高中数学必修2人教A：全册导学案第4章《圆与方程》

§4.1圆的标准方程

心学习目标

1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;

2.会用待定系数法求圆的标准方程.

学习过程

一、课前准备

(预习教材P124~P127,找出疑惑之处)

1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要

素又是什么呢？

2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆

是否也可用•个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

二、新课导学

X学习探究

新知：圆心为43,勿，半径为r的圆的方程(x-a)2+(y-份2=/叫做圆的标准方程.

则圆的方程就是丁=/

a=b=01+

探究：确定圆的标准方程的基本要素？

X典型例题

例写出圆心为42,-3),半径长为5的圆的方程，并判断点M/5,-7),M式-百,-1)是否在这个

圆上.

小结：点M(x0,y°)与圆(x-a)2+(y-b)2=r的关系的判断方法:

222

(l)(x0-«)+(y0-Z>)>r,点在圆外；

⑵(x0-4+(%-6)2=/，点在圆上；

⑶(x°-q)2+(%-4</,点在圆内.

变式：ABC的三个顶点的坐标是4(5,1),B(7,-3)

C(2,-8),求它的外接圆的方程

反思：

1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a,6/的方程组，求6,r或直接求出圆

心(a,b)和半径r.

2.待定系数法求圆的步骤：(1)根据题意设所求的圆的标准方程为。-。)2+日-。)2=/；(2)

根据已知条件，建立关于a,仇，•的方程组；(3)解方程组，求出的值，并代入所设的方

程，得到圆的方程.

例2已知圆C经过点A(l,1)和8(2,-2)，且圆心在直线l:x-y+\=O上,求此圆的标准方程.

X动手试试

练1.已知圆经过点P(5,l),圆心在点C(8,-3)的圆的标准方程.

练2.求以C（l,3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程

三、总结提升

X学习小结

—,方法规纳

⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.

⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.

⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.

圆的标准方程的两种求法：

⑴根据题设条件，列出关于。、b、/•的方程组，解方程组得到。、b、r得值，写出圆的标准

方程.

⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准

方程.

学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一•般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知A(2,4),8(-4,0),则以AB为直径的圆的方程(一~

A.(x+l)2+(y-2f=52B.(x+l>+(y+2>=52

C.(x-l)2+(y-2)2=52D.(x-1)2+(>■+2)2=52

2.点P(小,5)与圆的x2+;/=24的位置关系是().

A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定

3.圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点4。,-4).夕0,-2),则圆C的方程为().

A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=25

C.(x-2『+(y+3)2=5D.U-2)2+(y+3)2=25

4.圆关于(x+2)2+/=5关于原点(0,0)对称的圆的方程

5.过点A(2,4)向圆V+y2=4所引的切线方程

'Q课后作业

1.已知圆的圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-l=0切于点(2,-1),求圆的标准方程.

2.已知圆/+丁=25求：⑴过点A(4,-3)的切线方程.⑵过点8(-5,2)的切线方程

§4.1圆的一般方程

学习目标

1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程

确定圆的圆心半径.掌握方程+y2+Dx+Ey+尸=0表示圆的条件；

2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程；

3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力

4y学习过程

一、课前准备

(预习教材P127~匕30,找出疑惑之处)

1.已知圆的圆心为C(a,。)，半径为r,则圆的标准方程若圆心

为坐标原点上，则圆的方程就是

2.求过三点4(0,0),8(1,1),C(4,2)的圆的方程.

二、新课导学

X学习探究

问题L方程/+y2-2x+4y+l=0表示什么图形？方程/+)/-2x+4y+6=0表示什么图

形？

2

问题2.方程x+/+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？

新知：方程/+/+小+矽+尸”表示的轨迹.

⑴当。2+E?-4F>0时，表示以(-2,-£)为圆心，勺示+6-4尸为半径的圆；

222

(2)当。？+E2-4尸=0时，方程只有实数解x=-2,y=--,即只表示一个点(一2,-£)；

2222

(3)当£>2+炉-4/<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

小结：方程/+丫2+6+£)，+尸=0表示的曲线不一定是圆只有当£>2+1-4尸>0时，它表

示的曲线才是圆，形如W+y2+Dx+Ey+F=0的方程称为圆的一般方程

思考：

1.圆的一般方程的特点？

2.圆的标准方程与一般方程的区别？

X典型例题

例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

⑴4r+4丫2-4》+12)，+9=0；

⑵4x?+4/-4x+12y+ll=0.

