高中数学立体几何学科老师辅导讲义

北辰教化学科老师辅导讲义

学员姓名：年级：高二辅导科目：数学学科老师:

授课日期3月19日授课时段

授课主题几何体表面积与体积

教学内容

学问回顾：

学问梳理

一.要求：

了解球、棱柱、棱锥表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

二.考点总结：

考试中不仅有干脆求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有己知面积或体积求某些元素的量或元素间的位

置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要娴熟驾驭多面体与旋转体的概念、

性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，

会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

三.考点精讲

1.多面体的面积和体积公式

名称侧面积(S«)全面积(S全)体积(V)

棱柱直截面周长XIS底•h=S直截面•h

棱

S侧+2S底

柱

直棱柱chS底•h

棱锥各侧面积之和

棱

gS底•h

S侧+S底

锥正棱锥-ch,

2

表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h'表示斜高，I表示侧棱长。

2.旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球

s侧2Jirinrl冗(ri+r2)1

n(r,+r2)1+n(rA+rZ)

S全2nr(1+r)nr(1+r)4nR2

1

Vnr2h(BPnr2l)-nrh—nh(r2i+rir2+r22)-3tR3

333

表中I、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，口、n分别表示圆台上、下底面半径，R

表示半径。

四.题型解析：

题型1:柱体的体积和表面积

例1.一个长方体全面积是20cm2,全部棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们

平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2.如图1所示，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，已知AB=5,AD=4,AAi=3,AB_LAD,ZAjAB=ZAiAD=—«

3

（1）求证：顶点Ai在底面ABCD上的射影。在/BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

图1图2

题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是这个长方体对角线的长是（）

A.26B.3A/2C.6D.V6

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素一棱长。

例4.如图，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EBC将三棱柱分成体积为％、\乙的

两部分，那么％：V2=。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最终用统一的

量建立比值得到结论即可。

题型3:锥体的体积和表面积

例5.在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，ZDAB=60°,对角线AC与BD相交于点O,P0_L平

面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,，求四棱锥P-ABCD的体积？

点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在实力方面主要考查空间想

象实力。

例6.在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5V5«(如图所示)

(I)证明：SC±SC；

(II)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;

(III)求三棱锥的体枳吆-ABC。

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必需具备肯定的洞察力，并进行肯定

的逻辑推理。

题型4：锥体体积、表面积综合问题

例7.ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC

=2,求点B到平面EFC的距离？

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，4EFG为底

面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

例8.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心0,且与BC,DC分别

截于E、F,假如截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S”

S2,贝IJ必有（）

A.Si<$2B.Si>$2

C.S,=S2D.S”&的大小关系不能确定

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好

平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题

例11.一个圆柱的侧面积绽开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（)

1+211+4万1+211+4万

A.--------B.--------c.-----D.-----

2〃4〃7T2%

例12.如图9—9,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高

R

度恰好上升r,则一=

r

图

点评：本题主要考查旋转体的基础学问以及计算实力和分析、解决问题的实力。

题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题

例13.（1）在△A8C中，718=2,BC=1.5,ZABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所

形成的旋转体的体积是（）

9753

A.—JTB.一几C.一"D.一"

2222

（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为於，则这个圆锥的全面积是（）

A.3乃B.3V3"C.6"D.9"

点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象实力。而对空间图形的处理实力是空间想象力深化的标

记，是高考从深层上考查空间想象实力的主要方向。

例14.如图所示，0A是圆锥底面中心。到母线的垂线，0A绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分,

则母线与轴的夹角的余弦值为（）

111

A.-=B.-C.-产

V22V2

点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及敏捷的运算实力。

题型8：球的体积、表面积

例15.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且A6=8C=C4=2,求球的表面

积。

点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例16.如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,假如PA,PB,PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=a,求这个

球的表面积。

点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就

是正方体的对角线，易得球半径R=上a,下略。

2

题型9:球的面积、体积综合问题

例17.如图，正四棱锥P—A6co底面的四个顶点A,8,C,。在球。的同一个大圆上，点P在球面上，假如

v-丁则球。的表面积是()A,4.B.8%C.12万D.16%

(2)半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为逐，求球的表面积和体积。

点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。

例18.(1)表面积为324开的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。

(2)正四面体ABCD的棱长为a,球。是内切球，球。1是与正四面体的三个面和球0都相切的一个小球,

求球5的体积。

~~~~~一：-

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。

题型10：球的经纬度、球面距离问题

例19.(1)我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少而？(地球半径大约为6370切?)

(2)在半径为13。机的球面上有A,3,C三点，AB=BC^AC=12cm,求球心到经过这三点的截面的距离。

V2

例20.在北纬45圈上有A,8两点，设该纬度圈上A,8两点的劣弧长为KR(R为地球半径)，求

4

两点间的球面距离。

点评：要求两点的球面距离，必需先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面

距离。

五.思维总结

1.正四面体的性质设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的

l五

(1)全面积：S金=6a2；(2)体积：V=J/；(3)对棱中点连线段的长：d=—J2a；

122

(4)内切球半径：r=—a；(5)外接球半径R=—a；

124

(6)正四面体内随意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。

2.直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质:

如图，在直角四面体A0CB中，ZA0B=ZB0C=ZC0A=90",0A=a,0B=b,0C=Co

则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形;

②直角顶点0在底面上的射影H是AABC的垂心;

③体积V=—abc；

6

④底面△*；JaE+b2c、c2a2

⑤S^ABC二S△BUC•SAABC;

@S2ABOC=S2AAOB+S2AAOC=S"AABC

1111

⑦----r=-7+-r+;

OH2a2b2c2

⑧外切球半径R--Ja~+b~+c~；

2

q*qc

⑨内切球半径r=2M0B»ABOC»AABC

a+b+c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.

①如图，圆锥的顶角为B,母线与下底面所成角为a,母线为1,高为h,底面半径为r,则

(.Ph

sma二cos—二一,

2/

a+2=90。=

2

.Pr

cosa=sin—=—.

2I

③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；

(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；

(3)球心和截面距离d,球半径R,截面半径r有关系：r=7R2-d2.

4.经度、纬度：

经线：球面上从北极到南极的半个大圆;

1座

南被

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

1度

南极

经度：某地的经度就是经过这点的经劣也与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。

纬度：某地的纬度就是指过这点的球斗，径与赤道平面所成角的度数。

kfflaig

W1⑥:二

5.两点的球面距离：

球面上两点之间的最短距离，就贡m经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点

的球面距离.

两点的球面距离公式：(其中R为球半径，。为A,B所对应的球心角的弧度数)

课后作业

1、如图，△A5C中，ZACB=90,乙48c=30,BC=J5,在三角形内挖去一个半圆(圆心。在边上，

半圆与AC、AB分别相切于点C、力4,与交于点N),将△A8C

绕直线3C旋转一周得到一个旋转体。

(1)求该几何体中间一个空心球的表

(2)求图中阴影部分绕直线旋转--周所得旋转体的体积.

第20题

2、如图，四面体ABC。中，O、E分别是BD、的中点，AO_L平面BCZ),

CA=CB=CD=BD=2.

(1)求三棱锥A-3CQ的体积；

(2)求异面直线AE与CD所成角的大小.

BC

E

3,(本题满分12分)

在正四棱锥2一ABC。中，侧棱PA的长为2后，PA与8所成的角的大小等于arccos半