热工基础 课件第9章 导热

《热工基础》----传热学篇第9章导热§9-1

导热的微分方程和导热系数9.1导热的微分方程和导热系数主要内容

（1）与导热有关的基本概念；

（2）导热基本定律；

（3）导热现象的数学描述方法。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。

9.1导热的微分方程和导热系数导热的机理气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果9.1导热的微分方程和导热系数非导电固体：晶格结构的振动导电固体：自由电子运动液体：很复杂多数人认为类似于晶格振动9.1.1温度场一、温度场：（Temperaturefield）某一瞬时，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为t—表示温度

x，y，z—表示空间坐标

—表示时间坐标9.1.1温度场稳态温度场稳态导热（Steady-stateconduction）非稳态温度场非稳态导热（Transientconduction）一维温度场二维温度场9.1.1温度场二、等温面和等温线等温面：温度场中温度相同点的集合称为等温面等温线：等温面与任一坐标平面垂直相交所得截面线等温面与等温线的特点：(1)温度不同的等温面或等温线彼此不能相交(2)等温面上没有温差，不会有热传递等温线疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况9.1.1温度场三、温度梯度(temperaturegradient)在温度场中，温度沿x方向的变化率(即偏导数)很明显,等温面法线方向的温度变化率最大，温度变化最剧烈。等温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。9.1.1温度场

在直角坐标系中，温度梯度可表示为四、热流密度(heatflux)

热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q

表示

热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。ntdAd

q9.1.2导热微分方程和傅里叶定律一、傅里叶定律

傅里叶（Fourier）于1822年提出了著名的导热基本定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系。

对于各向同性物体,傅里叶定律表达式为

傅里叶定律表明,导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。傅里叶定律标量形式的傅里叶定律表达式为

对于各向同性材料,各方向上的热导率

相等,傅里叶定律傅里叶定律的适用条件：

（1）傅里叶定律只适用于各向同性物体。对于各向异性物体，热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与热导率的方向性有关。

（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程,如大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态加热等,傅里叶定律不再适用。xyqxqyqn

x

y一、各种物质导热系数相对大小1.2.3.0˚C时：8.1.2导热系数导热系数：（Thermalconductivity）导热系数是表示物质导热能力大小的物性参数9.1.2导热系数4.建筑材料、保温材料Why？？——多孔、纤维材料孔、纤维间——空气5.灰垢、水垢——换热器传热性能下降？？除灰垢——清灰除水垢——水处理9.1.2导热系数1.含水率保温材料防潮（水）二、导热系数的影响因素除了物质种类、结构、行态外，还有两因素水代空气水分子移动应用喷蒸热压机9.1.2导热系数晒被子、软木塞2.容重木材3.热流方向空气是热的不良导体（或导热系数小），所以被子具有良好的保暖性。由于被子长时间使用后变得密实，即空气层厚度减少，而晒过后变得更加篷松，有利于保温。另一方面，使用过后的被子含水率增大，导致导热系数增大，而晒过后减少了含水率，有利于保温。例.冬天的被子晒过后保暖性更好，为什么？9.1.2导热系数在一定温度范围可以用一种线性关系来描述4.温度影响分析时，可采用1）直接以直线关系代入积分较少采用3）采用平均温度下的数值2）直接采用常数（常温下）9.1.2导热系数典型材料热导率的数值范围纯金属

50～415W/(m·K)合金

12～120W//(m·K)非金属固体1～40W//(m·K)液体(非金属)0.17～0.7W//(m·K)绝热材料

0.03～0.12W//(m·K)气体

0.007～0.17W//(m·K)9.1.2导热系数简述影响导热系数的因素。答：导热系数不仅与物质的种类有关，还与物质的物理结构和状态有关。温度、多孔材料的含水率、疏松物质的折合密度、容重等都影响材料的导热系数。同样是-6℃的气温，在南京比在北京感觉冷一些答：冬季南京的空气湿度比北京的大，湿空气由于含有水蒸汽而比干空气的换热能力强;加之衣物也因吸收空气中水分使保温效果下降。9.1.3导热微分方程导热微分方程式的导出导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场依据：能量守恒和傅里叶定律。假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；2）有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3

