人教版九年级上册数学解答题训练50题(含答案)

人教版九年级上册数学解答题专题训练50题含答案

一、解答题

1.解方程：X2+6A--3=O.

【答案】司=—3+26，々=—3—26

【分析】利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】解：x2+6x-3=0

由题意得，a=\,b=6,c=-3,

VA=/j2-4ac=62-4xlx(-3)=48,

・-b±\lb2-4ac生巫=_3±25

••x=------------

2a2

=-3+2A/3)赴=—3—

【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键.

2.如图所示，正方形网格中，ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）把JU3C沿54方向平移后，点A移到点A，在网格中画出平移后得到的△ABCi；

（2）把△A]©绕点A按逆时针方向旋转90。，在网格中画出旋转后的△ABK?.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离;

（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度.

【详解】（1）解：如图所示：△Agq即为所求;

（2）如图所示：△ABiG即为所求.

【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的

性质是关键.

3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？

【答案】杠杆的旋转中心是点0，旋转角是（或/ACW）

【分析】根据旋转的定义即可得到杠杆绕支点转动撬起重物的旋转中心，旋转角.

【详解】解：杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆绕点。旋转，所以杠杆的旋转中心是点

0,旋转角是N30夕（或NA04）.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连

线段的夹角等于旋转角.

4.已知，如图，直线AB经过点3（0,6）,点A（4,0）,与抛物线），=加+2在第一象限

内相交于点P，又知的面积为6.

（1）求a的值；

（2）若将抛物线y=+2沿y轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛

物线经过点A.

【分析】(1)首先求得直线48的解析式，然后根据面积求得P点的纵坐标，然后代入

求得其横坐标，代入二次函数即可求解；

(2)根据题意得平移后的抛物线为丫=4炉+2-帆，把A(4,0)代入y='/+2-机即

44

可得到结论.

【详解】解：设点P(x,y),直线AS的解析式为y="+"

将44,0)、8(0,6)分别代入丁=依+0,

3

得左二-],b=6,

乂3/

故y=_QX+6,

AAOP的面积=gx4xy=6

..y=3,

再把y=3代入y=—■|x+6,得x=2,

所以P(2,3),

把尸(2,3)代入至1」丫=方2+2中得：a=L.

4

(2)设向下平移〃?个单位才能使得平移后的抛物线经过点A,

则平移后的抛物线为y=~x2+2-m,

4

把4(4,0)代入丫='/+2_加得机=6,

4

，向下平移6个单位才能使得平移后的抛物线经过点A.

【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与图象相结合的应用，难度中等.解题关键

是利用三角形面积求出点P的坐标.

5.某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元，经调查发现售价为32元时，每天可

售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量

增加2个，商店同一天内售价保持不变.

(1)若售价增加x元，则销售量是()个(用含x的代数式表示)；

(2)某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？(利润=售价-进

价)

【答案】(1)20-0.4X；(2)当天的售价为52元.

【分析】(1)每增加5元，销售量减少2个，则售价增加x元，销售量减少2x芯,则

可得出售价增加x元，销售量是20-0.4X；

(2)用“单个玩具的利润x销售玩具的数量=销售玩具的利润”这一等量关系，列出方程

然后求解即可.

【详解】（1）由题意可知：每增加5元，销售量减少2个，则售价增加x元，销售量

减少2x云，则可得出售价增加x元，销售量是20-0.4x；

（2）（32-20+x）（20-0.4x）=384

化简得x2-38x+360=0

x,=20x,=18

当x?=18时，20—0.4X=20—0.4x18=12.8（不符合实际，舍去）,

当％=20时，售价为：32+20=52（元）.

答：当天的售价为52元.

【点睛】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意找出等量关系列

出方程是解题的关键.

6.2022年3月，举世瞩目的北京冬奥会、冬残奥会胜利闭幕.以下是2022年北京冬

奥运会会徽一冬梦、冬残奥会会徽一飞跃、冬奥会吉祥物一冰墩墩及冬残奥会吉祥物

—雪容融的卡片，四张卡片分别用编号A,B,C,。来表示，这4张卡片背面完全相

同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.

