2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2}，B={x|x2−4x+3=0}，则∁A.{1,3} B.{0,3} C.{−2,1} D.{−2,0}2.已知α是第二象限角，sinα=513，则cosα=(

)A.−513 B.−1213 C.3.在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记AC=a，DB=b，则A.12a−14b B.24.如果函数y=2sin(x+φ)的一个零点是π3，那么φ可以是(

)A.−π6 B.π6 C.π5.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是3(b2+A.π3 B.2π3 C.π66.已知a=(sinα,1−4cos2α)，b=(1,3sinα−2)，α∈(0,π2)，若aA.211 B.411 C.6117.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为(

)A.3π

B.9π

C.36π

D.48π

8.已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PA⋅PDA.1+22 B.1+222二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z，下列说法正确的是(

)A.若z−z−=0，则z为实数 B.若z2+z−2=0，则z=z−=0

C.若10.已知a，b，c满足a<b<c，且ac<0，则下列选项中恒成立的是(

)A.ac<bc B.b−ca>011.如图，在△ABC中，∠B=π2，AB=3，BC=1，过AC中点M的直线l与线段AB交于点N.将△AMN沿直线l翻折至△A′MN，且点A′在平面BCMN内的射影H在线段BC上，连接AH交l于点O，D是直线l上异于O的任意一点，则

A.∠A′DH≥∠A′DC

B.∠A′DH≤∠A′OH

C.点O的轨迹的长度为π6

D.直线A′O与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为2的等腰梯形，则原平面图形的面积为______．13.已知sin(α+π)=−35，则tan(α−14.已知将函数f(x)=3sinxcosx+cos2x−12的图象向左平移5π12四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．

(1)求|a−b|；16.(本小题15分)

已知f(α)=sin(2π−α)cos(π+α)cos(π2+α)cos(11π2−α)cos17.(本小题15分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π4个单位，得函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在区间[0,π2]上的值域；

(3)18.(本小题17分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积．19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．

(1)设函数g(x)=sin(x+5π6)+cos(3π2+x)，试求g(x)的伴随向量的坐标；

(2)记向量ON=(1,3)的伴随函数为f(x)，当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，求sinx答案1.D

2.B

3.D

4.D

5.A

6.B

7.B

8.A

9.AC

10.ABC

11.BCD

12.213.−7或−114.[−1,115.解：(1)∵|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3，

∴a⋅b=|a||b|16.解：(1)f(α)=(−sinα)(−cosα)(−sinα)cos[5π+(π2−α)](−cosα)sin(π−α)[−sin(π+α)]sin[4π+(π2+α)]

=17.解：(1)由图知，T=π，则ω=2ππ=2．

由图可得，f(x)在x=π6处最大值，

又因为图象经过(−π12,0)，故f(−π12)=Asin(−π6+φ)=0，

所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，故φ=π6+2kπ,k∈Z，

又因为|φ|<π2，所以φ=π6，

函数又经过(0,1)，故f(0)=Asinπ6=1，得A=2．

所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x+π6)．

(2)由题意得，g(x)=2sin[2(x−π4)+π6]=2sin(2x−π3)，

因为x∈[0,π2]，所以2x−π3∈[−π318.解：(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD，

过O作OM/​/CF与BC交于点M，则OM⊥OD，

所以OM，OD，OA两两垂直，

以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则B(0,−1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

设A(0,0,t)(t>0)，则E(0,13,2t3)，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，则y=−1，z=2t，故n=(3,−1,2t)，

因为二面角E−BC−D的大小为45°，

所以|cos<n,OA>|=|n⋅OA||n||OA|=2t4+4t2=22，

解得t=1，所以OA=1，

又S△OCD=12×1×1×32=34，所以S△BCD=32，

故VA−BCD=13S△BCD⋅OA=13×3219.解：(1)g(x)=sin(x+5π6)+cos(3π2+x)=−32sinx+12cosx+sinx=(1−32)sinx+12cosx，

所以OM=(1−32,1