例2已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上(x+lF+y2=4运动，求线段AB的

中点历的轨迹方程.

X动手试试

练1.求过三点｛0,0),8(1,1),。(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

练2.已知•个圆的直径端点是4(8,乂),832，丫2)，试求此圆的方程.

三、总结提升

X学习小结

1.方程/+丁+9:+或+/=0中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确

定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.

2.待定系数法是数学中常用的•种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数,

利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要

求熟练掌握.

3.使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出

关于〃也厂或DE,尸的方程组；⑶解出“也/■或,代入标准方程或一般方程.

，〜学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.若方程+y2-x+y+m=o表示一个圆，则有().

A.m<2B.m<2C.m<—D.m<—

22

2.圆/+J-4%-1=0的圆心和半径分别为().

A.(2,0),5B.(0,-2),V5C.(0,2),0D.(2,2),5

3.动圆龙2+丁一(4m+2)x-2my+4nr++1=0的圆心轨迹是().

A.2x+y-1=0B.x-2y+\=0

C.2x-y+1=0D.x-2y-1=0

4.过点C(-1,1),O(1,3),圆心在x轴上的圆的方程是.

5.圆f+/_4x_5=0的点至I］直线3x-4,y+20

=0的距离的最大值为.

课后作业

1.设直线2方+3〉+1=0和圆/+丫2-2)-3=0相交于4,8,求弦48的垂直平分线方程.

2.求经过点>4(-2,-4)且与直线/:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.

§4.2直线、圆的位置关系

学习目标

1.理解直线与圆的儿种位置关系；

2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离;

3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

』学习过程

一、课前准备

(预习教材P133~P136,找出疑惑之处)

1.把圆的标准方程&-4)2+(丫-份2=,整理为圆的一般方

程.

把x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)整理为圆的标准方程

为.

2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70加

处，受影响的范围是半径为30bn的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40处，如果这艘

轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

3.直线与圆的位置关系有哪几种呢？

4.我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用宜线与圆的方程判断它们之间的位置关系

呢？

二、新课导学

X学习探究

新知1：设直线的方程为/：办+勿，+c=0,圆的方程为。:产+)2+6+4+/=0,圆的半

径为r,圆心(-?,-二)到直线的距离为4,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:

22

⑴当d>r时，直线/与圆C相离：

⑵当d=r时，直线/与圆C相切；

⑶当•时，直线/与圆C相交；

新知2：如果直线的方程为)，=丘+小，圆的方程为(》-。)2+6-①2=/，将直线方程代入圆

的方程，消去y得到x的一元二次方程式Pd+Qx+RuO,那么：⑴当△<()时，直线与圆没

有公共点；

⑵当△=()时，直线与圆有且只有一个公共点；

⑶当△>()时，直线与圆有两个不同的公共点；

X典型例题

例1用两种方法来判断直线3x-4y+6=0与圆。-2)2+()-3)2=4的位置关系.

例2如图2,已知直线/过点M(5,5)且和圆C:/+y2=25相交，截得弦长为4后，求/的方程

变式：求直线x-y-5=0截圆/+)『-4x+4y+6

=0所得的弦长.

X动手试试

练1.直线y=x与圆/+()，—1)2=/相切，求「的值.

练2.求圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标轴相切的圆的方程.

三、总结提升

X学习小结

判断直线与圆的位置关系有两种方法

①判断直线与圆的方程组是否有解

a.有解，直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组，则相交

b无解，则直线与圆相离

②如果直线的方程为4x+By+C=O,圆的方程为(x-“)2+(y-/7)2=/,则圆心到直线的

⑴如果d<r直线与圆相交；

⑵如果d=r直线与圆相切；

⑶如果d>r直线与圆相离.

学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.直线3x—4y+6=0与圆(x-2>+(y-3)2=4

A.相切B.相离C.过圆心D.相交不过圆心

2.若直线x+y+,*=0与圆./+)3=m相切，则”?的值为().

A.0或2B.2C.y/2D.无解

3已知直线/过点(-2,0),当直线/与圆/+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是

).

(-2夜,2伪B.(—y/2,y/2')

4.过点M(2,2)的圆/+y2=8的切线方程为

5.圆x?+y2=i6上的点到直线x-y-3=0的距离的最大值为.

