江苏省南通市通州区金北学校2025届九上数学期末教学质量检测试题含解析

江苏省南通市通州区金北学校2025届九上数学期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，将一副三角板如图放置，如果，那么点到的距离为()A． B． C． D．2．如图，在菱形中，，，为中点，是上一点，为上一点，且，，交于点，关于下列结论，正确序号的选项是（）①，②，③④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④3．下列事件是随机事件的是（）A．在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾B．购买一张福利彩票就中奖C．有一名运动员奔跑的速度是50米/秒D．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球4．如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB=AC，若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠AED的度数为（）A．25° B．30° C．40° D．45°5．如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知∠A是锐角，，那么∠A的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（）.A．（0，﹣2） B．（0，﹣） C．（0，﹣） D．（0，﹣）8．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A． B． C． D．9．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断10．如图，一次函数分别与轴、轴交于点、，若sin，则的值为（）A． B． C． D．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝110°，则∠ACB的度数为（）A．35° B．55° C．60° D．70°12．关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣7＝0的一个根是﹣2，则m的值可以是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣3或1二、填空题（每题4分，共24分）13．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)14．如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝_____．15．若＝，则的值为________．16．二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_____．17．若，则_______.18．地物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一次函数图象经过点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点，点的横坐标是.请直接写出点的坐标(，)；求该一次函数的解析式;求的面积.20．（8分）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）将△ABC各顶点的横纵坐标都缩小为原来的得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；（2）求A1C1的长．22．（10分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（3）若抛物线与直线相交于，两点，写出抛物线在直线下方时的取值范围．23．（10分）已知关于x的不等式组恰有两个整数解,求实数a的取值范围.24．（10分）如图，已知等边，以边为直径的圆与边，分别交于点、，过点作于点．（1）求证：是的切线；（2）过点作于点，若等边的边长为8，求的长．25．（12分）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=25，AC=39，，求tanC和BC的长.

26．小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（精确到0.1）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】作EF⊥BC于F，设EF＝x，根据三角函数分别表示出BF,CF，根据BD∥EF得到△BCD∽△FCE，得到,代入即可求出x．【详解】如图，作EF⊥BC于F，设EF＝x，又∠ABC=45°，∠DCB=30°，则BF=EF÷tan45°=x,FC=EF÷tan30°=x∵BD∥EF∴△BCD∽△FCE，∴,即解得x=，x=0舍去故EF＝，选B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定及解直角三角形的应用．2、B【分析】依据，，即可得到；依据，即可得出；过作于，依据，根据相似三角形的性质得到；依据，，可得，进而得到．【详解】解：∵菱形中，，．∴，，∴，故①正确；∴，又∵，为中点，，∴，即，又∵，∴∵，∴，∴，∴，故②正确；如图，过作于，则，∴，，，∴中，，又∵，∴，故③正确；∵，，，，∴，，∴，∴，故④错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用．解题关键在于掌握判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．3、B【解析】根据事件的类型特点及性质进行判断.【详解】A、是必然事件，选项错误；B、是随机事件，选项错误；C、是不可能事件，选项错误；D、是不可能事件，选项错误．故选B．【点睛】本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.4、D【分析】由题意可以判断△ADE为等腰直角三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，由旋转变换的性质知：∠EAD=∠CAB，AE=AD；

∵△ABC为直角三角形，

∴∠CAB=90°，△ADE为等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

故选：D．【点睛】该题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．5、A【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：

