高中数学导数练习题

高中数学导数练习题

一、解答题

1.已矢口函数/(x)=xcosx-sinx-e",xw［O,句.

⑴求,⑺的最大值；

(2)证明：evsinx+ev-2>xercosx+x-l；

⑶若/3+2加+e<20恒成立，求实数。的取值范围.

2.已知函数〃x)满足〃力=々，"0,/(1)=1,/(0)=-2,

⑴求函数“X)的表达式；

(2)若"0,数列｛%｝满足4='，设"=；T,求数列出｝

3\an)%

的通项公式.

3.已知函数/(x)=e2*-2(e+l)e'+2ex.

⑴若函数g(x)=/(x)-。有三个零点，求。的取值范围.

(2)若/(为)=/E)=/包)(“<演<士)，证明：xl+x2>0.

4.已知函数f(x)=2x+4-lnx.

X

⑴求函数的单调区间和极值；

(2)若x产占且/(玉)=/仁)，求证：中2<1.

5.已知椭圆(7:£+点=1(">"0)的离心率是弓，6、鸟分别是椭圆C的左、

右焦点，以线段花段为直径的圆的内接正三角形的边长为6.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵已知点P(疯2佝，直线/：y=x+〃?与椭圆C交于4B两点，求△PAB面积的

最大值.

6.求函数〃尤)=。炉-4犬+4在区间1,3上的最大值与最小值.

7.已知函数/(%)=lnx

⑴过原点作/⑴的切线/,求/的方程；

⑵令g(x)=£F，求g(x)Na在［五,e［恒成立，求〃的取值范围

8.已知函数/(X)=一丁+21nx,^(x)=x+-(aeR).

x

⑴求函数/(X)的单调区间；

⑵若函数/(X)与g(x)有相同的极值点，求函数g(x)在区间g,3］上的最值.

9.设函数/(》)=。2幺+奴-31nx+l,其中a>o.

⑴求〃x)的单调区间；

⑵若y=/(x)的图象与x轴没有公共点，求”的取值范围.

10.已知函数〃x)=W+S-l)x+l

⑴当“=6=T时，求曲线y=〃x)在点(0,f(0))处的切线方程；

⑵当Ova—,且x>2时，f(x)>枷]“(了-力恒成立，求b的取值范围.

【参考答案】

一、解答题

1.(l)/U)™x=-e-2

(2)证明见解析

(3)«e\，+8)

【解析】

【分析】

(1)直接利用导数判断单调性，求出最大值；

(2)利用分析法，转化为证明子>f(x).令g(x)=M，xe[0^],利用导数求

出g(X)2g(2)=-e-2,而/(。皿=八。)=-厂，即可证明；

(3)把问题转化为xcosx—sinx+2ax3>0恒成立，令/?(x)=xcosx—sinx+2ox3,

xe[0,;r],二次求导后，令仪x)=6ar-sinx,对。分类讨论：i.a«—，，ii.a：,

oo

iii.-7<a<1，分别利用导数计算即可求解.

OO

⑴

,•*/(x)=xcosx-sinx-e_2,xe[0,,

.f'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsin%,0,；./仅)在[0,河上单调递减,

2

/Wmax=/(0)=-e-.

⑵

要证e*sinx+e、-2>xe*cosx+x—l,只要证^^>xcosx-sinx-e-2,即证Lj>f(x),

令g(x)=詈，xe［O,司，贝=

故g(x)在(0,2)上单调递减;g(x)在(2,H)上单调递增,所以g(x)2g(2)=-

e-2,

又f(x)<-e~2,且等号不同时取到，所以e"sinx+eL2>xevcosx+x-l

(3)

/(x)+2nr3+e-2>0,等价于xcosx—sinx+2ax3>0,

令h(x)=xcosx—sinx+lax3,工«0,句,则//(x)=-^inx+6or2=x(6ax-sinx),

令9(x)=6or-sinx,贝(J"(x)=6。-cosx,

i.当a《一，时，(x)„0,所以夕(x)在［0,R］上递减，所以°(x)„o(0)=。，

o

所以"(x)W0,所以6(x)在［0,河上递减，所以/?(x)46(0)=0,不合题意.

ii.当时，<p'(x)..O,所以s(x)在［0,汨上递增，所以0(x)..0(O)=O

所以〃(x)20,所以Mx)在［0,河上递增，所以h(x)助(0)=0,符合题意.

iii.当一!VaV!时，因为a'(0)=6a-l<0,s'(万)=1+6。>0,且Q(x)在［0,兀］上递

66

增，

所以切e［0,句,使得“(%)=0,

所以当xe(0,与)时，夕(x)<0,此时*(x)在(0,Xo)上递减，所以

9(x)<g(0)=0,

所以"(x)<0,所以6(x)在(0,X。)上递减，所以Mx)<6(0)=0,不合题

息j35r.

综上可得：a©3+0°)・

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要

的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

⑴考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

⑶利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

⑷考查数形结合思想的应用.

