高中数学训练(三)-数列求和

高中数学专题训练（三）——数列求和

1.求数列LA?,2,…,生」的前〃项和.

248162"

2。已知log3%=------，求x+x?+X、'+…+x"+…的前n项和.

log,3

3,求数列a,2a）3a3,4a4,…,na",…（a为常数）的前n项和。

4.求证：C：＞+3C：+5C；+…+(2〃+1)C：=5+1)2"

5.求数列一匚，一L,—匚，…，一-—，…的前n项和S

1x32x43x5n（n+2）

s

6.数列｛aj：%=1吗=3,a3=2,。“+2=牝+i一%，求2ooz.

7.求数5,55,555,―,55“小的前n项和Sn

8.已知数列｛册｝是等差数列，且。|一。5+。9一%3+。17=117,求%+%5的值•

9.已知数列｛%｝的通项公式为册=-=2~广求它的前n项的和.

+1+

2921

10.在数列｛%｝中，q=1,*=-----(n>2).证明数列｛一｝是等差数列，并求出

2S〃—1[sn

sn的表达式.

2

11.数列｛%｝为正数的等比数列，它的前"项和为80,前20项和为6560,且前。项中

数值最大的项为54.求其首项网及公比q.

12n

12.已知数列明=—+—+…+-----求。2008•

〃2!3!5+1)!

13.设｛4｝为等差数列，Sn为数列｛%｝的前“项和，已知S7=7,5i5=75.记7；为数列

的前0项和，求心.

14.求数列1,,3,,5L..(2〃—1+'-)的前项和

2482"

3

15.已知：S“=1一2+3—4+5—6+…+(—1)向•〃.求S〃.

16.-22+32-42+---+992-1002.

1

17.s.=-l-+-l-+,+…+，求S”。

1x2x32x3x43x4x5

18.设数列｛G〃｝的前n项和为Sn,且方程X?一。内一分=0有一根为Sn—1,n

=1,2,3,….

(I)求。1，。2；

(II)｛4｝的通项公式。

4

O00

19.已知数列伍"…=力为石‘求"〃+D(a，，j向)的值。

求和:[x+，J+(21(i

+n、(xw0,xw1,yw1)

20.r7+…+XH----

Iyn)

21.求数列的前〃项和：1+1,—I-4,——+—-+3/?—2,,••

aa2a"''

22.求数列｛“(几+1)(〃+2)｝的前〃项和。

23.求证：C；+3C*+5C；+…+(2n+1)C：=(几+1)2〃

5

24.求sin210+sin22。+sin23°+…+sin2880+sin289°的值。

已知数列｛*｝的通项公式a„=——型——，求它的前n项和.

25.

(2〃一1)(2〃+1)

26.已知数列｛”“｝的通项公式％=♦-2"+1号，求它的前n项和.

[«(«+1)]■

27.求和：=1•〃+2•-1）+3・（〃-2）H--F〃•1;

6

o

28.已知数列明=(〃+1)'(二)",求｛%｝的前〃项和5“.

29.求和W=C：+4C：+7C；+10C：+…+(3〃+1)C；

30.解答下列问题：

(I)设/(x)=&_9旌_3),

(1)求/(x)的反函数/T(X);

(2)若%=1,%=-f-'(ull_l),(n>2),^un;

(3)若4=---,%=1,2,3,…,求数列｛*｝的前〃项和S”;

A+"*+i

7

31.设函数/(%)=-4—，作数列出｝:仇=l,bn=/(-—)(〃>2),

3xb,i

求和：W“=结23+。也—•+.^A+1.

32.已知数列｛%｝的各项为正数，其前n项和S“满足S'=（安|＞，

（I）求a,与a,i（〃N2）之间的关系式，并求｛%｝的通项公式;

(ID求证…+-!-<2.

S]S2S,,

33.已知数列｛明｝的各项分别为1,。+。2,。2+/+。4,“3+/+。5+。6,……，求｛%｝的

前n项和Sn.

8

34.已知数列｛%｝满足：%+3。2+―+(2〃-1)%=(2〃-3)-2向,数列依｝的前0项和

S“=2/+〃-2.求数歹U｛%•"｝的前〃项和匕.

35.设数列｛4｝中，=1+2+3+…+〃(〃wN*),将｛%｝中5的倍数的项依次记为

”,与，打，....，

(I)求仇力2，4,〃的值.

(II)用k表示/I与%2并说明理由.