BEIJINGR江

PARALYMPICGAMES毋

BEIJING202^g

CX^)G

冬梦飞跃冰墩墩雪容融

ABCD

（1）从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为;

（2）将4冬梦和C冰墩墩的组合或B飞跃和。雪容融的组合称为“一套“，小明和小红依

次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张

卡片恰好一套的概率.

【答案】⑴，；

4

（2）-.

,3

【分析】（1）直接由概率公式求解即可:

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小明和小红她们抽到的两张卡片恰好配套

的结果有4种，再由概率公式求解即可.

【详解.】解：从中任意抽取一个张卡片’恰好是“冬梦"的概率为I

故答案为：:

(2)解:画树状图如下：

开始

D

/N

/N小

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好配套的结果有4种，分别是：（A,C）、

（8,。）、（C,A）、（D,E所以她们抽到的两张卡片恰好配套的概率为

【点睛】此题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的

结果.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.解题的关键是熟练掌握画

树状图.

7.今年是中国共产党建党100周年，中华人民共和国成立72周年！在国庆前夕，社

区便民超市调查了某种水果的销售情况获得如下信息：

信息一：进价是每千克12元；

信息二：当销售价为每千克27元时，每天可售出120千克；

若每千克售价每降低2元，则每天的销售量将增加80千克.根据以上信息解答问题：

该超市每天想要获得3080元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的

销售单价应为多少元.

【答案】这种水果的销售单价为19元

【分析】设这种水果的销售单价为x元，则有销售量为（1200-40X）千克，然后根据利

润=销售量x单个利润即可求解.

【详解】解：设这种水果的销售单价为x元，由题意得：

(x-12)120+8。(2；-x)=3080,

解得：办=19,电=23,

：要尽可能让顾客得到实惠，

x=19,

答：这种水果的销售单价为19元.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的

关键.

8.已知抛物线丫=加+法+3经过点A(3,0)和点8(4,3).

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；

(2)直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值(或最小值).

【答案】⑴y=f-4x+3

(2)开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),最小值为-I

【分析】(1)由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于。和b的二元一

次方程组，解得“和b,可写出二次函数解析式；

(2)根据。的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标

和二次函数的最值.

【详解】(1)解：将点A(3,0)和点8(4,3)代入产加+法+3中，

,[967+36+3=0

得'([么，公公，

[16。+4A8+3=3

[4=1

解得：,)，

[h=-4

，y=f-4x+3

⑵解：•••y=》2_4x+3=(x-2)2-1,a=\>0,

开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),最小值为T.

【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴.

9.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完

全相同.搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球

放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.

摸球的次数n10020030050080010003000

摸到白球的次数m521381783024815991803

摸到白球的频率0.520.690.5930.6040.600.5990.601

(1)若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为(精确到

0.1)

(2)盒子里白色的球有只；

(3)若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概

率是0.8,求m的值.

【答案】(1)0.6；(2)18；(3)30

【分析】(1)根据频率估算出概率即可；

(2)用总数乘以其频率即可得出答案；

(3)利用概率公式求解即可.

【详解】解：(1):•根据表格可知摸到白球的频率约为0.6,

.•.当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6；故答案为0.6；

(2)•••摸到白球的频率为0.6,共有30只球,

则白球的个数为30x0.6=18只，故答案为18；

(3)根据题意可知：9~-0.8,解得m=30,故答案为30.

30+w

【点睛】本题考查的是概率的知识，能够根据表格确定频率是解题的关键.

10.(1)(1)2=4；(2)X2-4X+3=O；

(3)x2-2y/3x+3=0；(4)x(x-6)=6.

【答案】(1)4=3,々=-1；(2)为=3,%=1；(3)%=4=小；(4)

大=3+J15,x>=3-J15.

【详解】试题分析：(1)、利用直接开平方法求出方程的解；(2)、利用十字相乘法进行

因式分解，然后求出方程的解：(2)、利用配方法将原方程配成完全平方式，然后利用

直接开平方法求出答案；(4)、首先进行配方，然后利用直接开平方法求出答案.

