2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学三模试卷

2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学三模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣5的绝对值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣83．（3分）下列计算正确的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2•x＝4x34．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（）A．30° B．32° C．22° D．68°5．（3分）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（）A． B． C． D．8．（3分）如图是甲、乙两名同学的作业（题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．过点A作AD⊥BC．垂足为D；2．延长BA到N，作∠CAN的角平分线AE；3．过点C作CE⊥AE，垂足为E．四边形ADCE为矩形．乙：1．过点A作AD⊥BC，垂足为D；2．以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；3．两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；四边形ADBE为矩形．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝．10．（3分）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有人．11．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．12．（3分）下列4个函数，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有个．13．（3分）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学人．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．16．（6分）小红的爸爸一共买了四杯茶，其中一杯是绿茶，其余三杯是红茶，这四杯茶的外观完全一样，爸爸在拿回家的过程中弄混了，不知道哪一杯是绿茶，在不打开盖子的情况下，小红先从四杯茶中随机拿走一杯，然后小红的哥哥再从剩下的三杯中随机拿走一杯．请用树状图或列表法求小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率．17．（6分）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客减少了10%，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了3%，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？18．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．（1）求证：△AOB≌△EOC；（2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由）19．（7分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝度；（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．20．（7分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D和点E，F，H均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点C在小正方形的顶点上；（2）在图2中画出四边形EFGH，使得四边形EFGH是轴对称图形，但不是中心对称图形，且点G在小正方形的顶点上．在线段HG所经过的小正方形顶点中，找一点K，满足GF＝GK，连接FK，并直接写出tan∠GFK的值．21．（8分）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．22．（7分）（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长．23．（12分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和△ABC重叠部分的图形面积为y．（1）当点Q和点D重合时，x＝；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值．24．（12分）已知，在以点O为原点的平面直角坐标系中，抛物线的原点的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3）与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB及抛物线的解析式；（2）如图1点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴．点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD分别与AE交于F、G两点．当P点运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值．若不是．请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）﹣5的绝对值是（）A． B．5 C．﹣5 D．﹣【解答】解：﹣5的绝对值是5，故选：B．2．（3分）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣9 B．7×10﹣8 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8【解答】解：数0.000000007用科学记数法表示为7×10﹣9．故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．5+＝5 B．（x2）3＝x5 C．＝﹣3 D．4x2•x＝4x3【解答】解：A、5，故选项A不符合题意；B、（x2）3＝x6，故选项B不符合题意；C、＝3，故选项C不符合题意；D、4x2•x＝4x3，故选项D符合题意；故选：D．4．（3分）如图，直角三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝68°，则∠2的度数是（）A．30° B．32° C．22° D．