含对数式的极值点偏移问题（含答案解析）

专题05含对数式的极值点偏移问题

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若/(X)的极值点

为X。,则根据对称性构造一元差函数—x)=/(/+x)—/(%—x),巧借/(龙)的单调

性以及万(0)=。,借助于/(%)=/(%)=/[%—(%)-々)]与/[%+(%—9)]

=/(2%-％2)，比较与2/-药的大小，即比较毛与土产的大小.有了这种解题策

略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩.

本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据/(%)=/(%)建立等式，通过消参

、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解.

★例.已知函数/(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)讨论了(元)的单调性；

(2)设。〉0,证明：当0<%<工时，/(-+x)>/(--%)；

aaa

(3)若函数，=/(幻的图象与％轴交于4,3两点，线段A3中点的横坐标为％,证明：

/U)<o.

【解析】(1)易得：当aWO时，/(x)在(0,+8)上单调递增;

当。>0时，/(x)在[(),：)上单调递增，在上单调递减.

(2)法一：构造函数g(x)=x

\a

则g'(x)=/'[L+x]—/'[L—x]='(71~---->0>

\a)\a)(1+ax)(1-ax)

•・・队')在[°'：)上单调递增，

又g(O)=O,，g(©>。，即叱+x

函数，设函数〃（。）=/1+x

法二：构造以a为主元

ka

则h(a)=ln(l+ax)~ln(l-ax)-lax,"(a)=——+---2x=2、；?

1+arax1-crx

由0<%<—,解得0<a<—，

ax

当0<a<L时，/z'(a)>0,/z(a)在(0,+oo)上单调递增，

x

而/z(0)=0,所以/z(a)>0,故当0<x<工时，f(-+x)>/(--%).

aaa

（3）由（1）知，只有当a>0,且/（x）的最大值/>0时,

函数y=/（X）才会有两个零点，不妨设人（玉,0）,5（%2，。），。<%<七，

则0<%<一<%，故---玉£1°,一

aaI。

由⑵得：玉卜玉卜玉］=/（^1）=/（^）>

又由/（尤）在［：，+8）上单调递减，

*2、2T%1+九21

所以%>---不，于玉）=------>—，

a2a

由⑴知，/（x0）<0.

【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

a-b/,、

,---------（〃。b）,

两个正数。和Z?的对数平均定义：L（a.b）=hna-lnb

a（a=b）.

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

y［ab<L（a,b）（此式记为对数平均不等式）

取等条件：当且仅当。=5时，等号成立.

只证：当疝6时，友<L(a,b)〈W~.不失一般性，可设。>立

证明如下：

(I)先证：>Jab<L{a,b)..….①

不等式①olna-lnbv^=^■ohl2<口―2«>21nx<%--(其中x=、口>1)

4abb\b\ax\b

i911

构造函数/(x)=2In%—(九一一),(%>1),则/'(%)=——1--=-(1一一)2.*

XXXX

因为%>1时，r(x)<0,所以函数/(%)在(1,位)上单调递减,

故/(%)</⑴=。，从而不等式①成立；

(II)再证：L(a,b)<，②

”2..

2(--1)

不等式②0In〃—Inb>——<»ln—>----0In%>?('])(其中

a+bb(x+1)

b

4

构造函数g(x)=Inx-¥?,(x〉1),则g'(x)=L—=.

(x+1)x(x+1)x(x+l)

因为龙〉1时，g'(X)>0,所以函数g(x)在(L+8)上单调递增,

故g(x)<g(l)=O,从而不等式②成立；

综合(I)(II)知，对Da,beR+,都有对数平均不等式必<工(。乃)<@!^成立,

当且仅当。=〃时，等号成立.

例题第(3)问另解：由/(%)=/(々)=0

。In/一ox；+(2—d)xx=Inx2-ax^+(2-d)x2-0

nInXj-lnx2+2(玉-x2)=_x^+玉-x2)

Inx-Inx+2(x-x)

n〃=1212

22~：

玉一%2+/一次2

故要证/'(%)<00%="+%2>.1

2a

22,

台X+Z)玉一"2+%一X?+%+1

21nxi-lnx2+2(石-x2)In%-In/।[

X一％2

2In玉-Inx

0---------<2

x1+x2

根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证.