试题解析：(1)、直接开方可得：x-l=12,解得：占=3,x2=-l；

(2)^因式分解得：(x-l)(x-3)=0,解得：%=3，々=1;

(3)、配方得：(x—0)=0,解得：玉=々=6；

(4)、X2-6X=6,X2-6X+9=15,(X-3)2=15,则X-3=±E

解得：与=3+岳，^=3-715.

11.解方程：(用适当的方法解方程)

(1)X2-4A-3=0

(2)2X(X-1)-(X-1)=0

(3)5x2=4-2x

(4)(x-2)(3%-5)=1

【答案】（1）±=2+正，马=2-/

7a、—1+>/211+—21

(3)&=----々=-------

]1+岳11-^

(4)玉-----------，X-)=------------

6-6

【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可

(2)用因式分解法解一元二次方程即可

(3)用公式法解一元二次方程即可

(4)用公式法解一元二次方程即可

2

【详解】(1)VX-4X-3=O,

.』也西1=2土不，

2

:・x,=2+V7,=2—V7

(2)V2x(x-l)-(x-l)=0,

A(x-l)(2x-l)=0,

1-1=0或2工-1=0,

x=1,=一

~2

(3)5x2=4—2x,

:.5X2+2X-4=0,

.-2±j4+100-1±A/2T

••x=--------------------------------f

105

,-1+V2T1+V21

.♦1".---------------，---------------

55

(4)V(x—2)(3x-5)=1,

3X2-11X+9=0,

.11±V121-1O811±V13

••x=------------=-------，

66

.11+V1311-V13

f=~

【点睛】本题考查了解一元二次方程，恰当应用解方程的方法是解决问题的关键

12.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万

件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相

同.

(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；

(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否

达到45万件？

【答案】(1)该公司投递快递总件数的月增长率为30%；

(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能

达到45万件.

【分析】(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x,利用4月快递总件数=2月快

递总件数(l+x『，即可得出一元二次方程，解方程取正值即可得出结论；

(2)已求得每月的增长率，利用5月快递总件数=4月快递总件数(1+幻，求解出具体

数值并与45万件比较得出结论.

【详解】(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为X,

依题意得：20Q+x>=33.8,

z,、233.8

(l+x)-=---=1.69

20

l+x=1.3或l+x=—1.3

二.士=0.3,%,=-2.3(不符合题意，舍去)

即增长率为30%,

答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%

(2)4月份投递快递总件数33.8万件，月增长率为30%,则5月份投递快递总件数

为：

33.8x(l+30%)=33.8x1.3=43.94,

因为43.94<45，即5月份投递快递总件数不能达到45万件，

答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不

能达到45万件.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用题中的平均增长率问题，如何正确根据题

意列出一元二次方程是解题的关键.

13.已知关于x的一元二次方程依2+fec+c=0(，E0)的一个根为

-2+j2-x1x(-4)则4如廿一

2x1'4a

【答案】-5

【分析】由题意知，〃=1,b=2,c=-4,再代入计算即可.

【详解】解：由题意知，a—1,b—2,c--4,

.4ac-b2_4xlx(-4)-22

4。4x1

-16-4匚

-------=—3

4

故答案为：-5.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的求根公式的理解，掌握“求根公式：

是解本题的关键.

14.列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、

病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用.据调查，2021年I月份某厂家口

罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%,4月份口罩产量为196万只.

(1)该厂家2月份的口罩产量为万只；

(2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？

【答案】(1)100

(2)40%

【分析】(1)用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解；

(2)设月平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.

(1)2月份的产量为：80x(l+25%)=100(万只)，故答案为：100；

(2)设月平均增长率为x,根据题意有：100X(1+X)2=196,解得：x=40%,(负值舍

去)，故2月份到4月份的平均增长率为40%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的

关键.

15.“2019淮安清江浦国际半程马拉松赛”的赛事共有三项：A.“半程马拉松2019”、

B.“纪念2019”、C.“爱跑2019”.小明和小丽参与了该项赛事的志愿者服务工作，组

委会随机将志愿者分配到三个项目组.

⑴小明被分配至『'爱跑2019”项目组的概率为；

（2）用树状图或列表法求小明和小丽被分配到不同项目组的概率.

