2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省泉州市安溪一中高一（下）质检数学试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,λ)，b=(μ,2)，若a//bA.μ=2λ B.μ=−2λ C.λμ=2 D.λμ=−22.已知复数z满足z−z−=0，且z⋅zA.2 B.2i C.±2 D.±2i3.根据河北省第七次全国人口普查结果，2020年11月1日零时全省各地区的人口数据如下表所示，则这14个地区的数据的第85百分位数为(

)地区石家庄唐山秦皇岛邯郸邢台保定张家口人口数10640458771798331368799413990711110692426104118908地区承德沧州廊坊衡水定州辛集雄安新区人口数335444473007835464087421293310959865946281205440A.1095986 B.7717983 C.9242610 D.94139904.一个内壁底面半径为2的圆柱体玻璃杯中盛有体积为V的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱体玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则V=(

)A.20π3 B.6π C.16π3 5.A队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为15，乙答出的概率为16，则此题A队回答正确的概率是(

)A.215 B.16 C.136.在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=1，AD=2，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，则B到平面ACD的距离为(

)A.33 B.22 C.7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图1)．

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离ℎ为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒车转动的角速度ω为π12rad/s，如图3所示，盛水桶M(视为质点)的初始位置P0距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为A.4.0m B.3.8m C.3.6m D.3.4m8.瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线.已知M，N，O，P为△ABC所在平面上的点，满足|MA|=|MB|=|MC|，NA+NB+NC=0，OA⋅OB=OBA.M，N，P B.M，N，O C.M，O，P D.N，O，P二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=m2−2m−3+A.若z为实数，则m=−1 B.若z为纯虚数，则m=3或−1

C.z在复平面内对应的点不可能在第二象限 D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限10.已知点M是△ABC的重心，点A(1,2)，B(2,3)，C(−2,5)，点D是BC上靠近点B的三等分点，则(

)A.M(13,103) B.D(11.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a2−b2A.A=2B B.B=2A

C.a的取值范围是(1,3) D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i3(m+i)=1，则实数m的值为______．13.正△ABC边长为2，点P满足AP=AB+AC，则BP14.已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，定义a×b为向量a与b的向量积，a×b是一个向量，它的模|a×b|=|a||b|sinθ.若a⋅b=k|a×b|，则

(1)当k=3时，θ=______；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z满足|z+2i|=5，z−=a+(3−a)i(a>0)．

(1)求a；

(2)若复数z1满足z116.(本小题15分)

某市对该市全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试，统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[50,100]内，并将收集到的数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计A校这300名学生成绩的75%分位数；

(2)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A校抽取的300名学生成绩的平均值为μ1，B校抽取的400名学生成绩的平均值为μ2，以及A，B两校抽取的700名学生成绩的平均值为μ0，试比较μ0和17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，AB=AD，AB⊥AD，CA=CB=CD=BD=2，O为BD的中点．

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．18.(本小题17分)

如图，在扇形OPQ中，半径OQ=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，设∠POC=θ．

(1)试建立矩形ABCD的面积S关于θ的函数关系式；

(2)在(1)的条件下，当θ为何值时，S19.(本小题17分)

如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=4，A1B1=2，BB

答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.B

9.AD

10.AB

11.AD

12.0

13.2

14.π6

15.解：(1)由题意得z=a+(a−3)i，

z+2i=a+(a−1)i，

所以a2+(a−1)2=25⇒a=4或a=−3(舍去)，

故a=4；

(2)设z1=x+yi(x,y∈R)，

则z1z1−=x2+y2，16.解：(1)不妨设75%分位数为x，

此时x∈[80,90)，

则10×0.005+10×0.015+10×0.02+(x−80)×0.04=0.75，

解得x=88.75，

所以估计A校这300名学生成绩的75%分位数为88.75；

(2)易知μ1=(55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)×10=80.5，

μ2=55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77，

此时μ1+μ22=80.5+772=78.75，

因为统计人员从A校随机抽取了300名学生，从B校随机抽取了400名学生，

所以A校与B校抽取的学生人数比值为3：4，

则A校抽取的学生人数占总数的37,B校抽取的学生人数占总数的47，

所以A17.(1)证明：连接OC．

在Rt△ABD中，因为AB=AD，O是BD的中点，所以AO⊥BD，

AO=12BD=12×2=1．

在等边△BCD中，OC=CDsinπ3=2×32=3．

在△AOC中，AO=1，OC=3，AC=2，

所以AO2+CO2=AC2，所以∠AOC=90°，即AO⊥OC．

又OC⋂BD=O，OC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，

所以AO⊥平面BCD．

(2)解：

分别取AC，BC的中点M，E，连接OM、ME、OE．

因为O，E，M分别是BD，BC，AC的中点，

所以EM，OE分别是△ABC，△BCD的中位线，

所以OE/​/DC，EM/​/AB，

所以∠OEM(或其补角)就是异面直线AB与CD所成的角，

在△OEM中，EM=12AB=18.解：(1)在Rt△OBC中，BC=sinθ，OB=cosθ，

在Rt△OAD中，ADOA=tanπ3，

所以OA=ADtanπ3=AD3=BC3=sinθ3，

矩形ABCD的面积为

S=AB⋅BC=(OB−OA)⋅BC=(cosθ−sinθ3)⋅sinθ．

(2)由S=(cosθ−sinθ3)⋅sinθ=sinθcosθ−119.(1)证明：因为BB1