★已知函数/(%)=xlnx与直线y=相交于A(x，必),B(x2,y2)两点.

求证：0<\

【解析】由玉1口玉=办x2lnx2=m,可得:

①■②得:

lnx2-]nxi-m

、In%!Inx2,In%1-lnx2InjqInx2

①+②得:

-2列骼+E④

lnx1lnx2

根据对数平均不等式

%,+x9-m/、

—------>---------------(X,wx7)

2In玉一In%

利用③④式可得：

机(inx+ln/)-m

21nxiIn%In玉In%

由题于y=机与y=交于不同两点，易得出则加<o

・•・上式简化为:

-2

0<中2<—

e

招式演练：

1.已知函数/（x）=ax-'Tnx（aeR）.

x

（1）若/（x）是定义域上的增函数，求。的取值范围；

（2）若。〉不若函数/（九）有两个极值点X1,巧（尤a%）,求/（石）一/（%2）的

取值范围.

【答案】（1）（2）0</（^）-/（^）<2^2-1,

【解析】

【分析】（1）由题得/什尤/。，化为恒成立，即得解；

X十J.

H11（X?—11、

（2）先求出—<Xj<1,再求出/（石）—/（%）=2—----Inx^,令

DZ1九］十J.//

xl=t,则:</<1,得g⑺="—ghW,求出g(l)<g(/)<g]j即得解.

【详解】（1）〃X）的定义域为（。,+?）,r（x）=a+/T="2；a

•••/（九）在定义域内单调递增，

.•.刊；T0,即加一x+a»O对尤>0恒成立.

X

则恒成立.・•・。N

x2+l

所以，〃的取值范围是5，+°0

（2）设方程用x）=0,即加—x+a=0得两根为均，巧，且0<%<々.

221

由△=1—4-a2>0且二，得二<。<二，

552

g115

玉％=1，玉+X?——’2"+不「，*,•—<%<1.

a21

/\

f(玉)一f(九2)="再----In玉一cix2-------In%2

X]<犬2J

\/\

a,a1Ga1

=axi-------In西一----axx+m=2ax1-------In石

%(X7\X17

*.*ax；—石+〃=0,

/2i、/2-i1、

=W代入得/&)—〃切=2纭―1呻=2”—三n才，

X]+11玉+1J(X]+127

令X；=f,则!</<l,得g(f)=----?一7山，，y<?<1,g'(/)=~~^r<。，

4'—+1242t(t+l)

工g©而且pl上递减，从而g(l)<g(/)<g

QA

即0<g«)<ln2—w，.-.0</(^)-/(%2)<21n2--.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值

和双变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2.已知函数/(x)=axln尤-V-ax(aeR).

(1)当a=l时，判断函数了(九)是否有极值，并说明理由；

(2)若函数八％)有两个极值点均，巧，且不<%，证明：

/(%1)+/(x2)<%2-3x,.

【答案】(1)没有极值，理由见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)通过二次求导可得函数Ax)在(0,+8)内单调递减，因此函数人无)无极

值；

(2)由题意知，/'(%)=。有两个不同的零点%,马，所以4111%-2芭=0,

,2(——七)

aInZ-2x2=0,作差可得”一由三，再将所证不等式转化为21117<

(Yx

上-1,令^=f«〉D,即证21nr—产+1<0«〉1),设g(/)=21nr—产+1,利用

UiJ为

导数证明即可.

【详解】(1)当。=1时，f(x)-xlnx-x2-x,

fr(x)=l+]nx-2x-l=]nx-2x,

1]-2x

^h(x)=lnx-2x,则〃(幻=±_2=^^,

XX

由/z'(x)>0,得0<%<L,由"(x)vO,得%>J_,

22

所以/z(x)在(0、)内单调递增，在(g,+8)内单调递减，

所以x=7时，h(x)取得最大值为ln7-2x7=-ln2-l,

222

所以尸(%)=//(%)<—ln2—l<0,

所以/(X)在(0,+8)内单调递减，所以函数/'(%)没有极值.