19

【答案】（1）-;（2）-

【分析】（1）总共有3个项目，所以小明被分配到“爱跑2019”项目组的概率为g；

（2）先用树状图或列表法列出所有的情况，然后从中找到小明和小丽被分配到不同项

目组的情况数，再利用概率的计算方法计算即可.

【详解】（1）,••总共有3个项目组，

小明被分配至「爱跑2019”项目组的概率为g；

（2）设三种赛事分别为1、2、3,列表得

123

1(1,1)(2,1)(3.1)

2。，2）(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有可能的情况有9种，不同的情况6种，

2

P（小明和小丽被分配到不同项目组）=§.

【点睛】本题主要考查用树状图或列表法求随机事件的概率，正确的画出树状图或表

格是解题的关键.

16.如图，△A8C三个顶点的坐标分别为A（0,1）,B（4,2）,C（1,3）.

（1）将AABC向右、向下分别平移1个单位长度和5个单位长度得到△A/B/G,请画

出△A/B/C/,并写出点A/,G的坐标；

（2）请画出△A8C关于原点0成中心对称的△A2B2C2.

【答案】（1）见解析，点A/的坐标为（1,-4）,点C/的坐标为（2,-2）；（2）见

解析.

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得出对应点的坐标，描点画出图形即可；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出对应点的坐标，描点画出图形即可.

【详解】（1）如图，△48/。为所作，点A/的坐标为（1,-4）,点G的坐标为

（2,-2）；

（2）如图，△A282c2为所作.

【点睛】本题考查坐标与图形变换-平移、坐标与图形变换-旋转，熟练掌握坐标与图形

变换的规律，正确得出对应点的坐标是解答的关键.

17.解方程

(1)X2-4X+3=0

(2)(X-3)2=2(X-3)

【答案】（1）占=1,1=3.

(2)=3,x,=5.

【分析】（1）先把方程左边分解因式化为（x-l）（x-3）=0,再化为两个一次方程，再

解一次方程即可；

（2）先移项，把方程左边分解因式化为（》-3）（犬-5）=0,再化为两个一次方程，再解

一次方程即可.

【详解】(1)解：X2-4X+3=0,

(x-l)(x-3)=0,

，工一1=0或》一3=0,

解得：％=1,x2=3.

(2)(x—3)2=2(x—3),

移项得：(X-3)2-2(X-3)=0,

(x-3)(x-5)=0,

x—3=0,x—5=0,

解得：玉=3,々=5.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方

程”是解本题的关键.

18.某校团委决定从4名学生会干部(小明、小华、小丽和小颖)中抽签确定2名同

学去进行宣传活动，抽签规则：将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，

把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，既然从中随机抽取一张卡片，记下姓名，

再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.试用画树状图或列表的方法表示

这次抽签所有可能的结果，并求出小明被抽中的概率.

【答案】：

【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可.

【详解】解：记小明、小华、小丽和小颖这四位同学分别为A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

A---(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)---(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)---(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)---

由表可知，共有12种等可能结果，其中小明被抽中的有6种结果,

所以小明被抽中的概率为：刍

122

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以

不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合

两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

19.如图1所示，是一块边长为2的正方形瓷碗，其中瓷砖的阴影部分是半径为1的

扇形.请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案，使拼成的图案即是轴对称图形又是中心对

称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形中(要求用圆规画图).

图1

【答案】通过对轴对称图形分析作图

【详解】试题分析：图形(1)既轴对称(对称轴为正方形对角线所在的直线)，又中

心对称(对称中心为正方形的中心)，根据小正方形的对称性，将小正方形换动不同方

向，得出既轴对称图形又中心对称的图形

既轴对称图形又中心对称的图形如图所示

(1)(2)(3)(4)

考点：旋转作图

点评：本题考查了运用旋转，轴对称方法设计图案的问题.关键是熟悉有关图形的对

称性，利用中心对称性拼图

20.如图，AABC三个顶点的坐标分别为A(l,1)、B(4,2)、C(3,4)

L-J--J---l--L5L.-J---l--L.J--J

（1）请画出将AABC向左平移4个单位长度后得到的图形AA£G，直接写出点A的

坐标；

⑵请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90。的图形A4222c2,直接写出点儿的坐标；

（3）在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标.