2.■或/(处=丁;;

x+12x-\

(2也=上

【解析】

【分析】

(1)求出导函数，然后列方程组求得。力，得函数解析式；

2一

(2)由(1)得f(x)=T，求出｛%｝的递推关系，从而得出电｝的递推式，得

其为等比数列，从而易得通项公式.

⑴

a=2

由题意尸。)=-消齐，所以JU«-1，解得"=T或

,19

。=-1-乂b=—

f\0)=-2ab=-22

21

所以〃x)=UT或/⑸=七1

⑵

2

«<0,贝疗(x)=-

X+1

b”=；7,则"+i=Ja，又=

%L%4

所以的｝是等比数列，2=gxg产=£.

3.(l)(-e2,-2e-l)

⑵证明见详解

【解析】

【分析】

(1)令e*=/换元得函数〃⑺=产-2(e+l»+2eln/j>0,然后通过导数求极值,根

据与函数图象有三个交点可得；

(2)构造函数砥。=/7⑺-歙3,通过导数研究在区间d，e)上的单调性，然后由

t

单调性结合已知可证.

(1)

令e*=/,则x=ln1，t己人⑺=产-2(e+l)r+2eInr,r>0

^/z,(f)=2f-2(e+l)+—=2(/-1)(/-e)-=0,得4="=e

tt

当Ovf<l时,h'(t)>0,l<t<e时,/7(r)<0,f>e时，h'(t)>0

所以当r=l时，W)取得极大值以D=-2e-l,r=e时，"⑺取得极大值〃(e)=-e2,

因为函数g(x)=/(x)-a有三个零点=y=/z⑺与y=”有三个交点，

所以-e?<a<-2e-1，即a的取值范围为(-e?,-2e-l).

(2)

i己相Q)=/?(/)-//(-)=/2-2(e+l)r+2eln/-■v+2(e+l)--2eln-

trtt

=r-2(e+l)r+4elnr--：+"+”

rt

〃、cc,八4e22(e+l)2/4-2(e+l)z3+4e/2-2(e+l)r+2

m'(t)=2r-2(e+l)+——+——一二=-----------------------

tttr

记n(t)=2/4-2(e+l)f3+4et2-2(e+l)t+2

则n'(f)=8?-6(e+1)/+8er-2(e+1)

记s(f)=8f3-6(e+1)产+8ef—2(e+1)

则s'⑴=24*-12(e+»+8e

易知s'⑺在区间(1,e)上单调递增，所以y(0>/(l)=12-4e>0

所以s(r)在区间(l,e)上单调递增，所以s(t)>s⑴=0

所以«(0在区间(1,e)上单调递增,所以n(t)>n(l)=0

所以，〃⑺在区间(l,e)上单调递增

因为/(占)=/(毛)=/(三)(占。2〈三)，记e'=L，e*=G，e*=t3

所以如)=贴)=也)(《气J)

由(1)可知，Oyvljvej

所以m(t2)=h(t2)-h(-)>m(l)=O,即/z(r2)>/i(-)

，2，2

又〃&)=〃&),所以〃(G»(J)

因为lj<e,所以。<；<1

’2

由(1)知〃⑺在区间(0,1)上单调递增，所以格>1,即峭+处=%>1

所以X1+*2>0

【点睛】

本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成

F(x)=/(玉>+x)-/(玉)-x)或F(x)=f{x}~/(2x0-x),本题由于采取了换元法转化问

题，因此构造函数为"?")=帕)

t

4.(1)减区间(0,1),增区间(L-),极小值3,

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；

（2）构造新函数利用函数单调性去证明玉々<1即可.

⑴

/(x)=2x+--lnx(x>0),贝ljf\x)=2--_1=(Z±±2)CL_Q(x>0)

XXX

由（（x）>0得x>l,由/'（x）<0得0cxe1,

即/（处减区间为（0,1）,增区间为（1,内），

在x=l时/（x）取得极小值/⑴=2+1-0=3,无极大值.

⑵

不妨设&<三且/（耳）=/（々）=。，贝1」0<用<1,X>],a>3,0<—<1

2"2

令人（工）=f（x）-a=2x+--\nx-a（x>0）,则力（玉）=/2（马）=0

如）=2-」=（2川）,归）,

XXX

则当X>1时/⑶>0,力⑴单调递增；当0<xvl时以幻<（）,力*）单调递减

由力（无2）=2々+—-lnx2-6F=0,得。=2入2+--Inx2

X2X2

11=

贝ljh\—=---F%,+In方-2x2----In/j----+2In9

令f=，，贝ijL-w+Zln/=1-1-21n.(0<l<l)

令机(r)=f-；-21nr(0<r<l),则加⑺=i+4__2=i£zll

,2

即加（。=，一；一2111«0<，<1）为增函数，

又加⑴=1-1-0=0,则m（。=/-；-2111/<0在（0,1）上恒成立.

1

则从-L=J々+21nx2co恒成立，则〃—j</2（X,）,

又0<x<l时人（x）单调递减，0<-<1

X?