课后作业

1.圆/+y，+2x+4y-3=0上至I」直线/:x+y+1

=0的距离为四的点的坐标.

2.若直线4x-3y+a=O与圆产+丁=100.(1)相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数〃的取值范

围.

§4.2圆与圆的位置关系

学习目标

1.理解圆与圆的位置的种类；

2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;

3.会用连心线长判断两圆的位置关系.

心学习过程

一、课前准备

(预习教材P136~P137,找出疑惑之处)

1.直线与圆的位置关系，

2.直线x—y—5=0截圆r+y~+4y+6=0所得的弦长.

3.圆与圆的位置关系有几种,哪几种?

4.设圆两圆的圆心距设为d.

当d>/?+r时，两圆

当4=/?+广时，两圆

当IR-rkd<R+r时，两圆.

当d=IR-rl时，两圆

当d<IR-rl时，两圆

二、新课导学

X学习探究

探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？

新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决

X典型例题

例1已知圆G：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C?:/

2

+j+4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的关系？

变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？

例2圆C1的方程是+)"-2mx+4y+"「-5=0,圆C?的方程是:x2+/+2犬-2切+疝

-3=0,胆为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.

X动手试试

练1.已知两圆x2+y2-6x=0与/+)，-4y="?问，"取何值时，两圆相切.

练2.求经过点M（2,-2）,且与圆x2+y2-6x=0^x2+丁=4交点的圆的方程

三、总结提升

X学习小结

1.判断两圆的位置关系的方法：

⑴由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.

⑵依据连心线的长与两半径长的和八+々或两半径的差的绝对值的大小关系.

2.对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.

3.-一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线;

③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.

4.求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.

3学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1.已知0<r<行+1,则两圆W+y）=’与（］-以+（），+1）2=2的位置关系是（）.

A.外切B.相交C.外离D.内含

2.两圆x2+y?-2x=0与x?+y?-4y=0的公共弦长（）.

A.拽B.1C.述D,2

55

3.两圆—+y2_4x+2y+1=0与+y2+以_4y

-1=0的公切线有（）.

A.1条B.2条C.4条D.3条

4.两圆x2+y2+4x-4y=o,x2+y2+2x-12=O相交于两点，则直线48的方程

是■

2

5.两圆V+9=］和（X_3）+/=4的外公切线方程.

课后作业

1.已知圆C与圆炉+丁-2x=0相外切，并且与直线x+氐=0相切于点QC3,-73），求圆C的

方程.

2

2.求过两圆G：/+丫2-4、+2>=0和圆C2:x+y-2y-4=0的交点，且圆心在直线

/:2x+4y-l=0上的圆的方程.

§4.2.3直线与圆的方程的应用

2学习目标

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；

2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P138~P140,找出疑惑之处）

1.圆与圆的位置关系有____________________________

2.Ur2+y2+4x-4y-5=0^H?+/-8x+4y

+7=0的位置关系为.

3.过两圆/+/-6x-4=0和x?+y?+6y-28

=0的交点的直线方程.

二、新课导学

X学习探究

1.直线方程有几种形式？分别是?

2.圆的方程有几种形式?分别是咖些?

3.求圆的方程时，什么条件下，用标准方程?什么条件下用一般方程?

4.直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

X典型例题

例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支

柱支撑，求支柱&当的高度（精确0.01m）

变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程

例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到•边距离等于这条边所对这条边长

的一半.

X动手试试

练1.求出以曲线/+丁=25与y=/一13的交点为顶点的多边形的面积.

练2.讨论直线y=x+2与曲线y=U的交点个数.

三、总结提升

X学习小结

1.用坐标法解决儿何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通

过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就

是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.

2.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示

问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问

题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.

3.解实际问题的步骤：审题一化归一解决一反馈.

■Q学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.一动点到4(-4,0)的距离是到8(2,0)的距离的2倍，则动点的轨迹方程().

A.(x-4)、y2=4B.(x-4)2+/=16

2222

C.x+(y-4)=4D.x+(y-4)=16

2.如果实数满足Y+)，2-4X+1=0,则上的最大值为()

X

A.1B.—C.x/3D.72

3

3.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+l=0的距离为夜的点共有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

22

4.圆(x-l)+(y-l)=4关于直线/:x-2y-2=0对称的圆的方

程.

5.求圆（x-炉+（y+=4关于点（2,2）对称的圆的方程.