【答案】（1）A（-3,l）,作图见解析，（2）4（1,-1）,作图见解析，（3）尸（2,0）,作图

见解析.

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即

可；

（2）找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90。的对称点的位置，然后顺次连接即

可；

（3）找出A的对称点A，，连接BA，，与x轴交点即为P.

【详解】解：（1）如图所示：点4的坐标（-3,1）；

（2）如图所示：点4的坐标（1,-1）；

（3）找出A的对称点A，（1,-1）,连接BA，，与x轴交点即为P；

则尸A=FA,（A,4重合），

PA+PB=PA+PB=BA,

则P即为所求作的点，

如图所示：点P坐标为（2,0）.

【点睛】本题考查了利用平移，旋转变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格

结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

21.已知关于x的方程d-3x-%+9=0的两个实根为毛，巧.且满足玉=-2々，试求

这个方程的两个实根及k的值.

【答案】%=6/2=-3,%=27

【分析】根据根与系数的关系进行解答即可.

【详解】••口,电是一元二次方程x2-3xd+9=0的两个根，

.,b__3_a

a1

VXj=-2X2,

/.x}=6,x2=—3,

.c-k+9

..Xj-%2=—=--------=-18,

a1

・・・9—Z=-18,

：.k=Tl.

【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握两根之和为％+x,=-2,两根之积

a

“％=£是解题的关键.

a

22.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程"2+公+C=0(WO)的求根公式时，对于尼

-4ac>0的情况，她是这样做的：(下页)

解：由于a翔，方程ax2+/)x+c=o变形为：

bc

N+2X=-£,…第一步

aa

x2+—x+(—)2="-+(—)2,…第二步

a2aa2a

(x+?)2=:半,…第三步

2a4a2

.hyJh2-4ac

X'—―--------

2a4a

(〃-4ac20),…第四步

x尸3"”如,…第五步

2a

(1)嘉淇的解法从第一步开始出现错误；事实上，当〃-4“吟0时，方程以2+bx+c=0

(存0)的求根公式是.

(2)用配方法解方程：2N-4x+l=0.

【答案】⑴第四步，尸一"""4叱

2a

(2)X1=1+—,X2=1..-

22

【分析】(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案:

(2)用配方法解方程即可.

(1)

解：嘉淇的解法从第四步开始出现错误，求根公式为：产生四三竺.

2a

(2)

解：2x2-4x+l=0,

2(x2-2r)+1=0,

2(x2-2x+1-1)=-1,

2(x-1)2=1,

X-1=±——，

2

I：五,x/2

22

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解

法，本题属于基础题型.

23.如图，AB是。0的直径，点D在。O上，ZDAB=45°,BC/7AD,CD/7AB.

（1）判断直线CD与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若。O的半径为1,求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.

【答案】（1）直线CD与。0相切，理由见解析

⑵14

【详解】解：（1）直线CD与（DO相切.如图，连接0D.

VOA=OD,ZDAB=45°,

，ZODA=45°,

・•・ZAOD=90°.

VCD//AB,

.,.ZODC=ZAOD=90°,

即OD_LCD.

又二点D在。O上,

J直线CD与。O相切.

（2）・「BC〃AD,CD/ZAB,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB=2.

（OB+CD）1OD（l+2）xl3

・・S梯形OBCD=-------------------------==-，

二.图中阴影部分的面积为S梯形OBCD-S域形OBD==~~~.

2424

24.如图，。。是AABC的外接圆，AB是。。的直径，延长AB到点E,连接EC,使得

ZBCE=ZBAC

（1）求证：EC是。O的切线；

（2）过点A作ADLEC的延长线于点D,若AD=5,DE=12,求。O的半径.

ED

C

【答案】（1）证明见解析；（2）台.

