高中数学《正态分布》导学案

第二章随机变量及其分布

DIERZHANG2.4正态分布

卜课前自主预习

知识导学

知识点6正态曲线

1.正态曲线

1_

函数V-71(7,xW(—8,+8),其中实数〃，^①乂))

为参数，我们称瓯"X)的图象为回正态分布密度曲线,简称因正态曲线.

2.正态曲线的性质

⑴曲线位于x轴回上方,与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线圆对称；

(3)曲线在x="处达到峰值夜]]

(4)曲线与x轴之间的面积为蚂1；

(5)当。一定时，曲线的位置由"确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移，如

图甲所示；

(6)当〃一定时，曲线的形状由。确定，a越大，曲线越“矮胖”，总体分布

越分散；c越小，曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：

甲乙

知识点!一正态分布

一般地，如果对于任何实数。，伏。<与，随机变量X满足P(

Kx)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数园口和圆◎确定,

因此正态分布常记作NQi,。2),如果随机变量X服从正态分布，则记为X〜N3,

o2).

知识点匚^

3G原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(U—o<XWu+e=®0.6826；

②P(pi—20VxW口+2°)=园0.9544；

③P(u—3o<XWu+3o)=国0.9974.

(2)通常服从正态分布N(p,4)的随机变量x只取理啜一3。，口+3分之间的

值.

H知识拓展

正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数口，◎唯一确定，常记

作N3,W),其中四是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值

去估计，。是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.参

数中。可由正态曲线的对称性求得：正态曲线关于x=H对称，当x=N时达到

峰值J-

Y27ro

理论上可以证明，正态变量在区间也一(5,口+司，(|i—2a,j.i+2o],(p—3o,

口+3。]内的取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974,由于正态分布在(一8,十8)

内取值的概率为1,可以推出它在区间3—2o#+2o|之外的取值的概率为0.0456,

在区间⑴一3°,口+3可之外的取值的概率为0.0026,于是正态变量的取值几乎都

在*=N三倍标准差之内，这就是正态分布的3◎原则.

R自诊小测

1.判一判(正确的打"J"，错误的打"X")

(1)函数(Pm，x)中参数中。的意义分别是样本的均值与方差.()

(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数N，o的变化而变化

的.()

(3)正态曲线可以关于y轴对称.()

答案(1)X(2)X(3)V

2.做一做

13

--Q"

(1)已知正态分布密度函数为f(x)=2几，xd(—8,+oo),则该正态

分布的均值为，标准差为.

(2)设两个正态分布N(同，W)(cn>0)和N(R2,«)(。2>0)的密度函数图象如图

所示，则有用[12,QI02.

(3)在某项测量中，测量结果,服从正态分布N(l,o2)(o>0).若匕在(0,1)内

取值的概率为0.4,则4在(0,2)内取值的概率为.

答案(1)0亚<(3)0.8

解析(1)对照正态分布密度函数f(x)=，

XG(—8,4-CO)f

可得p=0,。=也£

(2)可知N(同，OT),N(p,«)的密度曲线分别关于直线X=|41,X=pi2对称，

因此结合所给图象知同〈同，且N(同，W)的密度曲线较N(w，«)的密度曲线“高

瘦”，因此OI<O2.

(3)可知正态分布N(l,。2)的密度曲线关于直线x=l对称.若1在(0,1)内取

值的概率为0.4,则《在(0,2)内取值的概率为0.8.

卜课堂互动探究

探究1正态分布密度曲线

例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度

函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.

［解］最大值是

段白，所以〃=20.

11

由；解得<7=\[2.

yjlit(T2也

1■一2。/

于是概率密度函数的解析式是叭x)=2,尤e(—8,+

8).总体随机变量的期望是4=20,方差是拉=(6)2=2.

拓展提升

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质性两点：一是对称轴

宗.这两点确定以后,相应参数"“便确定了‘代入%“⑴

x=",另一个是最值

中便可求出相应的解析式.

［跟踪训练1］若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最

大值为志・

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；

(2)求正态总体在(-4,4］上的概率.

解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴

对称，即〃=0.

由虑=忌？得°=4.

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

%.“(z)=—,N£(一8,+8).