(2)因为y(x)=acln尤-•?-"，所以/'(%)=a(l+lnx)—2%一。=aln无一2%有两个

不同的零点X，%，所以alnx「2xi=0,alnx2-2x2=0,所以

a(lnx2-Inxj)=2(x2-%；),

a-(々f)

因为无i(尤2，所以[n强，

石

要证/■&)+〃尤2)-3无；,

等价于证明%In%—x；-ax{+ax2Inx2-x1-ax2<%；-3x；,

等价于证明％,2/一x；-3+x2-2X2-x；-ax2<x；-3x；,

等价于证明4x；-。(西+x2)<0,

4%；-.(x+x2)<0

等价于证明1口上

因为再<W，所以

xi

2_2/\2

所以等价于证明21n三<上/=玉-1,

x\x\?

设强=/«>1),即证21n/—r+1<。，

%

设g(t)=21n-2+l,

则/«)=2一2/=二生，当/>1时，g'⑺<。，

tt

所以g⑺在(l,y)内单调递减，所以g«)<g⑴=0,即23—r+1<0,

所以/(%)+〃3)〈门-3以

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调

性，考查了运算求解能力，考查了化归思想，将所证不等式转化为2In上<

为

(\2

强-1是解题关键，属于中档题.

3.已知函数/(x)=(lnx—左一1)x(keR).

(1)当人=0时，若g(x)=/(x)-加有两个零点，求，”的取值范围；

k

(2)若玉且/(%)=/(%)，证明：xl-x2<e-.

【答案】(1)(-1,0)；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数研究函数〃x)的性质，得到Ax)的大致图形，根据图形可得

结果；

⑵设〃%)=/伍)=，,即二:，所以

In石一左一1二—,Inxx-Inx2

:(0<x,<x2),两式相减求出‘一,两式相加得到

In%2-k—1——,再赴

一X2

1+土

(11)

—乜ln&<-2,令

Injq+Inx2-2k-2=t-+—,将所证不等式转化为

I玉X271_A4

x2

根=:(0<根<1),构造函数，利用导数可证不等式成立.

【详解】(1)左=0时，/(x)=(lnx-l)x,f'(x)=lnx,

...当尤>1时，/‘(”>0,“工)递增；当。<%<1时，r(%)<o,/(九)递减,

X=1时，/(x)1rfli=/"⑴=—1.

又0<x<e时，/(%)<0,且x-»0时，/(x)-0,X〉e时，/(%)>0,

所以/(x)的大致图形如图：

-2

-2-

所以由图可得加的取值范围是(-1,。).

(in%1-k-i)x=t.

(2)设/(%)=/(9)=/，即,x

(lnx2-k-1)x2=t.

1nxi

玉z\

(0<,

In%2—k—1=—,

一x2

1nxi-Inx2

t=~~r~

两式相减得：1呻-1眸丁-“即:

(11、

两式相力口：In玉+Inz—2k—2=%—I----

,1%Xl)

要证：xx<e2k,只需证：2Z:

12ln(x1x2)<ln(e),即：In%1+Inx2<2k

/、1

、1上1上、(11

只需证：t—।+2左+2<2左，只需证：t—।<—2

1+五

In%1-Inx2/]+1、

<2,只需证：-----hi—<-2

只需证：11

1-A%2

x2

令m=则只需证：匕'in加<—2,

1-m

口口、十

BPidE：lnm<--------

m+1

4

构造函数=ln加-—-------=Inm—2H------(0<m<l),

m+1m+1

(m-1)2

141

则g'㈣=丁而留——T〉0,

.•.g(m)在(0,1)上单调递增,

g(m)<g(1)=0,即~,得证.

m+1

【点睛】本题考查了利用导数处理函数的零点问题，考查了转化化归思想，考查了

构造函数，利用导数证明不等式问题，属于中档题.