O1

【详解】分析：（1）连结0C,根据圆周角定理由AB是。0的直径得Nl+N2=90。，

而N1=NA,NA=NBCE,所以NBCE=N1,即NBCE+N2=90。，然后根据切线的判

定定理即可得到EC是。0的切线；

（2）设。O的半径为r,在RtAADE中利用勾股定理计算出AE=13,则0E=13-r,

OC=r,证明△EOCsaEAD,利用相似比得到好=会，即；="，然后解方程

ADEA513

即可得到圆的半径.

详解：（1）证明：连结OC,如图，

TAB是。O的直径

AZACB=90°,即NBCO+NACO=90。,

VOC=OA,

AZOCA=ZBAC,

XVZBCE=ZBAC,

・・・NBCE=NOCA,

AZBCE+ZBCO=90°,

AOC1EC,

・・・EC是（DO的切线；

（2）解：设。。的半径为r,

在Rt^ADE中，AD=5,ED=12,AE=>JAD2+DE2=13,

AOE=13-r,OC=r

VOC±EC,

VAD1EC,

・・・OC〃AD,

AAEOC^AEAD,

.OCEOr13-r

••------=------，即Hn—=------

ADEA513

即。0的半径为

18

点睛：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.

25.如图；。是△回£)的外接圆，A8为直径，点C是A。的中点，连结OC,BC分别

交A3于点F,E.

(1)求证：ZABD=2NC.

(2)若48=10,8C=8,求BO的长.

【答案】(1)见解析；(2)2.8

【分析】(1)由圆周角定理得出NA8C=NQ3。，由等腰三角形的性质得出

ZABC=NC,则可得出结论；

(2)连接AC,由勾股定理求出AC=6,得出父-O尸=62-(5-0行，求出。F=1.4,

则可得出答案.

【详解】解：(1)证明：.C是的中点,

AC=DC<

ZABC=NCBD,

OB=OC,

ZABC=NC,

:.ZABC=NCBD=NC,

ZABD=ZABC+CBD=2ZC；

(2)连接AC,

AB为。的直径,

:.ZACB=90P,

AC=y]AB2-BC2=6>

C是AO的中点，

;.OCLAD,尸是AD的中点，

(142-OF2=AF2=AC2-CF-,

:.52-OF2=62-(5-OF)2,

.-.OF=1.4,

又・。是AB的中点，尸是的中点，

:.BD=2OF=2.8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定

理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键.

26.用公式法解方程：x2-x-1=0.

【答案]工=生叵.

2

【详解】a=l,b=-l,c=-l,

bMac=(-l)2-4x1x(-l)=5>0,

_-b±yjb2-4ac_\±\/5

x----------------------，

2a2

.\+小l->/5

..Xl=-----------，X2=-----------.

22

27.疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测.某校统计

了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数》(单位：人)随时间x(单位：分

钟)的变化情况如图所示，当04x410时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原

点，且顶点坐标为(10,500)；当10<x412时，累计人数保持不变.

(1)求)与x之间的函数表达式；

(2)如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟

可检测20人.校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成

体温检测需要多少时间？

(3)在(2)的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应

该至少增加几个检测点？

【答案】(1)y=-5x2+100x(0<x<10),y=500(10<x<12)；(2)排队人数最多时有

180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；(3)2个

【分析】(1)当04x410时，>可看作是x的二次函数，由于抛物线的顶点为(10,

500),设y与x之间的函数解析式为：)，=。(x-10)2+500,把O点的坐标(0,0)代入

即可求得心当10<x412时;累计人数保持不变，问题即可解决；

(2)设第x分钟时的排队人数为w人，到校人数减去检测人生，即可得到w与x的函

数解析式，根据二次函数解析式可求得其最大值=180；要全部学生都完成体温检测，

根据题意得500-40x=0,求解即可：

(3)设从一开始就应该增加，"个检测点，由“在8分钟内让全部考生完成体温检测”，

列出不等式，可求解.