在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，

∴，∵四边形PAQC是平行四边形，

∴，∵⊥，∠ACB=45，∴，当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，

∴PQ的最小值故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．6、C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.【详解】∵，且∠A是锐角，∴∠A=45°.故选：C.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.7、B【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得N，′根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得M点坐标，根据两点之间线段最短，可得MN′，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．【详解】如图，作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，解得，y=x2+4x+2=（x+2）2-2，M（-2，-2），N点关于y轴的对称点N′（1，-1），设MN′的解析式为y=kx+b，将M、N′代入函数解析式，得，解得，MN′的解析式为y=x-，当x=0时，y=-，即P（0，-），故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短得出P点的坐标是解题关键．8、D【详解】如图，连接AB，由圆周角定理，得∠C=∠ABO，在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，∴．故选D．9、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．10、D【分析】由解析式求得图象与x轴、y轴的交点坐标，再由sin，求出AB，利用勾股定理求出OA=，由此即可利用OA=1求出k的值.【详解】∵,∴当x=0时，y=-k，当y=0时，x=1，∴B（0，-k），A（1,0），∵sin，∴，∵OB=-k，∴AB=，∴OA==∴=1，∴k=，故选：D.【点睛】此题考查一次函数的性质，勾股定理，三角函数，解题中综合运用，题中求出AB，利用勾股定理求得OA的长是解题的关键.11、B【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12、C【分析】先把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，然后解关于m的方程即可．【详解】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7＝0得4﹣2m+m2﹣7＝0，解得m＝﹣1或1．故选：C．【点睛】本题主要考察一元一次方程的解及根与系数的关系，解题关键是熟练掌握计算法则.二、填空题（每题4分，共24分）13、a＜b＜c【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.【详解】由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，∴点离对称轴距离越远函数值越大，∵-1-（-2）=1，1-（-1）=2，2-（-1）=3，∴a＜b＜c，故答案为：a＜b＜c.【点睛】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.14、1．【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），然后计算自变量为1010对应的函数值即可．【详解】当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x1＝3，则A1（3，0），∵将C1点A1旋转180°得C1，交x轴于点A1；将C1绕点A1旋转180°得C3，交x轴于点A3；……∴OA1＝A1A1＝A1A3＝…＝A673A674＝3，∴抛物线C764的解析式为y＝﹣（x﹣1019）（x﹣1011），把P（1010，m）代入得m＝﹣（1010﹣1019）（1010﹣1011）＝1．故答案为1．【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.15、【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵＝，∴b=a,∴=,故答案为：.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．16、0，2【分析】将点A，B代入二次函数解析式，求得的值，再代入，解出答案．【详解】∵经过点A（-1,0），B（3,0）∴，解得∴即为解得：或故答案为：或．【点睛】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，及提取公因式法解一元二次方程是解题的关键．17、【分析】由题意直接根据分比性质，进行分析变形计算可得答案．【详解】解：，由分比性质，得.故答案为：.【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握并利用分比性质是解题的关键.18、或【分析】根据二次函数的对称性即可得出二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），当时，图像位于x轴的上方，故可以得出x的取值范围．【详解】解：由图像可得：对称轴为x=1，二次函数与x轴的一个交点为（-1，0）则根据对称性可得另一个交点为（3，0）∴当或时，故答案为：或【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，二次函数的图像是关于对称轴对称的，掌握这个知识点是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）；（3）1【分析】（1）根据正比例函数即可得出答案；（2）根据点A和B的坐标，利用待定系数法求解即可；（3）先根据题（2）求出点C的坐标，从而可知OC的长，再利用三角形的面积公式即可得.【详解】（1）将代入正比例函数得，故点的坐标是；（2）设这个一次函数的解析式为把代入，得解方程组，得故这个一次函数的解析式为；（3）在中，令，得即点的坐标是，则的面积故的面积为1.【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、利用待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数的图象与性质是解题关键.20、（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）【分析】（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．【详解】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OB=3，OA=4，AB==5，过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：∵sin∠BAO=，∴，∴OC=＞2，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）如图2所示，分两种情况：①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，∴OC=PF=BP=2，∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，∴PC=，∴圆心P的坐标为：（，2）；②当点P在第二象限时，由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，在Rt△MEN中，MN=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．21、（1）作图见解析；（2）【解析】(1)直接利用位似图形的性质求解即可;(2)根据题意利用勾股定理解答即可.【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，△A2B2C2，都是符合题意的图形；（2）A1C1的长为：．【点睛】本题考查了位似变换及勾股定理的知识点，解题的关键是由题意正确得出对应点的位置.22、（1），；（2）；（3）或【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围；（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时的取值范围．【详解】（1）∵函数图象与轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，∴方程的两个根为，；（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．（3）∵抛物线与直线相交于，两点，由图象可知，抛物线在直线下方时的取值范围为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．23、-4≤a<-3.【解析】试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．试题解析：解：由5x+2＞3（x﹣2）得：x＞﹣2，由x≤8﹣x+2a得：x≤4+a．则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．不等式组只有两个整数解，是﹣2和2．根据题意得：2≤4+a＜2．解得：﹣4≤a＜﹣3．点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小