高中数学 (幂函数)备课资料 新人教A版必修1

高中数学(幕函数)备课资料新人教A版必修1

高中数学(塞函数)备课资料新人教A版必修1

历史上数学计算方面的三大发明

你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数.

研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的

一大发明.在商代中期的甲骨文中己有十进制,其中最大的数是3万，印度最早到六世纪末

才有十进制.但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开

始使用,后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.

十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置

不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清

楚地表示出来.

16世纪前半叶，由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计

算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.

为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏

格兰数学家纳皮尔(Napier,J.15501617)在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数

方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法，对数的使

用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.15611630)所认识，他与纳皮

尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表,并称以10

为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及

以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明

与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、

天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”

一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指

出“对数源出于指数”，这个见解很快被人们所接受.

(设计者：邓新国)

本章复习

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型，面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以

根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及暴函数是研究客观

世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数，本章学习了这三类基本初等函数的概

念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知

识,进行知识梳理和整合，同时通过进行知识梳理和整合，使学生形成知识网络,强化数学思

想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习，提高学生的综合能力.

三维目标

1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幕函数的概念和联系,通过提问,提高学生的

认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.

2.让学生熟悉，能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幕函数有关的问题，培养学生

数形结合的思想观念及抽象思维能力.

3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识，培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论

的能力.

重点难点

教学重点：指数函数、对数函数及幕函数的图象和性质.

1

教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.

课时安排

1课时

教学过程

应用示例

思路1

例1计算：

340.50.25(1)E(3)3(5)+(0.008)3-?(0.02)2X(0.32)2]4-0.0625;892211

lg5lg8000(lg2)2

(2).lllg6000.036IgO.122

活动：学生观察、思考，学生观察式子的特点，特别是指数和真数的特点，教师引导学生

考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.

()3372X0.512234解：(1)原式=[()X()•()+(0.2)X()+(0.2)2]

4-(0.5)X=234331

[4725656X+54-]+0.5=+105=.932727

lg5lg8000(Ig23)21g5lg(23103)(31g2)2

(2)=lllllg6000IgO.036IgO.llg(23102)lg(0.6)2IglO1

2222

31g5lg221g53(lg2)23[lg5lg2(lg5lg2)[6===.

1571g2lg32lg0.6lg6IgO.622

点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式

在分数指数幕当中的应用.

变式训练

b如果已知log5427=a,54=3,如何用a、b表示logl0881?

b解法一：由54=3得log543=b.

所以Iogl0881=log54811og5427log543abab===.

2a2Iog54271og541081og5421

ax解法二：由log5427=a，得54=27,设x=logl0881,则108=81,

2-lx2-axba所以(54X27)=3X27,即(54X54)=54X54.

2x-axa+b所以54=54,即2x-ax=a+b.

因此得x=ab.2a

点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是

通过2对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果，但解法二运算的技巧性较大.

Inn例2已知a>0,aWl,x=(aan),求(x+x2T)的值.211

活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,

然后再求值,要有预见性,a与a

要时给予提示.

Inn21nlnlnn200nnxT=(a+a)T=(a+2♦a+a)T=(a-2•a+a)=(a-a).

44442InIn具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路，必11222211

Innln2n2这时应看到xT=(aa)=|a-a\.241111

Innlnn21nn222解：将x=(a+a)代入xT,得xT=(a+a)T=(a-a).244

Innlnn2所以xT=(aa)=|a-a|,2411111111112x+x2-l=l(a+a21nln)+1a-

a21nln1an,a1,|=1an,0a1.

a,a1,

n所以(x+x2T)=1,0a1.a

点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.

例3若函数f(x)的定义域是(1,3]，求f(log3x)的定义域.2

活动：学生思考，小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历，

回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域，求抽象函数f[g(x)]的定

义域,要借助于f(x)的定义域来求，由于函数f(x)的定义域是(

范围就是(1,3],所以f(log3x)中的log3x的21,3],从中解出x,即为f(log3x)的定义

域.2

11解:因为函数f(x)的定义域为(,3],所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3],22

即0.5Vlog3xW3,即<xW9.

因此函数f(log3x)定义域为(3,9].

点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的

定义域要严格注意对应法则.

3

变式训练

1.求函数y=l

5x

1x的定义域.1

2.求函数f(x)=()1的定义域.

答案：1.{x|xW0且xWl}.2.{x|xW0}.

思路219x

12x

例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.4x

活动：学生观察，思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义

域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围；函数的值域要根据定义域来求;求函数

的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分

母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单

调性确定.

12x

解：函数丫=的定义域是全体实数，x4

1x1211211112x

0因为y==［()］》，所以函数的值域为［,+8).xxx22444224

1X),则它在(-8,+8)上单调递减，2

11121而二次函数y=(u)在uW时是减函数，在u»时是增函数，2224

1x11x1令0W,则x》l,令()2,则xWl,2222设u=(

12x

所以函数丫=在［1,+8)上是增函数，在(-8,1］上是减函数.4x

点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.例2

已知函数f(x)=x(ll+).2x12

(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；

(2)求证：对任何x(xGR且x#0),都有f(x)>0.

解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称，

又f(-x)=-x(l

2xll1112x2x)=x(x+)=x(xT+)=x(x+)=f(x),所以21221221221

f(x)是偶函数.

x(2)当x>0时,2>1,所以f(x)>0.

当xVO时,由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)>0.

4

所以对一切xGR,xWO,恒有f(x)>0.

点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题，当x<0时，证明f(x)>0较繁,若注

意到f(x)为偶函数，则只需证明当x>0时,f(x)>0,而这是显然的.

