2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南省下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（6月份）（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2+2x−3≤0}，B={x|x>12A.[−3,1] B.[1,2] C.(−1,12]2.复数z=3+2i1−i，在复平面内z的共轭复数z−对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数f(x)=lnx+3x−4的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4)4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a+2b|=2A.30° B.60° C.120° D.150°5.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O′A′B′C′，则原平面图形的周长为(

)A.4a

B.8a

C.6a

D.86.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BDA.30° B.60° C.120° D.150°7.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S=14[b2c2−(b2+c2−a22)2](其中a、b、c、S为三角形的三边和面积)表示.A.c=3a B.a=3c

C.△ABC面积的最大值是8.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2AA.2023 B.2823二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数：9.38.88.99.08.99.09.18.79.29.09.19.2若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的(

)A.极差为0.3 B.数为9.0和9.1

C.中位数为9.0 D.第70百分位数为9.0510.下列说法中正确的是(

)A.若p：∃x>1，x2−3x+2>0，则p的否定为：∀x>1，x2−3x+2≤0

B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i，则|z|=1

C.已知直线l⊥平面α，直线m/​/平面β，则“α/​/β”是“l⊥m”的必要不充分条件

D.已知关于x的不等式ax211.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分图象如图所示，下列说法不正确的是(

)A.f(x)的图象关于直线x=2π3对称

B.f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称

C.将函数y=3sin2x−cos2x的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)的图象

D.

12.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，PA=AB=6，点C是圆周上异于A，B的任意一点，D，E分别是PA、PC的中点，则下列结论中正确的是(

)A.PB⊥DE

B.AC/​/平面DEB

C.三棱锥P−ABC外接球的表面积是72π

D.若AC=5，则直线BD与平面PAC所成角的余弦值为5三、填空题：本题共4小题，共17分。13.已知向量a=(1,3)，b=(3,4)，若(a−λb)⊥b14.若“∃x∈(0,+∞)，使x2−ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．15.如图，一栋建筑物AB高(30−103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B、M、D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为

m.

16.设函数f(x)=|log14x|,0<x<4sin(π8x),4≤x≤20．

(i)f[f(4)]=______；

(ii)若存在实数x1，x2，四、解答题：本题共6小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

(Ⅱ)试估计该校学生满意度打分的平均数和75%的分位数(同一组中的数据用该组区间的中间值代表，结果保留小数点后2位)；

(Ⅲ)若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40,60)的学生中随机抽取10人了解情况，求在打分[40,50)、[50,60)中分别抽取的人数．18.(本小题12分)

如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=22,PA=3PD=3．

(Ⅰ)求证：AB⊥平面PBD；

(Ⅱ)求点B到平面DEP19.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a=2，且_____．

在①m=(cosA,cosB),n=(b−2c,a)，且m⊥n，②acosA+acos(B−C)=23bcosAsinC,③(b+c)2−a2=43S这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.(20.(本小题12分)

已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,−3cosx)，函数f(x)=a⋅b+32．

(Ⅰ)当x∈[π6,π]时，求f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)21.(本小题12分)

如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

(1)求证：B22.(本小题15分)

若定义在D上的函数f(x)满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，最小的M称为函数f(x)的上确界．

(1)求函数f(x)=|sinx|+sinx的上确界；

(2)已知函数f(x)=1lnx+x+lnx+x−4,x∈(23,2)，证明：2为函数f(x)的一个上界；

(3)已知函数f(x)=4−x+λ+2x2x,x∈[0,+∞)，若答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.B

6.A

7.D

8.B

9.AC

10.ABD

11.ABC

12.BC

13.3514.(−∞,4]

15.60

16.0

(57,105)

17.解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，(0.004+a+0.018+0.022+0.022+0.028)×10=1，

解得a=0.006，

所以该校学生满意度打分不低于70分的人数为：1000×(0.28+0.22+0.18)=680(人)；

(Ⅱ)平均数为：x−=45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2(分)，

因为0.04+0.06+0.22+0.28=0.6，0.04+0.06+0.22+0.28+0.22=0.82，

所以75%的分位数位于[80,90)内，设其为m，

则0.6+(m−80)×0.22=0.75，

解得m≈86.82，

即75%的分位数约为86.82分；

(Ⅲ)由频率分布直方图可知，打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，

所以打分在[40,50)和[50,60)内的频率之比为2：3，

所以在打分[40,50)中抽取的人数为25×10=4人，在打分[50,60)18.(Ⅰ)证明：∵AD=2BC=22,PA=3PD=3，

∴AD2+PD2=PA2，即PD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊂平面PAD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，

∵△ABD为等腰直角三角形，∴BD⊥AB，

又PD∩BD=D，PD、BD⊂平面PBD，

∴AB⊥平面PBD．

(Ⅱ)解：∵△ABD为等腰直角三角形，AD=22，

∴AB=BD=2，

由(Ⅰ)知，PD⊥平面ABCD，

∵BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，

∴S△PBD=12BD⋅PD=12×2×1=1，S△EDP=12S△ADP=12⋅12AD⋅PD=1219.解：(Ⅰ)若选①，依题意得，m⋅n=(b−2c)cosA+acosB=0，

由正弦定理得，(sinB−2sinC)cosA+sinAcosB=0，

所以sinBcosA+sinAcosB−2sinCcosA=0，

所以sin(A+B)−2sinCcosA=0，即sinC−2sinCcosA=0，

所以sinC(1−2cosA)=0，

因为sinC>0，所以1−2cosA=0，即cosA=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

若选②，cosA=cos[π−(B+C)]=−cos(B+C)，

因为acosA+acos(B−C)=23bcosAsinC，

所以−acos(B+C)+acos(B−C)=23bcosAsinC，

展开整理得，2asinBsinC=23bcosAsinC，

所以sinC(asinB−3bcosA)=0，

因为sinC>0，所以asinB−3bcosA=0，

由正弦定理得，sinAsinB−3sinBcosA=0，

因为sinB>0，所以sinA−3cosA=0，即tanA=3，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

若选③，因为(b+c)2−a2=43S，所以b2+c2−a2+2bc=43⋅12bcsinA，即b2+c2−a22bc+1=20.解：(Ⅰ)已知向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,−3cosx)，函数f(x)=a⋅b+32，

则f(x)=sinxcosx−3cosx2+32=12sin2x−3+3cos2x2+32

=12sin2x−32cos2x=sin(2x−π3)，

若要f(x)单调递增，则−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)，

而x∈[π6,π]，故π21.(1)证明：设A1C∩AC1=O，则O是A1C中点，连接OD，

又∵D是BC中点，∴OD//A1B，

又∵BA1⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，

∴A1B/​/平面C1AD；

(2)解：∵AB=AC，∴AD⊥BC，

AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，同理AA1⊥AD，

AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD22.解：(1)依题意f(x)=2sinx,2kπ≤x≤π+2kπ0,π+2kπ<x<2π+2kπ，

故f(x)∈[0,2]，|f(x)|≤2，

故f(x)=|sinx|+sinx的上确界为2；

(2)证明：令lnx+x=t∈