。导热数学模型的组成：9.1.3导热微分方程1）根据物体的形状选择坐标系,选取物体中的微元体作为研究对象；步骤：2）根据能量守恒,建立微元体的热平衡方程式；3）根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。导热微分方程式的导出9.1.3导热微分方程

如图所示，在导热物体中取—微元体。

由能量守恒可知，单位时间内导入微元体的净热流量与内热源产生的热量之和，等于单位时间内微元体热力学能的增量。根据微元体的热平衡表达式Δ

+Δ

V=ΔU

可得

导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。9.1.3导热微分方程当热导率

为常数时,导热微分方程式可简化为或写成式中

2是拉普拉斯算子,在直角坐标系中称为热扩散率,也称导温系数,

单位为m2/s。

其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。木材a=1.5×10-7

m2/s紫铜a=5.33×10-5m2/s9.1.3导热微分方程导热微分方程式的简化1.物体无内热源：2.稳态导热：3.稳态导热、无内热源：即一维、二维？9.1.3导热微分方程导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程的具体特点,适用于无穷多个导热过程,也就是说有无穷多个解。为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。导热数学模型的组成：单值性条件单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。1.几何条件

说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2.物理条件说明导热物体的物理性质，例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(

、

、c、a等)的数值及其特点等。单值性条件3.时间条件

说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：4.边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。单值性条件(a)第一类边界条件

给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(b)第二类边界条件

给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：

常见的边界条件分为以下三类:单值性条件(c)第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h

。根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得:

第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。单值性条件上式描述的第三类边界条件是线性的,所以也称为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。

如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热,则边界面的热平衡表达式为单值性条件当:转化为第一类边界条件

（绝热）转化为第二类边界条件当:第三类边界条件单值性条件

建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。

目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、(2)数值解法、(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。

对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。本章主要介绍导热问题的分析解法。第9章导热9.2稳态导热主要内容

（1）平壁的一维稳态导热问题；

（2）圆筒壁的一维稳态导热问题9.2.1通过平壁的稳态导热平壁指壁面几何结构为平面的传热面，特点是沿传热方向导热面积A不发生变化平壁的长度和宽度都远大于其厚度，两侧面温度均匀一致，传热面的温度仅沿厚度方向变化一、通过（大）平壁的导热

a.单层壁b.多层壁导热c.复合壁导热

从平壁的结构可分为9.2.1通过平壁的稳态导热选取坐标轴x与壁面垂直,如图所示1.通过单层平壁导热o

xtdx

表面面积为A、厚度为

、

为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度t1、t2，且t1

>t2

。数学模型：

x=0,t=t1

x=

,t=t2

9.2.1通过平壁的稳态导热o

xtdx数学模型：

x=0,t=t1

x=

,t=t2

对微分方程连续两次积分，得到其通解：求得结果：9.2.1通过平壁的稳态导热o

xtdx可见，当

为常数时,平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为：由傅里叶定律可得热流密度：通过整个平壁的热流量为：9.2.1通过平壁的稳态导热（1）建立坐标系o

xtdx分析步骤（3）运用傅立叶定律建立微分方程:（2）取微元体（4）分离变量，积分求热流密度:9.2.1通过平壁的稳态导热注意：o

xtdx根据热力学第一定律，q=const

用常数代入平壁导热热量计算公式9.2.1通过平壁的稳态导热o

xtdx（5）分离变量，积分求温度分布所以，在λ为常数时平壁内的温度分布为直线9.2.1通过平壁的稳态导热o

xtdx导热热阻与直流电路的欧姆定律相似

I=U/R单位面积上的导热热阻t1t2q热路图9.2.1通过平壁的稳态导热导过平壁的热流量：面积A上的导热热阻热阻是一个非常重要的概念：通过热阻以及热路图可以很方便地求解许多导热以及其它传热问题9.2.1通过平壁的稳态导热利用公式可以解决某些工程实际问题：