4，27r

(2)P(—4<XW4)=P(0—4<XW0+4)=P〃一c<XW〃+a)=0.6826.

探究2利用正态分布求概率

例2若随机变量e服从正态分布N(0,l)，已知P(«—1.96)=0.025,则

P(©<1.96)=()

A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975

［解析］•.•随机变量j服从正态分布N(0,D，得〃=0,其图象关于y轴对

称，二P(|cl<l.96)=1-2P(e<-1.96)=1-2X0.025=0.950.

［答案］C

拓展提升

利用正态密度曲线图象的性质，即正态曲线关于直线对称.

例3已知。〜N(4,f)，且P(2<36)=0.6826,贝U,「(匕一2|<4)

[解析],.飞〜N(4,『)且P(2<：<6)=0.6826,

Ll+(7=6,

二〃=4,结合“3a”原则可知

'.0=1.

•••P(H-2]<4)=P(—2<«6)

=P(-2<e<2)+P(2<4<6)

=1[P(-2<。<10)一P(24<6)]+P(2<《<6)

=1P(-2<*10)+京2<0<6)

=夕。(〃一3(7<jW〃+3<7)+P(//—tr<：W〃+<7)]

=1(0.9974+0.6826)

=0.84.

[答案]20.84

拓展提升

求在某个区间内取值的概率的方法

(1)利用X落在区间(//—<7,〃+可，(//—2<T,//+2(T],(//—3cr,〃+3司内的概率

分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.

(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.

①熟记正态曲线关于直线对称，从而在关于对称的区间上概率相

等.

②P(X<a)=l—P(X2a)；

P(X<〃-a)—P(X〉〃+a).

[跟踪训练2]设J〜N(2,l),试求：

(l)P(l苦W3)；

(2)尸(3GW4)；

(3)P(G0).

解〜N(2,l),二〃=2,<7=1.

(1)尸(14忘3)=〃(2—1<。<2+1)=2(//—。<。或〃+<7)=0.6826.

⑵：P(3<〈W4)=P(0<<W1)

[P(0<jW4)一尸(1<〈W3)]

=2

=3P(jti-2tr<<f</z+2a)一P(/i一+cr)]

=1[0.9544-0.6826]

=0.1359.

(3)：PyW0)=Pe>4),

.\P(e<0)=1[l-P(0<c<4)]

=1(l-0.9544)=0.0228.

探究3正态分布的应用

例4某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70,l()2),如果规定低

于60分为不及格，那么

(1)成绩不及格的人数占总人数多少？

(2)成绩在80〜90分内的学生占总人数多少？

［解］(1)设学生的得分为随机变量X,

则X〜%(70,1。2),其中〃=70,<7=10.

成绩在60〜80分之间的学生人数的概率为

产(70—10<X<70+10)=0.6826,

二不及格的人数占

|x(l-0.6826)=0.1587.

即成绩不及格的学生人数占总人数的15.87%.

(2)尸(70—20<X<70+20)=0.9544,

二成绩在80〜90分内的学生占

1［P(50<X<90)-P(60<X<80)］=0.1359.

即成绩在80〜90分内的学生占总人数的13.59%.

拓展提升

求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法

(1)根据题目中给出的条件确定〃，。的值；

(2)将待求问题向%〃+可，(//—2a,〃+2司，(//—3<7,〃+3司这三个区间

进行转化；

(3)利用上述区间求出相应的概率.

［跟踪训练3］某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)(单

位：cm),质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外

直径为5.7cm,该厂生产的这批零件是否合格？

解由于X服从正态分布N(4,0.52),由正态分布的性质可知，

正态分布N(4,03)在(4—3X0.5,4+3X0.5)内，

即(2.5,5.5)之外的取值的概率只有0.0026.

而5.7在(2.5,5.5),这说明在一次试验中，

出现了几乎不可能发生的小概率事件，

因此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的.

--------------------------------------1沸辘阳

1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.①正态曲线关于直线对称.从而在关于.「=〃对

2.正态总体在某个区间内取值的概率求法：称的区间上概率相等.

(1)熟记P(〃-+•P(〃-20Vx4〃+2a)•②P(XVa)=l—P(X>a),P(XV〃-a)=P(X)〃

P(〃-3aVX&R+3。)的值.+a),

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与z轴之间的.—milntv—/、I-"P(/L」VXV〃+6)

若b</，则P(XV〃-ZO=-------e——匕•

面积为1.