【详解】解：(1)当04x410时，设y与x之间的函数关系式为：

y=a(x-10)2+500,

把(0,0)代入上式得：0=4(0-10)2+500,

解得：a——5,

故函数关系式为：y=-5(x-10)2+500(0<x<10)

当10<x412时，累计人数保持不变，即)-=500.

y=-5x2+100x(0<x<10),y=500(10<x<12)

(2)设第x分钟时的排队等待人数为w-人，由题意可得：w=y-40x

①04x410时，w=-5x2+100%-40x=-5x2+60x=-5(x-6)2+180,

.,.当x=6时，w的最大值=180,

②当10cxW12时，vv=500-40x,卬随x的增大而减小，

.-.20<w<100,

排队人数最多时是180人，

要全部学生都完成体温检测，根据题意得：500-40x=0

解得：x=12.5

答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；

(3)设从一开始就应该增加m个检测点，

由题意得：8x20(/n+2)>500,

9

解得

8

的最小整数是2,

二一开始就应该至少增加2个检测点.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次

不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键.

28.已知：如图.△ABC和必DEC都是等边角形.。是BC延长线上一点，A。与BE

相交于点P.AC、BE相交于点M,A。、CE相交于点M

图①图②

⑴在图①中，求证：AD=BE；

(2)当^CDE绕点、C沿逆时针方向旋转到图②时，ZAPB^

【答案】(1)见解析

(2)60°

【分析】(I)根据等边三角形性质得出AC=BC,CE=CD,/ACB=NECD=60。，

求出NBCE=NAC£>,根据SAS推出两三角形全等即可；

(2)证明△AC。丝△BCE(SAS),得到AO=2E,ZDAC=ZEBC,根据三角形的内

角和定理，即可解答.

【详解】(1)证明：・••△ABC和ACDE为等边三角形，

，AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

：.ZACD=ZBCE,

在△48和4BCE中，

AC^BC,NACD=NBCE,CD=CE,

.♦.△ACO丝△BCE(SAS),

J.AD^BE-,

(2)解：:△ABC和△COE都是等边三角形,

，4C=BC,CD=CE,NACB=N£)CE=60。，

ZACB+NBCD=ZDCE+ZBCD,

即NAC£>=/8CE,

在△4。£>和4BCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,

CD=CE

:•△ACD^XBCE(SAS),

/O4C=NEBC,

,/NAMP=NBMC,

：.ZAPB=ZACB=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟

练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

29.图1,图2是小明家厨房的效果图和装修平面图(长方形)，设计师将厨房按使用

功能分为三个区域，区域I摆放冰箱，区域H为活动区，区域H1为台面区，其中区域

I、区域n为长方形.现测得FG与墙面BC之间的距离等于HG与墙面CD之间的距

离，比EF与墙面AB之间的距离少0.1m.设AE为x(m),回答下列问题：

(1)用含x的代数式表示FG,则FG=m.

⑵当AE为何值时，区域II的面积能达到2.34m2?

(3)测得JF=0.35m,在(2)的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和

背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，则选择购买.款冰箱更合

适.

【答案】(l)3.2-2x

(2)0.7

(3)B

【分析】(1)用含x的代数式表示出。”的长，根据FG=AZ>AE-DH,代入化简，可表

示出FG的长.

(2)用含x的代数式表示出G”的长，再根据长方形的面积=长乂宽，可得到关于x的

方程，解方程求出x的值.

(3)将x的值代入计算求出ER即的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距

离至少预留20a〃1的散热空间，利用A,B,C三款冰箱的尺寸，可得答案.

【详解】(1)3100»izn=3.1m,1900mm=1.9m

AE=xm,DH=(x-0.1)m,

：.FG^AD-AE-DH=3.\-x-(x-0.1)=3.2-2%

故答案为：3.2-2r

(2)解：GH=1.9-(x-0.1)=(2-x)m,

：.(3.2-2x)(2-x)=2.34

解之：xi=0.1,X2=2.9(舍去)

，x=0.7,

当AE=0.7时，区域II的面积能达到2.34m2.

(3)由(2)得

EF=GH=2-x=2-0.1=1.3m

尸=1.3-0.35=0.95m，

EJ=950mm,AE=0.J=100mm,

950-2x20=910〃?"?，

V910>908且700-20>677,

.•.应该选择B冰箱更合适.

故答案为：B.