计算炉墙等物体的散热损失（已知λ，t1，t2，δ，求q）；

计算所需保温层的厚度（已知q，λ，t1，t2，求δ）；计算物质的导热系数（已知q，t1，t2，δ求λ）；计算炉墙等物体的内外壁温度（已知q，λ，δ,，t1(t2)，求t2(t1)）；推算炉壁不同厚度处的温度：tx=t1-(t1-t2)x/δ9.2.1通过平壁的稳态导热以三层平壁为例进行分析计算多层平壁导热的分析计算可以借助于热阻的串连解决前提条件：层间接触良好，即相互接触的两表面温度相同，且tw1>tw2>tw3>tw4各层平壁面积均为A，厚度分别为δ1、

δ2、

δ3各层导热系数为常数，分别为λ1、

2、

3

为一维稳态导热：

Φ1=Φ2=Φ3=Φ9.2.1通过平壁的稳态导热

三层平壁稳态导热的总导热热阻为各层导热热阻之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得三层平壁稳态导热可以由三个相互串联的热阻网络表示。9.2.1通过平壁的稳态导热

由此类推,对于n层平壁的稳态导热

利用热阻的概念,可以很容易求得通过多层平壁稳态导热的热流密度、热流量，进而求出各层间接触面的温度。9.2.1通过平壁的稳态导热可以看出：过程的总推动力为各层推动力之和总阻力为各层热阻之和（热阻串连）tw4tw2热路图tw1tw39.2.1通过平壁的稳态导热各层交界面上的温度求取：推广到n层壁tw4tw2tw1tw39.2.1通过平壁的稳态导热多层壁面的一维稳态导热各分层温度降与该层的热阻呈正比。由过程分析还可得到：9.2.1通过平壁的稳态导热9.2.2通过圆筒壁的稳态导热通过圆筒壁的稳态导热

工程上中常见的为圆筒壁(圆管)的导热，如各种热力管道以圆管为传热面的换热设备其特点是温度随半径变化传热面积也随半径变化各传热面积上流过的热流量密度也随半径变化（1）通过单层圆筒壁的导热计算前提条件：圆筒内、外半径分别为r1和r2，长度为l内外壁温度均匀，tw1>tw2圆筒很长，沿轴向散失热量可以忽略，温度仅沿半径方向变化，为一维稳态导热圆筒壁材质均匀，

为常数，无内热源9.2.2通过圆筒壁的稳态导热按上述条件，壁内温度只沿径向变化，如果采用圆柱坐标,则圆筒壁内的导热为一维稳态导热。数学模型

r=r1:t=tw1

r=r2:t=tw2

9.2.2通过圆筒壁的稳态导热对导热微分方程式进行两次积分,可得通解为圆筒壁内的温度分布为对数曲线。代入边界条件,可得温度沿r方向的变化率为圆筒壁内的温度分布是一条对数曲线温度外高内低时9.2.2通过圆筒壁的稳态导热对于稳态导热,通过整个圆筒壁的热流量是不变的,由傅里叶定律分离变量积分可得实际工作中常常计算单位长度圆筒壁的热流量Rl为单位长度圆筒壁的导热热阻,单位是m·K/W。

9.2.2通过圆筒壁的稳态导热（2）通过多层圆筒壁的导热计算由不同材料构成的多层圆筒壁带有保温层的热力管道嵌套的金属管道和结垢积灰的输送管道等由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆筒壁，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向构成一维稳态导热问题。9.2.2通过圆筒壁的稳态导热运用热阻的概念，很容易分析多层圆筒壁的稳态导热问题。

以三层圆筒壁为例，无内热源，各层的热导率

1、

2、

3均为常数，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1、tw2。这显然也是一维稳态导热问题。通过各层圆筒壁的热流量相等，总导热热阻等于各层导热热阻之和:9.2.2通过圆筒壁的稳态导热对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热,单位长度的热流量为9.2.2通过圆筒壁的稳态导热对于各层之间接触面上的温度，可按照各层热流量相等，等于温度降乘以热阻的原理确定9.2.2通过圆筒壁的稳态导热第9章导热9.3非稳态导热主要内容

（1）非稳态导热的基本概念及特点

（2）非稳态导热的分析方法

（3）特殊非稳态导热问题的集总参数法9.3.1非稳态导热问题的基本概念一、非稳态导热的基本概念由于边界条件的变化，破坏了物体内部原先稳定的温度场，使物体内部的温度场随时间发生变化。