4.已知函数/(x)=：-alnx-1.

（1）讨论函数/（%）的单调性；

（2）若函数/（%）有两个零点X1,巧，求证：11（9一。）+石>0.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）求得/'（X）,对参数。进行分类讨论，即可利用导数求得函数单调性;

（2）根据零点定理，用为々表示。，通过换元法，求目标不等式转化为

ll(u-l)

g(“)=lnw-(w>1）的值域问题，利用导数即可得证.

3(ll+u)

【详解】（1）〃X）的定义域为（o,+8），/'（%）=1-0=三四.

当时,r（x）>0,则/⑺在（0,+功上是增函数.

当a>0时，//（x）>0<^>x>3«；/'（x）>OoO<x<3a,

所以"%）在（0,3。）上是减函数，在（3a,+8）上是增函数.

综上，当“40时，/（%）在（0,+。）上是增函数；

当a>0时，"％）在（0,3a）上是减函数，在（3a,+8）上是增函数.

（2）若函数/（%）有两个零，点七，巧，根据（1）,可得a>0.

/、/、x-3a]nx.-3=0,

不妨设由/6=/%=0,得2■,QC

九2-3a\nx2-3=0,

xx-x2_

两式相减，得%一％=3。1吁，解得3in^―a

“X2

11X+x>11(…)

要证明11%+石>11”，即证2131n五'

x2

Pn'Tln%1、11(再一9)

即证1丁>3(11々+%)'

ll(w-l)

设点j(w>1),则ln^>

3(11+〃)•

z、ll(w-l),、，/、144

则g(")=Inw-——_Hw>1),则g(M)=_—----------------->0,

ll(u-l)

所以g⑺在(L+8)上为增函数，从而g(a)>g⑴=0,即ln〃-成立,

3(ll+u)

因此，n(w-。)+%>0成立.即证.

【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及用导数证明不等式恒成立

问题，涉及构造函数法，属综合中档题.

5.已知函数/(x)=±+alnx(a>0).

(1)求”力的单调区间；

(2)若X],%(%<%)是/(*)的两个零点，求证：々一玉<色/

([2)度,+j上单调递增.⑵证明见解析

【答案】(1)0-上单调递减,

a)

【解析】

【分析】

(1)对函数/⑺求导，求出/(x)>0"'(x)<0的解，即可得出结论;

(2)由(1)求出函数有两解满足的条件，再利用零点存在性定理求出其中一个零

式子特征，通过构造函数g(x)=lnx+g，口0噂

证明g(x)>。，得出

lnx>--,即可证明结论.

X

【详解】(1)由条件可知，函数/(力的定义域是(0,+8).

由〃x)=』+alnx可得7•'('=_=+@=丝心

XXXX

当。〉0时，当0<x<F时，f(%)<0；当x>[时，

f(x)>0,则在

上单调递增.

(2)当a〉0时，”力在［上单调递减，在“［,+：)上单调递增.所以

.^(X)min=f+fln|,

①当?夕n》。时，即0<aW2e,此时小)至多1个零点，故不满足条件;

②当@+@ln2<0,即a>2e,即

22aNaNe

上单调递增且/(1)=］〉0,所以,2<0,

因为/(%)在

则J—<X<1；

所以〃龙)在上有且只有1个零点4,2

Va

当行0，\a时，令g(x)=lnx+L

11_1

则g(x)=：-g=r？，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.所以

g(x)2g(l)=l>。,

所以Inx〉」,+aIn—>+ci(—a)—0,

xa

又因为当a>2e时，所以!<

a

又因为八%)在0,J：

上单调递减，所以了(%)在0,.2有且只有一个零点,

aJ

则工1<不<、2,所以!<不

<-<x<l,

aaaVa2

llt、i—1

所以々一为<a---.

a

【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间、极值、零点，以及零点存在性定理应

用，考查函数零点的特征，解题的关键要合理构造函数，属于较难题.