68°【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠3＝∠1＝68°，∵∠2+∠4+3＝180°，∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣68°＝22°．故选：C．5．（3分）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．6．（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故选：D．7．（3分）“乌鸦喝水”的故事耳熟能详．如图，乌鸦看到一个水位比较低的瓶子，此时水位高度为a，喝不着水，沉思了一会后聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设乌鸦衔来的石子个数为x，水位高度为y，假设石子的体积一样，下列图象中最符合故事情境的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面，∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快，∴A符合题意，B，C，D不符合题意．故选：A．8．（3分）如图是甲、乙两名同学的作业（题中△ABC为等腰三角形，AB＝AC）；甲：1．过点A作AD⊥BC．垂足为D；2．延长BA到N，作∠CAN的角平分线AE；3．过点C作CE⊥AE，垂足为E．四边形ADCE为矩形．乙：1．过点A作AD⊥BC，垂足为D；2．以A为圆心，BD长为半径画弧；以B为圆心，AD长为半径画弧；3．两弧交于AD上方一点E，连接BE，AE；四边形ADBE为矩形．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【解答】解：甲的作业，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝90°，∵AE平分∠CAN，∴∠CAE＝∠CAN，∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAN），∴∠DAE＝∠BAN＝×180°＝90°，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴甲的作业正确；乙的作业，由题意知AD＝BE，AE＝BD，∴四边形ADBE是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形ADBE是矩形，∴乙的作业正确，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）10．（3分）光明中学初三（6）班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费赠送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，则相片上共有12人．【解答】解：设相片上共有x人．0.6+0.5x＝0.6×（x﹣1），解得x＝12，故答案为12．11．（3分）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为m．【解答】解：∵M是⊙O弦CD的中点，根据垂径定理：EM⊥CD，又CD＝4则有：CM＝CD＝2m，设圆的半径是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圆的半径长是m．故答案为：．12．（3分）下列4个函数，①y＝3x﹣1；②；③y＝2x2；④y＝2x（﹣1≤x＜1），其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个．【解答】解：①y＝3x﹣1的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点，故①不符合题意；②的图象是中心对称图形，且对称中心在原点，故②符合题意；③y＝2x2的图象不是中心对称图形，故③不符合题意；④y＝2x（﹣1≤x＜1）的图象不是关于原点对称的中心对称图形，故④不符合题意．其中图象是中心对称图形，且对称中心在原点的共有1个．故答案为：1．13．（3分）某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵．如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵．则原长方形队阵中有同学1025人．【解答】解：设原长方形队阵中有同学25x（x为正整数）人，则由已知25x+64与25x﹣64均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得，其中m，n为正整数．两式相减，得m2﹣n2＝128，即（m+n）（m﹣n）＝128．∵128＝1×128＝2×64＝4×32＝8×16，m+n和m﹣n同奇或同偶，所以或或，解得或或，当m＝33时，25x＝332﹣64＝1025，x＝41，当m＝18时，25x＝182﹣64＝260，x＝10.4，不合题意，舍去；当m＝12时，25x＝122﹣64＝80，x＝3.2，不合题意，舍去；故原长方形队阵中有同学1025人．故答案为：1025．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是80．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：．【解答】解：＝＝＝．16．（6分）小红的爸爸一共买了四杯茶，其中一杯是绿茶，其余三杯是红茶，这四杯茶的外观完全一样，爸爸在拿回家的过程中弄混了，不知道哪一杯是绿茶，在不打开盖子的情况下，小红先从四杯茶中随机拿走一杯，然后小红的哥哥再从剩下的三杯中随机拿走一杯．请用树状图或列表法求小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率．【解答】解：列表如下：绿茶红茶红茶红茶绿茶（绿茶，红茶）（绿茶，红茶）（绿茶，红茶）红茶（红茶，绿茶）（红茶，红茶）（红茶，红茶）红茶（红茶，绿茶）（红茶，红茶）（红茶，红茶）红茶（红茶，绿茶）（红茶，红茶）（红茶，红茶）共有12种等可能的结果，其中小红和哥哥中有一人拿走绿茶的结果有：（绿茶，红茶），（绿茶，红茶），（绿茶，红茶），（红茶，绿茶），（红茶，绿茶），（红茶，绿茶），共6种，∴小红和哥哥中有一人拿走绿茶的概率为．17．（6分）清明假期，泰山受到广大市民和全国游客的热烈欢迎．据统计，假期第一天A入口比B入口登山游客多1.2万人，第二天A入口登山游客增加了10%，B入口登山游客减少了10%，当天A，B入口登山游客总人数比第一天增加了3%，试求第二天A，B入口登山游客的人数各是多少万人？【解答】解：设假期第一天A入口登山游客的人数是x万人，B入口登山游客的人数是y万人，根据题意得：，解得：，∴（1+10%）x＝（1+10%）×2.6＝2.86（万人），（1﹣10%）y＝（1﹣10%）×1.4＝1.26（万人）．答：假期第二天A入口登山游客的人数是2.86万人，B入口登山游客的人数是1.26万人．18．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E．（1）求证：△AOB≌△EOC；（2）连接AC，BE，请添加一个条件，使四边形ABEC为矩形．