(III)求和：4+b,+/+,•'+^2»-1+62〃*

9

36.数列｛6｝的前"项和为S“，且满足q=1,2S“=(〃+1)以“,

(I)求a“与%T的关系式，并求｛%｝的通项公式;

(ID求和叱,=^—+^：—+…+—.

a2-I否-1

37.设数列｛%｝是公差为d,且首项为。0=d的等差数列，

求证：S“M=aC+aC+-..+aC

10

答案:

1,设s」+L*+Z+…+2/7-12fl—32〃—1

呜s.3+9+…+4----------

"248162"48162"2"+'

两式相减得

+£)2/7-111112〃一1

为"+(2+二2+”5-j____I___P...+击)-

2"248162"+|48

2〃-1_3耳.J3-初二

2"""2〃

，，c1

2,解:由log3X=log3x=-log32=>x=-

x(l-xM)

山等比数列求和公式得S=x+r++,•,+%

n一

-(1--).

22^=1_±

1I2"

1--

2

3.解：若a=0,则Sn=0若a=l,

n(n+1)

则Sn=l+2+3+,,,+n=

2

若aWO且aWl则S『a+2aWaMa，…+nan

234n+1

AaSn=a+2a+3a+««*+na

aa,+in+l

~'-na(1-a)Sn=a+a2+a3+*"+an-nan+1

1-a

a-an+lnan+'

,•Sn-3Hl)

(1-a)2\-a

当a=0时,此式也成立。

-2-(”=D

n+l+

,♦Sn=aana"'

(a。1)

(1-a)21-a

u

解析：数列卜a"｝是由数列｛〃｝与｛，4对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，

（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种

情况进行讨论，最后再综合成两种情况。

4.证明：设S“=C：+3C：+5C；+++.............①

把①式右边倒转过来得

S,=(2〃+1)C：+(2〃-1)。/+...+3C：+C：

(反序)

又由C：=c：i"可得

S“=(2〃+DC：+(2”-1)C：+…+3c丁+C：..........②

①+②得2s“=(2”+2)(C：+C：+…+C：i+C,：)=2(〃+1)-2"

(反序相加)

...S“=(〃+l>2"

九(n4-2)2n及+2

=­(i----------------)

22n+1〃+2

二—3―---1---------1--

42〃+22〃+4

6.解：设$2002=%+。2+。3------02002

由为=1,a2=3,a3=2,an+2=aft+[-an可得

%=-1,%=-3,6=-2,

〃7=1,=3,%=2,%0=-1,Q”=-3,《2二-2,

。6%+1=1，。64+2=3，Rk+3=2，。6"4=-1，。6£+5=一工O6i+6=~2

12

•a6k+\+a6k+2+〃6A+3+a6k+4+〃6A+5+06&+6=°(找特

殊性质项)

••$2002Cl।+Cl)+Q3I***+Cl9QQ2

(合并求和)

(%+。2+。3+・・以6)+(〃7+。8+..•/2)+―,+36人‘+1+。6n2+・一+々6k+6)

dF(《993+”1994。1998)+“1999+。2000+。2001+。2002

—“1999+“2000+。2001+。2002

=a6k+\+a6k+2+〃6A3+。6*+4

=5

7.解：因为双二5三/1(10"-1)

9n

所以Sc=5+55+555+…+55…5

=|[(10-1)+(102-l)+---+(10n-1)]

5「10(10"-1)

=--------------n

9|_10-1

50…550

81981

解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

另外：Sn=l-+2-+3-+---+n—

2482"

可以拆成：§产(1+2+3+…+n)+(-+-+-+-••+一)

2482"

8.V{an}为等差数列，且1+17=5+13,

：.%+417=&+。13,由题设易知a9=U7.

又。9为。3与415的等差中项，，。3+。15=2a9=234.

9.a=——T==7n+1-4n(裂项)

nVn--+li+Vn

13

于是有

ay=V2—Vl

a?—5/3-

an=J几+1—y/n

方程组两边相加，即得

SfJ—J/i+1—

2S2

10-【证明】•・・a〃=S“—Sa，・・・・S〃—Si=:?r^7(〃N2).

八〃T

化简，得5n.i—Sn=2SnSn.i

两边同除以.SnS.i,得-------=2(«>2).

数列,J-1是以‘-=」-=1为首项，2为公差的等差数列.

$J(i\S]

〃〃

-^―=]+(-1)2=2-1,S=---

S”"2n-l

11.V52„-5,)=6560-80>80,...此数列为递增等比数列.故qW1.

日(1一/)

=80,①

1一(7

依题设,有《4a二式)二6560,②

If

③

②・①，得1+q.=82,q"=81.④

④代入①，得囚=4一1.⑤

⑤代入③，得q"—qi=54.⑥

④代入⑥，得0-1=27,再代入③，得外=2,再代入⑤，得q=3.

14

n_11

12.令b"（裂项）

(n+1)!n!(n+1)!

—..+2《一〈+(今—小+•一+恃—春)

=1-------1—

(〃+1)!

故有〃然)08二],

2009!

13.设等差数列｛册｝的公差为d,则S“=〃%+g〃（〃一1）乩（I）

7。]+21d=7,即『+3d=1,

,:S]=7,5^=75,

15%+105J=75,l^i+7d=5.