6.已知函数/(%)=inx-^ax2-bx(awO).

(1)若人=0,讨论函数/⑴的单调性；

(2)若函数y=/(x)的两个零点为七,々(刀产々)，记/=号卫，证明:

/U)<o.

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求导讨论。＜0和a＞0两种情况，根据导数的正负得到单调区间;

(2)根据零点定义代入化简得到山石-山马二女年-君)+。(石-%)，计算

/、

2~~lx

(%-％)/'伍)=上~土，设立=/(0＜/＜1),根据函数的单调性得到最

土+1%%

x2

值，得到证明.

【详解】(1)若/?=0,则/Xx)=lnx—Lt«2,/，(x)=L_以=匕”.

2xx

当。＜0时，/(%)＞。恒成立，，函数/(%)在(0,+8)上单调递增;

当a>0时，令/'(x)>0,得0<%<口；当/(%)<0,得x"

VaVa

函数f(x)在f0,上单调递增，在(、口,+00)上单调递减.

aa

综上所述：当。＜0时，函数/(%)在(0,+8)上单调递增；当〃＞0时，函数/(%)在

上单调递增，在(卫,+oo)上单调递减.

a

(2)函数y=/(x)的两个零点为再，%(%。%2)，不妨设。＜玉＜九2,

xx

/(%1)=In%1~~i―如-0,/(x2)=lnx2~~2~bx2-0,

“七）一〃九2）=1口占一1口无2--%；)-b(尤］-%)=0，

-¥)+人(石-%2)♦

即Inxx-Inx2=

又/''(x)=L—(以+份，)=%：々,；,f'M=—1------(a%j,

x2七十元？I，J

'2%,+%「

•'•(七-々)/(%)=("%)a—-9-O

(再+X2----------2J

乎二步,脑—考）+。（"%）=

/、

2土-1

2«一%）一（也占一In%）=~—In区,

西+々2+1%

令五=/(0</<1),则)/)=2(51)_也*0</<1),

X21+1

•••山）==一厂一品＜0,••・一⑺在QD上单调递减,故…）=。,

/、

2五-1

A_2—in土〉0，即（西一苫2）/（公）〉0,又看一々＜0・二十（无。）＜0・

五+1%2

X2

【点睛】方法点睛：本题考查了函数的单调性，证明不等式，意在考查学生对于导

数的应用能力，设函数y=/（x）在句上连续，在（。力）上可导，则：

1.若r（x）＞0,则y=〃力在［a,可上单调递增;

2.若r（x）＜0,则y=/⑺在［a,可上单调递减.

7.已知函数/'(x)=lnx-；ax2+x,aeR

（1）若/⑴=0,求函数/⑺的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式〃龙）4依-1恒成立，求整数a的最小值:

(3)若。=一2,正实数为,%满足/(%)+/(々)+否工2=0,证明:3+々2布]

【答案】(1)(1,也)；(2)2；(3)证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：(1)利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求

导：因为/⑴=1—£=0，所以a=2,/'(x)=，_2x+l=—2r+x+%x〉o)由

2xx

r«<o,得(2)不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于

In%+x+1lnx+x+1

a”]2,在(0,+8)上恒成立.再利用导数求函数g")=12,最大值，令

—x+x—X+x

22

g'(x)=0根为%,g(x)在工€(0,不)上是增函数；在xe(%,+8)上是减函数.

i+L

g(X)max=g(X°)=竽+*°+1=——吊[=,41,2)，所以整数。的最小值为

0

—%0+%0x0(l+—x())

2.(3)转化为关于再+%的不等式即可：由/(药)+/(入2)+玉%2=0，即

2xx

In玉+1：+玉+m々+x2+々+i2-0

从而(%1+%2)2+(%1+%2)=%1理-皿%]•%),利用导数求左边函数最小值1,所以

2

(%]+x2)+(%+%2)N1,解得X]+x2>非2]

试题解析：⑴因为/⑴=1—5=0,所以〃=2,1分

止匕时/(x)=Inx-x2+%,x>0,

f(x)=---2%+1=----------(x>0)2分

xx

由广(%)v。得2%2一%一1>0,

又x>0,所以.