课后作业

1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.

2.机械加工后的产品是否合格，要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以

及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.一知量球的直径为2厘米,并测出

三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.

§423直线，圆的方程（练习）

』学习目显

1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；

2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

学习过程

一、新课导学

X学习探究

（预习教材P12rP140.找出疑惑之处）

圆的标准方程

例1一个圆经过点A（5,O）与B（-2,l）圆心在直线x-3y-10=0上,求此圆的方程

直线与圆的关系

例2求圆(x-2『+(y+3『=4上的点到x-y+2=0的最远、最近的距离

三.轨迹问题

充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.

例3求过点A(4,0)作直线/交圆O:犬+)，=4于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程

四弦问题

主要是求弦心距（圆心到直线的距离）,弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算

例4直线/经过点（5,5）,且和圆V+y=25相交，截得的弦长为4逐，求/的方程.

五.对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）

例5求圆（x—+（y+1）?=4关于点（2,2）对称的圆的方程.

练习

1.求圆（x-iy+（y-l『=4关于直线x-2y-2=0对称的圆的方程

2.由圆外一点尸（2,1）引圆O：/+）,2=4的割线交圆于A,B两点，求弦AB的中点的轨迹.

3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么？

4.已知圆C的圆心坐标是(-：,3),且圆C与直线x+2y-3=0相交于P,。两点，又OPLOQ,。

是坐标原点，求圆。的方程.

学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.-•般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.已知M(3,0)是圆/+丁-8*-2)，+10=0内一点，过M点的量长的弦所在的直线方程是

().

Ax+y-3=0Bx-y-3=0

C2x-y-6=0D2x4-y-6=0

2.若圆(x-3f+(y+5)2=/上有且只有两点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取

值范围是().

A.(4,6)B.[4,6)C,(4,6]B.[4,6]

3.已知点和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A点经过X轴反射到圆周C的最短

路程是（~~

A.10B.672-2C.4V6D.8

4.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点P（3,1）,则直线AB的方程为.

5.圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1,0）的圆的方程.

■Q课后作业

1.从圆外一点P（l,l）向圆Y+/=1引割线，交该圆于42两点，求弦A8的中点的轨迹方程.

2.2.已知圆的半径为痴，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4及，求圆

的方程.

§4.3空间直线坐标系

』学习目标

1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示;

2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标

i一学习过程

一、课前准备

（预习教材P142~P144,找出疑惑之处）

1.平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法?

2.一个点在平面怎么表示？在空间呢？

二、新课导学

X学习探究

1.怎么样建立空间直角坐标系？

2.什么是右手表示法?

3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？

思考：坐标原点。的坐标是什么？

讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程

X典型例题

例1在长方体。BCO-Z/AEC，中，|。川=3,|OC|=4

|0。1=2.写出D：C,A',B'四点坐标.

反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系一写出原点坐标-各点坐标.

讨论：若以C点为原点，以射线8C,CD,CC'方向分别为X,)，,z轴，建立空间直角坐标系，则

各顶点的坐标又是怎样的呢？

变式：已知M(2,-3,4),描出它在空间的位置

例2V-A8C。为正四棱锥，。为底面中心，若A8=2,VO=3,试建立空间直角坐标系，并

确定各顶点的坐标.

X动手试试

练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.

练2.已知A8CO-A'8'C'。'是棱长为2的正方体，E,F分别为8*和。C的中点，建立适当

的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标

三、总结提升

X学习小结

1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的

坐标.

2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴

对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；

3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角

坐标系.

4.关于一些对称点的坐标求法

P(x,y,z)关于坐标平面wy对称的点＜(x,y,-z);

P(x,y,z)关于坐标平面yoz对称的点P-,(-x,y,z)；

P(x,y,z)关于坐标平面xoz对称的点鸟(x,-y,z);

P(x,y,z)关于x轴对称的点E(x,-y,-z);

P(x,y,z)关于y对轴称的点P5(-x,y,-z)；

Pix,y,z)关于z轴对称的点P6(,-x,-y,z)s

0学习评价

X自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B.较好C.一般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.关于空间直角坐标系叙述正确的是().

A.P(x,y,z)中尤,y,z的位置是可以互换的

B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种-一对应的关系

C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分

D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同

2.已知点A(-3,1,-4),则点A关于原点的对称点的坐标为().