贝故为了2<1

5.⑴

⑵苧

【解析】

【分析】

⑴根据正弦定理可得见=2c,根据离心率可得£=*,据此可求出a、c,

sinoOa2

再利用从=/-02可求匕，据此可求椭圆C的标准方程；

（2）利用点到直线距离公式求出P到直线/的距离d,联立直线/与椭圆C的方

程，求出|AB|,S^PAB=^\AB\-d,研究%"表达式单调性判断最大值即可.

⑴

由题可知,

sin60

⑵

设3(4力),

r+£=iz

由，42得，3x?+4mx+2m2-4=0,

y=x+

2

△=16"-12x(2机2—4)=-g>+48>o,tn<69B|J-V6<m<>/6,

4〃22m2-4

*'•X\+X2=--Y，玉Z=---，

/.|AB|=yjl+k2­|x,一司=Jl+公，+刍)~一4百々

_r--116m28裙-16_4,6->

-+*V-93--~3-，

尸（五2佝到直线/：x~y+m=0的距离为4=叱速叫

Jr+（-i）2V2

11.i.1476-w2

eDJ〃L饲

S.MB=2'AB'd=2X--3一m

令娓-m=te«,2咐,贝lj刃=后一7,

plljS.MB=与卜J-(f->)2+6=*-,产卜*+2倔)=[J-J+2府,

令g(f)=7+2而1e(0,2")，

则g[f)=-4/3+6将。=2t2(-2/+3V6),

当0</<乎时，g<f)>0,g⑺单调递增,

当乎<r<2"时，g'⑺<0,g(「)单调递减，

故当"半，即初=一半时，g(t)取最大值，取最大值,

最大值为：—xV6+—xJ6---

3I2JVI2J2

6.最小值为"2)=-1最大值为/已)=誓

3I5/6I

【解析】

【分析】

利用导数判断函数的单调性与最值情况.

【详解】

由〃x)=gx3-4x+4,

得/■'(力=/-4

令/'(x)=0.得x=±2

•，xe§，3,所以工=-2舍去,

列表如下:

1

X(2,3)3

32

<0<00>0>0

_4

217单调递减单调递增

~31

・••/(X)的极小值为/(2)=-1

又/(；卜答,"3)=1,

所以，/(x)的最小值为〃2)=-g,最大值为了

7.(l)y=-x；

e

4

(2)”.

【解析】

【分析】

(1)设切线的方程为丫=丘，设切点为Q[nr),求出f=e即得解;

(2)利用导数求出函数g(x)在［A,e［上的单调区间即得解.

⑴

解：设切线的方程为尸履，设切点为“，Inf),

因为/'(x)=(,则%=/")=；

所以切线方程为y-lnf=#T)即y=*lni

由题得lnf-l=O则/=e

...切线/的方程为y=L.

e

(2)

解：g，(x)=E^,

当正<x<e时，g'(x)〉O;e<x<e，口寸，g'(x)<。，

所以函数飘为在(G,e)单调递增，在(ed)单调递减，

・•,")=左，g(C号

441

因为/<藤=麻

所以最小值g(e4)=［.：.a<±.

8.⑴单增区间为(0,1),单减区间为(1,+«0

(2)g(x)而n=2,g(x)a=¥

【解析】

【分析】

(1)求导之后，分别令r(x)>0,/'(x)<0即可求出“X)的单调区间；

(2)由有相同的极值点求出“的值，再利用对勾函数的单调性求出g(x)在区间

川上的最值.

⑴

/(X)的定义域：(0,+8)

/M)=_2X+Z=2(X-1),

XX

由r(x)>o得o<x<i,由r(x)<。得x>i,

“X)的单增区间为(0,1),单减区间为(1,四).

(2)

g，(x)=l-£,由(1)知〃X)的极值点为1.

•.•函数”X)与g(x)有相同的极值点，

=即1一。=0,6Z=1,

从而g(x)=x+Lg(x)在♦[]上单调递减，在0,3]上递增，

xL乙_

又g出=|，g(3)=J,

，在区间片3上，g(xL=g(l)=2,g(x)1nJ号.

9.(1)在(0,[上单调递减，在(：,+8)上单调递增

⑵(”)

【解析】

【分析】

(1)求导，根据定义域和。的范围，讨论导数符号可得单调区间；

(2)由(1)中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.

⑴

函数“X)的定义域为(。，+8),

、c232a2x2+ax-3(2ox+3)(ar-l)

/(x)=2ax+a——=-----------=-------------

xxx

由于〃>0且%£(0,+8),所以2ar+3>0,令/。)=0,解得工」，

a

当xe(0,J,1(x)<0,函数〃x)单调递减，

当xe(g+cc],r(x)>0,函数/")单调递增，

“(X)在(0，/上单调递减,在g+8)上单调递增.

⑵

要使y=〃X)的图像与X轴没有公共点，所以只需/。*“>。即可，由(1)知

/(x)min=/[-)=l+l-31n-+l=3-31n-=3+31n«>0,

\ajaa

解得a>L即。的取值范围为d,R)

ee

10.(l)y=2x+5

⑵[T,+°0)

【解析】

【分析】

(1)求出［