所以/(%)的单调减区间为(L”).4分

(2)方法一：令g(x)=/(尤)一(以-1)=lnx-gox2+(1_Q)元+i,

所以g'^=--ax+(l-a)=—"厂+Q—""I.

XX

当aWO时，因为％>0,所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+8)上是递增函数,

13

又因为g⑴=lnl-5axi2+(1-^)+1=-—«+2>0,

所以关于X的不等式/(X)<依-1不能恒成立.6分

26Z(X--)(%+1)

当〃>0时，，/、—ax+(1—d)x+1a

gW=----

x

令g'(x)=O,得％=’.

a

所以当xe(02)时，gr(x)>0；当xe(1,+co)时，gr(x)<0,

aa

因此函数g(x)在xe(0,-)是增函数，在xe(―,+oo)是减函数.

aa

故函数g(九)的最大值为gd)=lnL-[a><d)2+(l-a)x-+l=^--Ina.8分

aalaa2a

令h(a)=----Ina,

2a

因为/z(l)=L〉O,/:(2)=--ln2<0,又因为丸(a)在ae(0,+oo)是减函数.

24

所以当a»2时,h(a)<0.

所以整数。的最小值为2.10分

方法二：(2)由恒成立，得Inx-工以？+了<6a」在①件⑹上恒成

2

立，

Inx+%+1

a>---------

问题等价于12,在(0,+8)上恒成立.

—X+X

2

lnx+x+1

令g(x)=1,只要a2g(x)max-6分

一X十X

(%+1)(--%-Inx)

因为g'(x)=——1--------，令g'(x)=0,得——%—lnx=0.

(―X2+%)2

h(x)=-—x-Inx,因为〃(%)=_工一工<0,

所以h(x)在(0,+8)上单调递减,

22x

不妨设—g%Tnx=0的根为%.

当犬£(0,九0)时，gf(x)>0；当天£(%0，+8)时,gr(x)<0,

所以g(x)在xe(O,Xo)上是增函数；在xe(%,+00)上是减函数.

1+L

所以g(X)max=g(X°)=竽+X。”=----3—=—•8分

2+/%(1+万/)0

因为父;)=山2—；>0,A(l)=-1<0

所以:</<1,此时1<,<2,即gOO3eQ，).

2x0

所以a>2,即整数a的最小值为2.10分

(3)当〃=—2时，/(x)=Inx+x2+x,x>0

由/(玉)+/(九2)+玉%2=0，即In%]+%；+再+lnX2+/2+%2+石％2=。

从而(芯+%2)2+(石+%)=%予2-111(%厂％2)13分

t-1

令t=X\-*2,则由0«)=tTnt得,9")=

t

可知，(p(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,y)上单调递增.

所以。⑺2。(1)=1,15分

所以(芯+/I+(%+々)n1，

因此西+々2」|匚成立.16分

考点：利用导数求函数单调区间、函数最值

8.已知函数/(x)=lnx-x+a.

(1)求函数“力的最大值；

(2)若函数八％)存在两个零点七,%(%<%2)，证明：21nxi+ln%<0.

【答案】(1)最大值是/⑴=T+a；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出导数，由导数确定单调性后可得最大值.

(2)由(1)知两个零点七,%(%</)，为©(。，1)，X,G(1,+CO),零点间关系是

\nxi-xi+a^Vnx2-x2+a,变形为9-占=足①，引入变量，=X，则r>l,

x\王

3

In/tin/2tin1

石=—%=-要证的不等式等价变形为芍々<1，;~rr<l,即证

t-1t-1(r-1)

rln3r<(r-l)3,(z>i),为此引入新函数g(x)=Hn3f_«-ip,利用导数研究函数

的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明.