（不需要说明理由）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D，∴∠B＝∠BCE，∵O是BC中点，∴BO＝CO，∵BO＝CO，∠B＝∠BCE，∠AOB＝∠COE，∴△AOB≌△EOC；（2）解：添加条件是OA＝OB，四边形ABEC是矩形．理由如下：∵△AOB≌△EOC，∴BO＝CO，AO＝EO，∴四边形ABEC是平行四边形，∵OA＝OB，∴BC＝AE，且四边形ABEC是平行四边形，∴四边形ABEC是矩形．19．（7分）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了400名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；③扇形统计图中圆心角α＝54度；（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．【解答】解：（1）①100÷25%＝400（名），故答案为400；②A阅读数学名著400×15%＝60（名），∴C制作数学模型400﹣60﹣100﹣140﹣40＝60（名），补全统计图如下：③，故答案为：54；（2）D项目的学生：（名）；（3）男1男2男3女1女2男1（男1，男2）（男1，男3）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，男3）（男2，女1）（男2，女2）男3（男3，男1）（男3，男2）（男3，女1）（男3，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）（女2，女1）共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，∴．20．（7分）方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A，B，D和点E，F，H均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出四边形ABCD，使得四边形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点C在小正方形的顶点上；（2）在图2中画出四边形EFGH，使得四边形EFGH是轴对称图形，但不是中心对称图形，且点G在小正方形的顶点上．在线段HG所经过的小正方形顶点中，找一点K，满足GF＝GK，连接FK，并直接写出tan∠GFK的值．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，四边形EFGH即为所求；根据网格可知：tan∠GFK＝＝2．21．（8分）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分．（1）当0≤x≤10时，请求出y关于x的函数解析式；（2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，由题意可得：C（24，40），则a＝24×40＝960，故y＝，则x＝40时，y＝＝24，则D（40，24），故A（0，24）；设线段AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，把B（10，40），（0，24）代入得，，解得：，∴y＝1.6x+24；（2）令直线AB函数中，y＝32，∴32＝1.6x+24，∴x＝5，令反比例函数中y＝32，∴32＝，∴x＝30，∵30﹣5＝25＞23，∴经过适当的安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．22．（7分）（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系AB＝AC+CD；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC＝，直接写出DE的长．【解答】解：（1）∵∠C＝2∠B＝90°，∴∠B＝45°，∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，由翻折的性质可知AC＝AE，CD＝CE，∠AED＝∠C＝90°，∴∠BED＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE＝DE＝CD．∴AB＝AE+BE＝AC+CD．故答案为：AB＝AC+CD；（2）AB＝AC+CD．理由如下：如图②，∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，∴DC＝DE，∠AED＝∠C，AE＝AC，∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，而∠AED＝∠B+∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，∴ED＝CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE＝x，由（1）的结论得AC＝（2+）x，∵BA＝BC，∠CBA＝120°，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∵BH⊥AC，∴CH＝AH＝AC＝x，在Rt△BCH中，∠BCH＝30°∴BH＝BC＝＝+1，∵BH2+CH2＝BC2∴（+1）2+（x）2＝（2+2）2，解得x＝或﹣（舍去），即DE的长为．23．（12分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．P，Q两点分别从A，C同时出发，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒4个单位长度，在BC上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒个单位长度的速度沿线段CA向终点A运动．过点P作PD⊥AC于点D，以PD，DQ为邻边作矩形PDQE．设运动时间为x秒，矩形PDQE和△ABC重叠部分的图形面积为y．（1）当点Q和点D重合时，x＝；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在运动过程中，连接PQ，取PQ中点O，连接OC，直接写出OC的最小值．【解答】解：（1）如图1，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵PD⊥AC于点D，∴∠ADP＝90°，∵AP＝4x，CQ＝x，∴PD＝AP＝2x，AD＝AP•cos30°＝×4x＝2x，当点D与点Q重合时，则2x+x＝2，∴x＝，故答案为：．（2）当点P与点B重合时，则4x＝4，∴x＝1；当点P与点C重合时，则2（x﹣1）＝2，∴x＝2，此时CQ＝2，则点Q与点A重合，当0＜x＜时，如图1，PD＝2x，DQ＝2﹣3x，∴y＝2x（2﹣3x）＝﹣6x2+4x；当＜x≤1时，如图2，EQ交AB于点R，∵PD＝2x，DQ＝3x﹣2，AQ＝2﹣x，∴RQ＝AQ•tan30°＝（2﹣x）＝2﹣x，∴y＝（2﹣x+2x）（3x﹣2）＝x2+2x﹣2；当1＜x＜2时，