非稳态导热温度场：

t=f(x,y,z,τ)

研究任务：（1）任一时刻物体内部的温度场；（2）从0到τ时刻物体与外界的总换热量。9.3.1非稳态导热问题的基本概念1.定义：物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f(

)冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。9.3.1非稳态导热问题的基本概念2.非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值着重讨论瞬态非稳态导热。3.几个同的阶段依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为三个阶段。9.3.1非稳态导热问题的基本概念不规则情况阶段(右侧面不参与换热

)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受初始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描述。第一阶段9.3.1非稳态导热问题的基本概念正规情况阶段(右侧参与换热)当右侧面参与换热以后，物体中温度分布不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述第二阶段9.3.1非稳态导热问题的基本概念建立新的稳态阶段，理论上需要无限长时间物体各处的温度达到新的稳态第三阶段两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的三个不同阶段，而周期性导热不存在。

9.3.1非稳态导热问题的基本概念Φ1-----板左侧导入的热流量Φ2-----板右侧导出的热流量各阶段热流量的特征：不规则情况阶段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；正规情况阶段：Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。

5.热量变化9.3.1非稳态导热问题的基本概念二、非稳态导热问题的求解实质在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式三个不同坐标系下导热微分方程式，统一表示为：初始条件的一般形式简单特例f(x,y,z)=t0边界条件：着重讨论第三类边界条件9.3.1非稳态导热问题的基本概念非稳态导热的主要求解方法：数值解法—有限差分法、有限元法分析解法—导热微分方程+边界条件和初值条件（只适用于少数特定条件，常用分离变量法、积分变换等，多维条件下解偏微分方程常用拉氏变换、留数法等，求解较复杂）集总参数法—忽略物体内部导热热阻的一种近似方法诺谟图法—利用数学推导得到的工程线图的图解法本节重点：集总参数法9.3.1非稳态导热问题的基本概念9.3.2集总参数法一、无量纲准则数---毕渥数1）定义：

2）Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。

3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。

4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

9.3.2集总参数法

厚度为2

、导热系数

、热扩散率a为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t0。两侧流体温度突然降低为t∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h为常数。平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

9.3.2集总参数法1.表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t∞

随着时间的推移，内部温度整体下降，逐渐趋近于一致。9.3.2集总参数法2.平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀。随着时间的推移，温度整体下降，逐渐趋近于t∞。9.3.2集总参数法3.δ/λ与1/h的数值比较接近平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。9.3.2集总参数法二、零维问题的分析法－集总参数法此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关。因此，也称为零维问题。

定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。工程上把Bi﹤0.1作为该情况的判据9.3.2集总参数法如果物体的导热系数很大，或几何尺寸很小，或表面换热系数极低，其导热问题都可能属于这一类型的非稳态导热问题。9.3.2集总参数法如图所示：任意形状的一个物体，当其本身的温度与外界存在温差时，必然与外界有热交换。如果其对流换热热阻（外部热阻）远大于导热热阻（内部热阻），即：

1／h＞＞L／λ其中：L为定型尺寸（由形状而定的几何特征尺寸）则：内部传热比表面对流换热快得多，可认为物体内部温度均匀，近似地将该物体看作一个质点。9.3.2集总参数法假设：一个任意形状的物体，体积为V，表面面积为A，密度ρ、比热容c及导热系数λ为常数，无内热源，初始温度为t0。突然将该物体放入温度t∞恒定的流体中，物体表面和流体之间对流换热的表面传热系数h为常数。假设该问题满足Bi≤0.1的条件。求物体温度随时间变化的依变关系h,t

AΦcΔΕρ,c,V,t09.3.2集总参数法数学模型建立利用两种方法根据导热微分方程的一般形式进行简化；利用能量守恒热平衡关系：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量Φ。9.3.2集总参数法9.3.2集总参数法方法一导热微分方程：

物体内部导热热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即:9.3.2集总参数法界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：导热微分方程可简化为：

可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）物体被冷却，热源放热，应为负值适用于本问题的导热微分方程式9.3.1非稳态导热问题的基本概念当物体被冷却时（t>t

）,由能量守恒可知方法二适用于本问题的导热微分方程式物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量

h,t

AφcΔΕρ,c,V,t09.