11—x

【详解】(1)函数定义域是(0,+8),由题意/'(%)=—-1=」，

XX

当0<%<1时，/'(x)>0,/(X)递增，当％>1时，r(x)<0,/(x)递减，

所以x=1时，fM取得唯一的极大值也是最大值f(l)=-l+a.

(2)由(1)/(1)=«-1>0,即<7>1时，/(X)有两个零点占,々，(无]<尤2)，则

X,e(0,l),x2G(l,+co),

x

[±]ln%1-xI+a=ln%2-%2+a=0,得々-i=Inx2-lnX]=ln卫，

xi

.xIn?

令/=—2,贝ijr>1,—%=Inf,%=----,

%t-1

21nxi+ln%2<0o皿"马)<。=。<x；9<1，xix2>0显然成立，

要证21nxi+111々<0,即证片9<1，

只要证<1,即证〃n3/<«—l)3,(r>i),

("1)3

令g(x)=,g(l)=0,

g'(t)=如31+3h?/—3(1)2,g，⑴=o,

令k(t)=g'(t),贝Uh'(t)=-6a-l)=-[ln2?+21n?-2z2+2t),

ttt

〃⑴=0,

令m(t)=ln21+2]nt-2t2+2t,

加⑺=21"'+——4^+2=—(Int+1—2t2+t),加(1)=0,

ttt

令〃(/')—In%+1—2t2+1,

n'(t)=--4t+l,t>0时，"'⑺是减函数，所以时，“'(/)<"'(1)=一2<0,

t

所以〃⑺是减函数，咐<"(1)=0,即/⑺<0(£以),

所以根⑺是减函数，<m(l)=0,所以丸'«)<0,无⑺在/>1时是减函数，

h(t)<h(l)=0,即g'⑺<0,所以g⑺在。4W)上是减函数,g⑺<g(l)=0,

所以1)3<0,即Hn3f

综上，21nxi+ln%<0成立.

【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导

数与单调性的关系是解题基础.证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函

数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论.在需要引入新函数

时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单.

9.已知函数/(x)=ox-lnx(aeH).

(1)讨论八％)的极值；

/、11

(2)若““有两个零点七，巧，证明：—+-—>2.

HI4]-Lna)

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；

(2)根据零点的概念得到不丁=",利用分析法只需证:

In—<——,令/=卫〉1,即证设=Inf一!卜一工

%々Jxi21〃21。

根据函数的单调性证明即可.

【详解】⑴广(力=。」=竺匚(x>0),

JCX

①当awo时，由于无>0,故依-1<0,/(%)<0,

所以/(X)在(0,+。)内单调递减，无极值;

②当a〉0时，由/'(尤)=0,得％=工，

a

在1°,!］上，r(”<°，在［!，+s］上，r(x)>o,

所以函数“力的单调递减区间为,单调递增区间为t,+8)

函数“X)有极小值/(£|=l+lna,无极大值，

综上：当时，/(%)无极值；当。>0时，/(%)有极小值1+lna,无极大值.

(2)函数/(%)有两个零点均，巧，不妨设不<*2，

由(1)得，〃>0且—］=l+ln〃<0,「.0<。<一,

\aJe

贝|1111玉一〃玉=0,Inx2-ax2=0,In^—In^=a(^x2—,

Inx-In2

即---9------

x2-x1

11111c

要证：■+->2,0<a<-y需证：一十—>2a,

mxilnx2e西x2

x+x2+xInx-Inx

只需证：3—9只需证：(~9->―9-——L,

2再%22玉%2%2一玉

、

只需证：誓2当2＞ln三，只需证：In逍＜1:/强—五,

Xl石2I再九2J

令，=；〉1,即证

设9«)=ln/--,

则“⑺=2：T＜0-即函数。⑺在(1，+8)单调递减,

则咐＜刎=°，即得自+表”

【点睛】思路点睛：

(1)通过单调性求函数的极值，定义域为(0,+”),按照导函数的零点与区间端点

0的关系进行分类讨论；

(2)将。利用玉表示，将不等式转化为关于三的不等式，利用导数判断函数的

%]

单调性进行证明.

10.已