D.(,)

3

3

33

3

6、下列函数中，在其定义域B.ysinx,xRC.yx,xR

7、函数yf(x)的反函数yf

P(0,2)

1

(x)

的图像与y轴交于点

(如右图所示)，则方程f(x)0在［1,4］上的根是x

)

A.4B.3C,2D.1

-10-

8、设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是

(A)f(x)f(x)是奇函数(B)f(x)f(x)是奇函数

(C)f(x)f(x)是偶函数(D)f(x)f(x)是偶函数

x9、已知函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则

A.f2xe(xR)B.f2xln2lnx(x0)

C.f2x2e(xR)D.f2xInxln2(x0)

2e,x<2,10、设f(x)则f(f(2))的值为2log3(x1),x2.x12xx

(A)0(B)l(C)2(D)3

a,abll、对a,bR,记max{a,b}=，函数Rx)=max{|x+|x—2|}(xR)

的最小值是b,a<b

(A)0(B)l

2(C)32(D)3

12、关于x的方程(x21)2x21k0,给出下列四个命题：①存在实数

k,使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是.

A.0B.1C.2D.3

(二)填空题(4个)

1.函数fx对于任意实数x满足条件fx21

fx,若f15则，

ff5o

xe,x0.12设g(x)则g(g())2lnx,x0.

3.已知函数fxa1

2lx,,若fx为奇函数，则ao

x23最)小值，则不等式loga(x1)0的解集有24.设a0,a1,函数

f(x)loagx(

%=

-11-

(三)解答题(6个)

1.设函数f(x)x24x5.

(1)在区间[2,6]上画出函数f(x)的图像；

(2)设集合Axf(x)5,

证明；

(3)当k2B(,2][0,4][6,).试判断集合A和B之间的关系，并

给出时，求证：在区间[1,5]上，ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

2、设f(x)=3ax2bxc.若abc0,f(0)>0,f(l)>0.求证：

(I)a>0且一2Va

bb<—1；

(II)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

3.已知定义域为R的函数f(x)

(I)求a,b的值；

22(II)若对任意的tR,不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围；

2b2xlxa是奇函数。

4.设函数f(x)=c

22xaxa,其中a为实数.

(I)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围；

(H)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.

5.已知定义在正实数集上的函数f(x)1

2x2ax,g(x)3alnxb,其中a0.设两曲线22

yf(x),yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同.⑴用a表示b,并求b

的最大值；

(II)求证:f(x)>g(x)(x0).

6.已知函数

an1anf(x)xx1,,2是方程f(x)=0的两个根(),f，(x)是

Kx)的导数；设al1,f(an)f,(an)(n=l,2,

⑴求，的值；

(2)证明：对任意的正整数n,都有an>a；

(3)记bnInanana(n=1,2,求数列｛bn｝的前n项和Sn。

(四)创新试题

-12-

1.下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口

A,B,C的机动车辆数如图所示，图中xl,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段

的机动车辆数(假设：单位时间(B)xlx3x2(C)x2x3xl

(D)x3x2xl

2.设函数f(x)=3sinx+2cosx+l。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任

意实数x恒成立，则的值等于()A.解答：一、选择题1解：由ye

x1

bcosca

12

B.

12

C.-lD.1

得：x1Iny,即x=-l+lny,所以y1lnx(x0)为所求，故选D。

13

2解：依题意，有0a1且3a—10,解得0a所以7a—10解得x

1x1

1x2

,又当x1时，(3a—l)x+4a7a—1,当x1时，logax0,

17

故选C

l|xlx2|

1x1x2

1x1

1x2

|3解:-|=|

x2—xlxlx2

1=

|xl—x2|xl,x2(1,)2xlx21

1I

||xl—x2|

故募A

4解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)Igx.设af()f(

5

31151

bf())f(),c2f()<0,Acab,选D.

222221x01

x1,故选B.5解：由

33x10

6

4

)f()，55

4

6解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是

增函数;D

在其定义域内不

-13-

是奇函数，是减函数;故选A.

7解：f(x)0的根是x2,故选C

8解：A中F(x)f(x)f(x狈jF(x)f(x)f(x)F(x),

即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数，B中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)此

时F(x；V^F(x)的关系不能确定，即函数F(x)f(x)f(x)的奇偶性不确定，

C中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)F(x),即函数F(x)Rx)f(x)

为奇函数，D中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)F(x),即函数

F(x)f(x)f(x)为偶函数，故选择答案D。

XX9解：函数ye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以

f(x)是ye的反函数，即

f(x)=lnx,f2xln2xInxln2(x0),选D.