【点睛】一元二次方程的实际应用-几何问题，解题的关键是读懂题意，看清图形，根

据题意设未知数，根据等量关系列一元二次方程.

30.我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”.请用无刻度的直尺画出

图(1)、图(2)的“好线”.其中图(1)是一个平行四边形，图(2)由一个平行四边形和一个矩

形组成(保留画图痕迹，不写画法)

⑴（2）

【答案】见解析

【分析】图（1）过平行四边形的中心0画直线MN即可，图（2）过平行四边形和矩

形的中心O,CT画直线MN即可.

【详解】解：如图（1）,直线MN即为所求（答案不唯一）.

如图（2）,直线MN即为所求.

【点睛】本题考查了利用中心对称图形的性质进行作图及平行四边形和矩形的性质,

掌握中心对称图形的性质是解题的关键.

31.幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都

相等的模型.数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如图所示，并设计游戏：一人将

一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字

相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜.猜想的方法从以下两种中选一种：

816

357

492

（1）猜”是大于5的数”或“不是大于5的数”；

（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；

如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？为什么？

【答案】为了尽可能获胜，我会选猜法（2）,猜“不是3的倍数”，理由见解析.

【分析】根据概率公式，分别求出：投中”是大于5的数”的概率，投中“不是大于5的

数”的概率，投中“是3的倍数”的概率，投中“不是3的倍数”的概率，进而即可得到结

论.

【详解】为了尽可能获胜，我会选猜法（2）,猜“不是3的倍数”，理由如下:

①“是大于5的数”有6,7,8,9,

共4种结果，所有的结果共9种，

投中“是大于5的数”的概率R:4

②“不是大于5的数”有1,2,3,4,5,

共5种结果，所有的结果共9种，

投中“不是大于5的数”的概率£1.

③“是3的倍数”的数有3,6,9,

共3种结果，所有的结果共9种，

投中“是3的倍数”的概率6=g.

④“不是3的倍数”的数有124,5,7,8,

共6种结果，所有的结果共9种，

2

.•投中“不是3的倍数”的概率P苦.

2541

3993

，为了尽可能获胜，我会选猜法(2),猜“不是3的倍数力

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解题的关键.

32.已知关于x的一元二次方程2x2-3g-3=0(m为常数).

(1)求证：无论〃2为何值，方程总有两个不相等的实数根：

(2)若x=2是方程的根，则根的值为.

【答案】(1)见解析

5+>J55—y/5

(2)m=-----或———

22

【分析】(1)先计算判别式的值得到4=(%2)2+8>0,然后根据判别式的意义得到结

论；

(2)将42代入方程，解方程即可.

【详解】(1)解：***A=9m2-4x2(m2+ni-3)-(m-2)2+8>0,

・••无论相为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)将x-2代入方程，得S-6m+m2+m-3=0,

整理得，加2.5m+5=0,

解得机=止叵或三叵，

22

故答案为：帆=如叵或三立.

22

【点睛】本题考查了一元二次方程分2+〃x+c=0(存0)的根的判别式A»2-4ac：当A>

0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没

有实数根.也考查了解一元二次方程.

33.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线>=-*2+2〃a_疗+,〃_2(加是常数).

八y

3-

2-

1-

-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

(1)求该抛物线的顶点坐标(用含，"代数式表示)；

(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=l的距离为1,直接写出机的取值范围；

(3)如果点4。,y),8(a+2,%)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有

M>%,求。的取值范围.

【答案】(1)抛物线的顶点坐标(机，，"-2)；

(2)2<m<4；

(3)a>l.

【分析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解.

(2)由抛物线上有且只有两个点到直线y=l的距离为1,及抛物线开口向下可得顶点

在直线产0和直线产2之间，进而求解.

(3)由顶点在第四象限可得团的取值范围，由可得点8到对称轴距离大于点A

到对称轴距离，进而求解.

(1)

y=—x2+2mx-m1+m—2=—(x—m)2+m—2,

二抛物线的顶点坐标(m,w-2)；

(2)

:抛物线开口向下，顶点坐标为(加，机-2),

：.0<m-2<2,

解得2〈机<4；

(3)

•••抛物线顶点在第四