知能训练

课本P82复习参考题A组1、3,4、6、8、10.

拓展提升

问题：已知过原点0的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，过

A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若

C恰好在函数y=log2x的图象上，试求A、B、C三点的坐标.

活动：学生先仔细审题，理解题目的含义,然后思考交流，教师适当时候提示指导.画出

函数的图象,设出点的坐标，由图形间的关系建立方程求解.

解：先画出函数的图象如图

图2-1

设A(xl,log8xl)、B(x2,Iog8x2),

则C(xl,Iog8x2).因为C在函数y=log2x的图象匕

所以Iog8x2=log2xl,即

所以x2=xl.又3110g2x2=log2xl.3xl0E0Fx2=，即=,EAFBlog8xllog8x2

33所以xllog8xl=xllog8xl.

3所以3xllog8xl=xllog8xl.由xl>l,所以log8xl以1.

从而有3xl=xl.所以xl=,x2=3.3

所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log23).课后作业

课本P82复习参考题A组2、5、7、9.

设计感想

本堂课是对过去学过的一章知识进行复习，目的是构建知识体系,形成知识网络，总结解

题的方法规律和思想，以便综合运用这些知识，使学生能够见题想法，见题有法,能够做到一

题多解,触类旁通，由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题

方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果，做到以不变应万变，使全体同学

在知识和技能上都有较大的提高.

习题详解

(课本第82页复习参考题)

A组5

1.(1)11；(2)

1

2

791；(3)；(4).8251000

1

2

2

12

12

2

2.(1)原式二

(ab)(ab)(ab)(ab)

12

12

12

12

a2abba2abb2(ab)

=;abab

1

2121212

1

a2l(aa1)2(2)原式=二2.11

la1(aa)(aa)

a

a

a

10

lg5=llg2,3.(1)因为lg2=a,Ig3=b,logl25=

Igl21g22321g2lg3

lg

所以logl25二(

1a

2ab

2

3

)因为

1

3(b)1

log72731og7213(log32log37)1

log23=a,log37=b,logl456=====

11log32log3710g7271log72

1ba

ab3

,ab1

11

4.(1)(一8,)u(,+8)；(2)[0,+8).

22

2

5.(,1)U(l,+8)；(2)(-00,2);(3)(-8,1)u(l,+oo).

3

6.(1)因为Iog67>log66=l,所以log67>L

又因为Iog76<log77=l,所以log76<l.所以Iog67>log76.

(2)因为log3n>log33=l,所以log3.>1.又因为log20.8<0,所以log3n>log20.8.

xxyx+y

7.证明：(1)因为f(x)=3,所以f(x)•f(y)=3X3=3.

x+y

又因为f(x+y)=3,所以f(x)•f(y)=f(x+y).

xxyx-y

(2)因为f(x)=3,所以f(x)4-f(y)=34-3=3.

又因为f(x-y)=3,所以f(x)4-f(y)=f(x-y).8.证明：因为f(x)=lg

1x

,a>be(-1,1),1x

所以f(a)+f(b)=lg

1alb(1a)(1b)

lg=lg,1alb(la)(1b)

ab

ab)f()=lg(

ablab

1

1ab

16

=lglabab1abab

=lg(la)(1b).(1a)(1b)

ab).1ab

X所以f(a)+f(b)=f(9.(1)设保鲜时间y关于储藏温度X的函数解析式为y=k・a

(a>0,且a#l).

因为点(0,192)、(22,42)在函数图象上，

k192,0192ka,所以解得7220.93.42ka,a32

所以y=192X0.93,

x即所求函数解析式为y=192X0.93.

(2)当x=30C时,y^22(小时)；

当x=16℃时,y*60(小时)，

即温度在30℃和160c的保鲜时间约为22小时和60小时.

图2-2

10.解析：设所求幕函数的解析式为f(x)=x，因为f(x)的图象过点(2,

11a2),212aa2所以=2,即2=2.所以a=.所以f(x)=x2(x>0).22

图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在(0,+8)上是减函数.

B组

1.A

2.因为2=5=10,所以a=log210,b=log510,所以abllll+=+=lg2+lg5=lgl0=l.

ablog2101og510

3.(1)f(x)=a2在x£(-°°,+°°)上是增函数.2x1

22-a+2x12x21证明：任取xl,x2W(-oo,+oo)，且xl〈x2.f(xl)-f(x2)=a7

=22-2x212x11

2(2x12x2)=x.xl2(21)(21)

因为X1,X2W(-8,+8),

所以2x210.2x110.

又因为xl<x2,

所以2x12x2即2x12x2<0.所以f(xl)-f(x2)<0,即f(xl)<f(x2).

所以函数f(x)=a2在(-8,+8)上是增函数.2x1

(2)假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0,即a1

2x1

1二x为奇函数.21+a21121=0a=+=+=l,即存在实数使f(x)

2x12x12x12x12x1

exexexex

4.证明：(1)因为f(x)=,g(x)=,22

所以Eg(x)]-[f(x)]=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]22

exexexexexexexex

)=(2222

二e,e=e=e=l,

即原式得证.x-xx-xO

exexexex

(2)因为f(x)=,g(x)=,22

e2xe2x

所以f(2x)=,2f(x)•g(x)2

exexexex

二2••22

e2xe2x

=.2

所以f(2x)=2f(x)-g(x).

exexexex

(3)因为f(x)=,g(x)=,228

e2xe2x

所以g(2x)=，2

exex

2exex2Eg(x)]+[f(x)]=()+()2222

e2x2e2xe2x2e2x

=4

e2x