卜随堂达标自测

1.设随机变量X服从正态分布，且相应的函数研尤)=

——+4i-4

e6

A/6TT

,则()

A.〃=2,o=3B.//=3,o=2

C.//=2,o,=y[3D.〃=3,a=小

答案C

---------------e

72^x73

解析由矶x)=,得〃=2,<7=小.故选C.

2.设随机变量X服从正态分布N(2,『),若P(X>c)=a，则P(X>4—c)等于()

A.aB.1—a

C.2aD.1—2a

答案B

解析因为X服从正态分布N(2,4)，所以正态曲线关于直线x=2对称，所

以P(X〉4~c)=P(X<c)=1-P(X>c)=l-a.

3.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X〜N(110,52),据此估计，

大约有57人的分数所在的区间为()

A.(90,100]B.(95,125]

C.(100,120]D.(105,115]

答案C

57

解析:X〜N(ll0,52),.•.〃=]](),(7=5,又而=o.95-p。/—2<7VXW〃+2<7)

=P(100<XW120).

4.如图是三个正态分布X〜N(0,025),丫〜N(0』)，Z〜N(0,4)的密度曲线，则

三个随机变量X,匕Z对应曲线分别是图中的、、.

答案①②③

解析在密度曲线中，a越大，曲线越“矮胖”；a越小，曲线越“瘦高”.

5.在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分

布N(60/00),已知数学成绩在90分以上的学生有13人.试求此次参加数学考试

的学生共有多少人？

解设学生的数学成绩为X,共有〃人参加数学考试，

VX-7V(6O,1OO),，〃=60,a=10.

,P(X>90)=^[1-尸(30<XW90)]=1x(l-0.9974)=0.0013.

1313

又尸(X〉90)=7,.•.%=0.0013,A=10000,

即此次参加数学考试的学生共有10000人.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.设随机变量4服从正态分布M2,9),若PC>c+l)=P《<c—l),则c=()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析解法一：由P0c+l)=Pe<c—1)可知2=(c'+l"(c—D,解得。=2.

解法二：•••P(〈>c+l)=P(0<c—1),

二正态曲线关于x=c对称，又N(2,9),...c=2.

2.已知随机变量X〜N(0』)，则X在区间［-3,+8)内取值的概率等于()

A.0.8874B.0.0026

C.0.0013D.0.9987

答案D

解析尸(X2—3)=；P(—3WXW3)+；=0.9987.

3.设X〜M10O8),则OQX+1)等于()

A.1.6B.3.2

C.6.4D.12.8

答案B

解析；X〜N(10,0.8),/.D(X)=0.8,/.£>(2X+1)=4Z)(X)=3.2.

4.某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正

态曲线如图所示，则下列说法中正确的是()

A.三科总体的标准差相同

B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同

C.丙科总体的平均数最小

D.甲科总体的标准差最小

答案D

解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，。甲〈。乙所故

选D.

5.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在

17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态

分布N也,2,且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5kg小于等于62.5

kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()

058.560.562.5%

A.997B.954

C.819D.683

答案D

解析由题意可知，〃=60.5,(7=2,

故P(58.5<X^62.5)=P(//-<7<X^+<r)=0.6826,从而属于正常情况的人数是

1000X0.6826^683.

二'填空题

6.某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分,

标准差是10分，则该班同学中成绩在70-90分的约有人.

答案33

解析依题意，得"=80,(7=10,

所以P(70<c<90)=PQi-+<7)=0.6826,

所以48X0.6826仁33(人).

即该班约有33人的成绩在70〜90分.

7.设随机变量X〜N(l,22),则y=3X—l服从的总体分布可记为.

答案y〜M2,62)

解析因为X〜ML22),所以〃=葭。=2.

又y=3X-l,所以E(y)=3E(X)—1=3〃-1=2,

D(Y)=9D(X)=62.

：.y-N(2,62).

8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常

工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：

小时)均服从正态分布M1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立，那么该

部件的使用寿命超过1000小时的概率为.

元件1

元件3

元件2

答案i3

O

解析设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,