A.(l,-3,-4)B.(-4,1,-3)C.(3,-l,4)D.(4,-1,3)

3,已知AABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1),8(4,1,-2),C(6,3,7),则A/18C的重心坐标为

().

77„147

A.(6,—,3)B.(4,—,2)C.(8,—-,4)D.(2,—,1)

2336

4.已知ABC。为平行四边形，且4(4,1,3),8(2,-5,1),

C(3,7,-5)则顶点D的坐标.

5.方程(x-2『+(y+3)2+(z—I)?=36的几何意义是.

课后作业

1.在空间直角坐标系中，给定点”(1,-2,3),求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点

的坐标.

2.设有长方体48CO-4'B'C'。'，长、宽、高分别为48=4丽,4。=3丽,/14'=5的,"是线段

CU的中点.分别以ABM。,4A所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

⑴求48,C,£),A',8',C',。’的坐标;

⑵求N的坐标；

§432空间两点间的距离公式

，一学习目标

1.通过特殊到•般的情况推导出空间两点间的距离公式

2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.

学习过程

一、课前准备

(预习教材P14S-P146，找出疑惑之处)

1.平血两点的距离公式？

2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数X表示，建立了平面直角坐标系后，平

面上任意一点M都可用对应一对有序实数(X,)，)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系

时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？

3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？

二、新课导学

X学习探究

1.空间直角坐标系该如何建立呢?

2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？

33.3.空间中任意一点6(占,％,21)与点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

生闱=/(再一2)2+(必一为产+(Zi-z?)2•

注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中如々5,丫2

石,不可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=4?+62+02这一依据.

探究：

⑴点M(x,y,z)与坐标原点o(0,0,0)的距离？

⑵如果|OP|是定长r,那么/+>2+/=r2表示什么图形？

X典型例题

例1求点P|(l,0,例与尸2(4,3,-1)之间的距离

变式：求点4(0,0,0)到8(5,2,-2)之间的距离

例2在空间直角坐标系中，已知加C的顶点分别是4(723),8(2,-2,3),4,|,3).求证:

\ABC是直角三角形.

X动手试试

练1.在z轴上，求与两点4-4,1,7)和8(3,5,-2)等距离的点.

练2.试在叼平面上求一点,使它到5),

8(3,4,4)和C(4,6,l)各点的距离相等.

三、总结提升

X学习小结

1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之

间是相减而不是相加.

2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的

距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.

X知识拓展

1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.________________

2.平面上P(X1,yJ,Q(X2，y2)两点间的距离公式d=1(占-x?)?+»1-%)'•

3.平面上圆心在原点的圆的方程Y+y?=r.

学习评价

派自我评价你完成本节导学案的情况为().

A.很好B,较好C.-•般D.较差

X当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1.空间两点4(3,-2,5),5(6,0,-1)之间的距离().

A.6B.7C.8D.9

2.在x轴上找一点P,使它与点4(4,1,2)的距离为回，则点尸为().

A.(9,0,0)B.(-1,0,0)

C.(9,0,0)(-1,0,0)D.都不是

3.设点8是点A(2,-3,5)关于my面的对称点，则|4?|=().

A.10B.MC.738D.38

4.已知A(3,5,-7)和点8(-2,4,3),则线段A8在坐标平面yoz上的射影长度

为.

5.已知AA8C的三点分别为A(3,l,2),B(4,-2,-2),

C(0,5,l)则BC边上的中线长为.

课后作业

1.已知三角形的顶点为A(l,2,3),8(7,10,3)和C(-l,3,1).试证明A角为钝角.

2.在河的一侧有一塔。。=5加，河宽3C=3m,另侧有点A,AB=4m,求点A与塔顶。的

距离.

第四章圆与方程复习

学习目标

1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根

据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.

2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和儿何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程

和弦长；能利用数形结合求最值.

3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(x,y,z)表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距

离.

，一学习过程

一、课前准备

(复习教材P124-P152，找出疑惑之处)

复习知识点

1.圆的方程

⑴标准式：圆心在点5,6),半径为/■的圆的标准方程为当圆心

在坐标原点时，圆的方程为.

⑵一般式：__________________________________

⑶圆的一般式方程化为标准式方程为

⑷是求圆的方程的常用方法..

2.点与圆的位置关系有，

判断的依据为：

3.直线与圆的位置关系有

判断的依据为：

4.圆与圆的位置关系有_____________________一

判断的依据为：

5.