10解:f(f(2))=f(l)=2,选C

11解:当x—1时，|x+1|=—x—1,|x—2|=2—x,因为(一x—1)—(2—x)

=-30,所以2—x-x-1；当一1x1

2时，|x+l|=x+l,|x-2|=2-x,因为(x+l)—(2—x)=2x—l0,x+12

—x；当12x2时，

x+12—x；当x2时，|x+l|=x+L|x—2|=x—2,显然x+1x—2；2

2故f(x)

x

Xx(x(,1)x(x[1,l(x[1212))32据此求得最小值为。选

C,2))l(x[2,))

222222(x-1)k(Ox1或x—1),,(1)12解：关于x的方程

x1x1k0可化为x1

或x1+(x-1)k0(-1x1(2)222

①当k=—2时，方程(1)的解为

(2)无解，原方程恰有2个不同的实根

1

4②当1<=时，方程(1)有两个不同的实根

2,方程(2)有两个不同的实根

2,即原方程恰有4个不

同的实根

③当k=0时，方程(1)的解为-1,+1,

,方程(2)的解为x=0,原方程恰有5个不同的实根

2

9④当1<=时，方程(1)的解为

3

3(2)的解为

3,

3,即原方程恰有8个不同的

-14-

实根

选A

二、填空题。

1解：由fx21

fx得fx4

1

f(12)

1

21fx215Rx),所以f(5)f(l)5则

ff5f(5)f(1)o2解：g(g())g(ln2112)e

lln12.1

2103解：函数f(x)a2lx.若f(x)为奇函数，则f(0)0,即a

20,a=12.4解：由a0,aI,函数f(x)loga(x2x3)有最小值可知a1,

所以不等式loga(x1)0可化

为x—11,即x2.

三、解答题

1解：(1)

(2)方程f(x)5的解分别是2，减，在［1,2］和［5,)上单调递增，因此

A,20,4和2,由于£仪)在(,1］和［2,5］上单调递［0,

24］2,..由于26,2,BA

(3)［解法一］当x［1,5］时，f(x)x24x5.

g(x)k(x3)(x24x5)

-15-

x2(k4)x(3k5)

4kx22k220k364,

k2,4k

21.又1x5,

4k

2①当1

g(x)min4k2k21,即2k61

4时，取x2,20k364k10

264.16(k10)264,

则g(x)min0.

②当4k

21,即k6(k10)640,时，取x1,g(x)min=2k0.

由①、②可知，当k2时，g(x)0,x[1,5].

因此，在区间［1,5］上，yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.

［解法二］当x［1,5］时，f(x)x24x5.

yk(x3),

yx2由4x5,得x2(k4)x(3k5)0,

令(k4)24(3k5)0,解得k2或k18,

在区间［1,5］上，当k2时，y2(x3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点

(1,8)；当k18时，y18(x3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.

如图可知，由于直线yk(x3)过点(3,0),当k2时，直线yk(x3)是由

直线y2(x3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间［1,5］上，

yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.2(1)证明：因为f(0)0,f(l)0,

所以c0,3a2bc0.

由条件abc0,消去b,得ac0；

由条件abc0,消去c,得ab0,2ab0.故2b

a1.

(II)抛物线f(x)3ax2bxc的顶点坐标为(

b

al313b3a

22b3a,3acb3a2),在21的两边乘以，得b232.

又因为f(0)0,f(l)0,而负3a)acac

3a0,

-16-

所以方程f(x)0在区间(0,

b3a

)与(

b3a

,1)(II)解法一:由(I)知f(x)

12

x

122

x1

2

12x

,易知1

耳刈在(，)上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2

2t)f(2t2

k)0等价于2t)[2t2k)f(k2t2

),因f(x)为减函数，由上式推得：

t2

2tk2t2

.即对一切tR有：3t2

2tk0,

从而判别式412k0k

13

解法

二：由(

I)知f(x)

12x

又由题设22

x1

.12t

2

2t

122t

2

k

22

t

2

2t1

22

2t2

k1

0,

即：(22t2

k1