解得。1=一2,d=l.

Sii

代入⑴得—=+—(〃一l)d=-2+—(n-1).(II)

n22

..S〃+iS〃_1

,——9

n+1n2

二数列1区]是首项为-2,公差为，的等差数列，二，=，〃2一2〃

n2"44

s

14.解：n=1J_+3—+5-4-…+(2麓一1+―)

2482”

=(1+3+5+---+2«-1)+(—+—+—+•••+—)

2482"

(1+2〃-1)〃22211

=------------------+--------——-=H4-1-------

21I2〃

2

Sn=(1—2)+(3—4)+・・・+[(〃-2)_(〃_])]+〃

15.当〃为正奇数时，n-\〃+1

=--------------F/2=---------

15

S,,=(1—2)+(3—4)+…

当“为正偶数时，_n

~~2

W（〃为正奇数）

2，注意按〃的奇偶性讨论!

综上知s“=

-2（〃为正偶数）

I2

原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+—+(2〃-1一2〃)(2〃—1+2〃)+

16.1•,+(99—100)(99+100)=—3—7—11—(4〃—1)—,11—199

50(3+199)…八

=--------------——5050

2

]]

17.解：因为%=

2+

-------------------------1----------------------F•••+-----------------------------------------

2|_lx22x32x33x4+(〃+1)(n+2)

」*11

-2「一(〃+1)(”+2)

〃(”+3)

4(〃+1)(〃+2)

18.解：(I)当n=lQ寸，x2—thx—£h=0有一根为

于是1)2—Rai—1)—%=0,解得的=£.

1

2

当n=2时，x—a2x—a2=O有一根为S2—l=a2—2>

1,11

于是(。2-5)2—。2(。2—5)—。2=0，解得a=£.

ZZO

(II)由题设⑸-1)2-。〃回一1)—0"=0,

2

即Sn—2Sn+1—anSn=0.

当n22时，an=S“一Sn-i，代入上式得

5"—2S〃+l=0①

1112

由(I)知Si=ai=Q,S2=ai+a2=?+q=§.

16

3

由①可得$3=7

由此猜想S"=Uw，n=l,2,3,….

下面用数学归纳法证明这个结论.

（/）n=l时已知结论成立.

k

回假设n=k时结论成立，即S卜=中，

1k~\~l

当〃=k+l时，由①得Sk+i=2_即5k+i=卜+2,

故n=k+l时结论也成立.

综上，由⑺、（"）可知斗=弟对所有正整数。都成立.

一01,nn-l1

于ZE当"22时,胡=工一£一】=干一丁=而而,

又n=].时，。1=2=三予所以

乙1AZ

{an}的通项公式an=U=,n=l,2,3,….

玛解「•（〃+g-%»8（〃+仇谑而罚-正而^（找通项及特征）

=8-[-----------+------------]（设制分组）

(n+2)("+4)(〃+3)(”+4)

（裂项）

n+2M+4n+3n+4

+）=喙白-勺+喙+一志）（分组、裂项求和）

20.解:原式二(尤+厂+/+…+/")+--1---+,•,H---

17

y

x-xn+1yn-1

一+y"f"

21.解：设Sn=(1+1)+(—h4)+(―-+7)+■—l-(——+3〃-2)

aa~a"~

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=(1+工+-V+…+-^―)+(1+4+7+•••+3/1-2)

aa~a"~

马，，1(3九一1)〃_(3n+1)M

当a=1时rH，Sc„-n+---------------------------

"22

1_±

当aHl时，5„=—q+-----------=-----------F-----------

”i12a-12

i—

a

22.解：设4=女(2+1)(2攵+1)=2攵3+3k?+k

.・.S〃=£&(A+l)(2k+1)=才(2Z3+3Z2+左)

A=]k=\

将其每一项拆开再重新组合得

S,=2才父+3,k2+Yk

k={k=}k=\

=2(l3+23+…+〃3)+3(12+22+…+〃2)+(1+2+…+〃)

n2(n+1)2〃(〃+l)(2〃+l)n(n4-1)

=---------------1-----------------------1-----------

222

〃(〃+l)2(n+2)

2

23.证明：设S“=C：+3C：+5C；+…+(2〃+l)C；..............................①

把①式右边倒转过来得

S“=(2〃+1)C；+(2M-1)Cr+•••+3C：+C；(反序)

又由c：=c：;-"'可得

S,=(2n+1)C：+(2/i-DC,；+.••+3C；,-'+C：.....................②

①+②得25,,=(2n+2)(C：+C\+•••+Cr+C；)=2(n+1)-2"(反序相加)

S,=(〃+l).2"

