2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京师大二附中高二（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列−2，a，b，c，−8是等比数列，则实数b的值为(

)A.4或−4 B.−4 C.4 D.−52.已知首项为1的数列{an}中，an+1=1+A.53 B.85 C.1383.曲线f(x)=3x2−ex在A.x+y+1=0 B.x−y+1=0 C.x−y−1=0 D.x+y−1=04.在数列{an}中，an=1−1aA.2 B.12 C.−125.函数f(x)=lnxx的单调递增区间是(

)A.(−∞,e) B.(0,e) C.(1e,+∞)6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3A.14 B.26 C.28 D.327.李明同学进行立定投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为34；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为23，则他第2A.512 B.23 C.7128.已知函数f(x)=xsinx，x∈R，则f(π5),f(1),f(πA.f(π3)>f(1)>f(π5) B.f(1)>f(9.在某电路上有M、N两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是(

)A.1219 B.1519 C.3510.已知常数k∈(0,1)，数列{an}满足an=n⋅kn(n∈N∗).现给出下列四个命题：

①当k=12时，数列{an}为递减数列；

②当0<k<12时，数列{anA.①② B.③④ C.②③④ D.②④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.设盒中有大小相同的“中华”牌和“红星”牌玻璃球，“中华”牌的10个，其中3个红色，7个蓝色；“红星”牌的6个，其中2个红色，4个蓝色.现从盒中任取一个球，已知取到的是蓝色球的前提下，则它是“红星”牌的概率是______．12.设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=n2−n，则a13.函数y=2x3−3x214.盲盒，是一种新兴的商品.商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品.现有一商家设计了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知A、B、C三款玩偶的生产数量比例为6：3：1.以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买4个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为______．15.数列{an}满足：an−1+an+1>2an(n>1,n∈N∗)，给出下述命题：

①若数列{an}满足：a2>a1，则an>an−1(n>1,n∈N∗)成立；

②存在常数c，使得a三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题11分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1=Sn+an−2，a4+a17.(本小题12分)

如图，已知在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2，且点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点．

(1)过点A，E，F作三棱柱截面交18.(本小题12分)

为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校

比例

等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；

(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；

(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S1219.(本小题12分)

已知F1(−2,0)，F2(2,0)分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|=3|PF1|.

(1)求椭圆C的方程；

20.(本小题14分)

已知函数f(x)=(x−1)lnx−k．

(1)当k=1时，求函数f(x)在[1,e]上的最值；

(2)若函数g(x)=|f(x)+lnx|ex在[1,e]上单调递减，求实数k21.(本小题14分)

有限数列{an}，若满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤…≤|a1−am|，m是项数p，则称{an}满足性质p．

(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质p，请说明理由；

(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围；

(3)答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.A

10.D

11.41112.8

2n−2

13.5，−15

14.0.216

15.①④

16.解：(1)由Sn+1=Sn+an−2，可得an+1=an−2，

即an+1−an=−2，可得数列{an}是公差为−2的等差数列，

由a4+17.解：(1)由正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=2，

又因为点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，可得AF=AE=5，

如图所示，延长AF交CC1的延长线于M点，连接ME交B1C1于点P，过点E作BC的平行线交CC1于N，

则四边形AFPE为所求截面，又由B1E//MC1可得MPME=MC1MN=PC1EN=23，所以PC1=43,B1P=23；

(2)以点A为原点，以AC，AA1所在的直线分别为y，z轴，

以过点A垂直于平面yAz的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为AB=2，可得A(0,0,0),F(0,1,2),E(3,1,1)，

则AF=(0,1,2),AE=(3,1,1)，

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，所以n⊥AE，n⊥AF，

则n⋅AE=0n⋅AF=0，即3x+y+z=0y+2z=0，令z=118.解：(Ⅰ)8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，

所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为12．

(Ⅱ)8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．

P(X=0)=C52CX012P5153(Ⅲ)S119.(1)解：易知|PF1|+|PF2|=2a，

因为|PF2|=3|PF1|，

所以|PF1|=a2，|PF2|=3a2，①

因为PF1⊥F1F2，

所以|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，②

联立①②，

解得a2=8，

则b2=a2−c2=4，

故椭圆C的方程为x28+y24=1；

(2)证明：由(1)知A(0,2)，B(0,−2)，直线MN的方程为y=kx+3，

不妨设M(x1,y120.解：(1)k=1时，f(x)=(x−1)lnx−1，

则f′(x)=lnx+1−1x在[1,e]上单调递增，

所以f′(x)≥f′(1)=0，

所以f(x)在[1,e]上单调递增，f(x)min=f(1)=−1，f(x)max=f(e)=e−2；

(2)g(x)=|f(x)+lnx|ex=|xlnx−k|ex，

令ℎ(x)=xlnx−k，则ℎ′(x)=1+lnx≥1，

则ℎ(x)在[1,e]上单调递增，ℎ(1)=−k，ℎ(e)=e−k，

①当−k≥0即k≤0时，g(x)=xlnx−kex，g′(x)=(1−x)lnx+k+1ex≤0，

所以k≤[(x−1)lnx−1]min=−1，

所以k≤−1，

②当e−k≤0即k≥e时，g(x)=k−xlnxex，g′(x)=x−1lnx−k−1ex≤0，

所以k≥[(x−1)lnx−1]max，

由(1)知，k≥e−2，21.解：(1)对于数列3，2，5，1，

|2−3|=1，|5−3|=2，|1−3|=2，满足题意，∴该数列满足性质p；

对于数列4，3，2，5，1，

|3−4|=1，|2−4|=2，|5−4|=1，不满足题意，∴该数列不满足性质p．

(2)由题意得|qn|≥|qn−1−1|，n∈{2,3,⋅⋅⋅,9}，

两边平方得：q2n−2qn+1≥q2n−2−2qn−1+1，

整理得：(q−1)qn−1[qn−1(q+1)−2]≥0，

当q≥1时，得qn−1(q+1)−2≥0，此时，关于n≥2恒成立，

∴等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，∴(q+2)(q−1)≥0，

∴q≤−2或q≥1，∴取q≥1；

当0<q<1时，得qn−1(q+1)−2<0，此时关于n恒成立，

∴等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，∴(q+2)(q−1)≤0，

∴−2≤q≤1，∴0<q≤1．

当−1≤q<0时，得qn−1[qn−1(q+1)−2]≤0，

当n为奇数时，得qn−1(q+1)−2≤0，成立；

当n为偶数时，得qn−1(q+1)−2≥0，不成立；

当−1≤q<0时，矛盾，舍去，

当q<−1时，得qn−1[qn−1(q+1)−2]≤0，

当n为奇数时，tjqn−1(q+1)−2≤0，成立，

当n为偶数时，要使qn−1(q+1)−2≥0恒成立，等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，

∴(q+2)(q−1)≥0，

∴q≤−2或q≥1，∴取q≤−2．

综上可得，q的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．

(3)设a1=p，p∈{3,4,⋅⋅⋅,m−3,m−2}，

∵|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋅⋅⋅≤|a1−am|，∴|a1−a2|=1，

∴a2可以取p−1或p+1，

∴a4=p+2或a4=p−2(舍，理由是：|a3−a2|>|a