18

24.解：^S=sin2T+sin22°+sin230+---+sin288°+sin289°...........①

将①式右边反序得

5=sin2890+sin288°+•••+sin23°+sin220+sin2r......②(反序)

又,/sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1

①+②得(反序相加)

2S=(sin21°+cos21°)+(sin220+cos22°)+•••+(sin289°+cos289°)=89

...5=44.5

nn

25.,/a--------------1------------,

"n2n-l2n+l

S=(1H—)+(—I—)H------1-(-------------1------------)+(------------1---------)

"3352n-32n-l2〃-12〃+l

1/12、*3、I〃、几n

=I+(—+・••+(--------+--------)+--------=〃+--------

33552n-12n-V2n+l2〃+l

_2n(n+1)

2n+l

(n+l)2-n2II

n2-(n+l)2n2(n+l)2

。“I、，II、/II、/II

s“=（i-R+（齐-铲）+-一+（不万一y+（/-而下

I-------

27.注意：数列的第n项1”不是数列的通项公式，记这个数列为｛乐｝,

...其通项公式是

2

ak-k-[n-(k-I)]-kn-k+k(k-1,2,3,…,〃)，

S„=(l+2+3+---+n)-n-(l2+22+32+---+rt2)+(l+2+3+---+n)

_n2(«+1)n(n+l)(2n+1)n(n+1)_n(n+l)(n+2)

F6+-2--6'

9

28.・.・%=〃+1为等差数列，/=(―)n为等比数列，，应运用错位求和方法:

19

oaa

•••S„=2x—+3x(—)2+••.+(«+1)x(—)n;

"101010

aooa

—S=2x(—)-+3x(—1+•••+(//+1)x(—),,+l,

10101010

1QQQQQ

两式相减得:-S=—+[(一)2+(一)34---卜(一)"]—(〃+1)x(一)n+1

10"510101010

gsiaaaag

=-+—x[l-(—)«]-(n+l)x(―)n+l=rr_(2,)-'(〃+10),

51010101010

9

S“=99-9(〃+10)x(台".

29.:a.=3〃+l为等差数列,a。+a“=%+%_[=…，

而C；=C；T,.•.运用反序求和方法是比较好的想法，

+4C：+7C：+…+(3〃-2)C『+(3〃+1)C"①，

=(3〃+DC'1+(3〃-2)C：-'+(3〃-5)C；2+…+4C：+C：

W=(3n+1)C：+(3n-2)C：+(3n-5)Cf2+•••+4C：+C:②,

①+②得2W=(3〃+2)(C；+C：+C；+…+C；)=(3〃+2)x2",

.-.W=(3n+2)x2"-'.

30.(1)--\lx2+9

tl1—1

(2)・・・《：，.•.{“；}是公差为9的等差数歹!I，

+9("N2),

u~—9〃-8,u"＞。，­'-=《9k-8,

(3)ak=/1=-619k+1-J%-8),

J%-8+J%+l9

S„=-[(Vio-1)+(V19-V10)+---+(J9〃+1-V9n-8)]

9

=[(J9"+」-1);

20

,2,,2〃+1,.1.7cc、

31-bn=7+bn-l，b„=2仇+1=6(z4〃-+8〃+3),

JJ，

①当〃为偶数时叱”一{(E-22)+©2—42)+・・・+[(〃-1)2一〃2]}

9

Q

+]{(1—2)+(3—4)+・・•+[(〃-1)一〃]}

=--[3+7+11+•••+(2M-1)]--X-

992

=--X—x[—(2n+2)]--n-——(2/72+6/1);

92299

②当"为奇数时叱,=[{(12-22)+…+[(〃—2-—(〃-1)2]+〃2}

Q1

+-{(l-2)+(3-4)+---+[(n-2)-(n-l)]+n}+-

93

=-{-[3+7+ll+(2n-3)]+n2}+-[--+n]+-

41181

-12+

-+1++17

加

一XXX

一9--2-22/2J9-23-=-(2H2+6H+7).

32.(I)45“=(%+I[①，而4s“t=(a„_,+②，

(D—②得a；-a3-2(%+*_1)=0n(%+an_y)(a„-an_y-2)=0,

van>0,.-.%一*=2(〃>2),.\{%}是公差d=2的等差数列，

2

而4%—(a,+1)n%=1,an=2〃-1;

/、。111111

(IDvS„=n2',：.—+—+•••+—=—+—+•••+

222

"S|S2S„I2n

11

nT<//(/z-l)

〃一1n

.-.±+±+...+±<l+(l-i)+(^^)+-+(^i)

5)S2SfJ223n-\n

2--<2.

n

nx2H-2

33.van=a'+a〃+---+tz,

⑴当a=1时％=〃，泊=吟凡

21

a(zi\-a/、)_cin-\-a2n-l

(2)当QW1口寸%

l-al-a

2,,-

：.Slt