高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 　分类变量与列联表

列联表与独立性检验

1.为考察A,B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:

1

9

O.S

O..8

O..7

S.6

S.54

S

O..32

O.J

O

根据图中信息,在下列各项中，说法最佳的一项是（）

A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果

B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果

C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果

D.药物A,B对该疾病均没有预防效果

2.（多选题）下列说法正确的是（）

A.事件A与B独立,即两个事件互不影响

B.事件A与B关系越密切，则x,就越大

C.x2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据

D.若判定两事件A与B相关,则A发生B一定发生

3.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名

中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（）

表1

不及格及格合计

男61420

女102232

合计163652

表2

好差合计

男41620

女122032

合计163652

表3

偏高正常合计

男81220

女82432

合计163652

表4

丰富不丰富合计

男14620

女23032

合计163652

A.成绩B.视力C.智商D.阅读量

4.有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示,

Y,Y2

X,a20-a

15-a30+a

x2

其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X,Y有关,则a

的值为（）

A.8B.9C.8或9D.6或8

5.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算x2=7.63,根据这一数据分析,

是否有99.9%的把握说,打鼾与患心脏病是有关的:.（填“是”或“否”）

6.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到x2弋3.852>3.841,则判断性别与是否爱好运

动有关,那么这种判断犯错误的可能性不超过.

7.为了调查胃病是否与生活规律有关,在某地对540名40岁以上的人进行了调查,结果是:患

胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人,未患胃病者生活不规律的共260

人,未患胃病者生活规律的共200人.

⑴根据以上数据列出2义2列联表；

（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关

系?为什么？

8.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1〜8号8扇大门,依次按响门上的门铃,

门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这

首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分

为两个年龄段:20〜30;30〜40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.

⑴写出2X2列联表；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系?说明你的理

由.（下面的临界值表供参考）

a0.10.050.010.005

X.2.7063.8416.63517.879

扩展练习

1.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验（）

A.H。：男性喜欢参加体育活动

B.H。:女性不喜欢参加体育活动

C.%:喜欢参加体育活动与性别有关

D.H。:喜欢参加体育活动与性别无关

2.用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关,观察下列各图,其中两个分类变量关系最强

的是（）

3.某校在两个班进行教学方式对比试验,两个月后进行了一次检测,实验班与对照班成绩统计

如下表所示(单位:人)：

80及80分以上80分以下合计

实验班351550

对照班20m50

合计5545n

(1)m=,n=;

(2)根据表中数据得到的结论是.

4.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在［29.94,30.06)的零

件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸，得结果如下表：

甲厂：

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分组

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

频数12638618292614

乙厂:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分组

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

频数297185159766218

(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为

(2)有的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

5.近年电子商务蓬勃发展,2020年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民

币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200

次成功交易，并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,

其中对商品和快递都满意的交易为80次.

(1)根据已知条件完成下面的2X2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下

认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.

对快递满意对快递不满意合计

对商品满意80

对商品不满意

合计200

(2)为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查,详

细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访,听取购物者意

见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.

2

n(ad-bc)

附：X9=，,T(其中n-a+b+c+d为样本谷量)v

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg")0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

6.为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在20:00〜22:00时间段的休闲方式

与性别的关系，随机调查了该社区80人,得到下面的数据表:

看电视看书合计

男105060

女101020

合计206080

(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“在20:00〜22:00时间段

居民的休闲方式与性别有关系”？

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人,设调查的3人在

这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X,求X的数学期望和方差.

参考答案

1.为考察A,B两种药物预防某疾病的效果,进行动物试验,分别得到如下等高条形图:

根据图中信息,在下列各项中，说法最佳的一项是（）

A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果

B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果

C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果

D.药物A,B对该疾病均没有预防效果

分析：选B.从等高条形图可以看此服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比

例大得多，预防效果更好.

2.（多选题）下列说法正确的是（）

A.事件A与B独立,即两个事件互不影响

B.事件A与B关系越密切，则x,就越大

C.x2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据

D.若判定两事件A与B相关,则A发生B一定发生

分析:选AB.由事件的独立性知,A选项正确；由独立性检验的意义知,B选项正确；x2的大小是

判定事件A与B是否相关的一种方法,不是唯一依据,C选项不正确;若事件A与B相关,则A

发生B可能发生,也可能不发生,D选项不正确.

3.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名

中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（）

表1

不及格及格合计

男61420

女102232

合计163652

表2

好差合计

男41620

女122032

合计163652

表3

偏高正常合计

男81220

女82432

合计163652

表4

丰—4—•曷，.-1-，不丰富合计

男14620

女23032

合计163652

A.成绩B.视力C.智商D.阅读量

2

八厂、，)

分w析：选>„D.因为乃o六-5-2-X-(-6-X-2-2---1-4-X-1-0--

116X36X32X20

52X82

16X36X32X20'

22

952X(4X20-16X12)52X112

X2--1-6-X-36-X-3-2X-2-0--1-6-X-36-X-3-2X20'

2

)52X962

修52X(8X24-12X8

16X36X32X2016X36X32X20'

2

M_5_2X_(_14_X_30_-6_X_2)_52X4082

16X36X32X2016X36X32X20'

则有;抬＞晨＞后，

所以阅读量与性别有关联的可能性最大.

4.有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示,

Y）Y2

X.a20-a

15~a30+a

x2

其中a,15-a均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X,Y有关,则a

的值为（）

A.8B.9C.8或9D.6或8

分析：选C.根据公式，得

265x[a（30+a）-（15-a）（20-a）]

x=-------------------------

20X45X15X50

i3x（13a-60）

=＞3841,根据a〉5且15-a＞5,aeZ,求得当a=8或9时满足题意.

20X45X3X2

5.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算xJ7.63,根据这一数据分析,

是否有99.9%的把握说,打鼾与患心脏病是有关的:.（填“是"或“否"）

分析：因为xJ7.63〈10.828=x。.孙，

因此,没有99.9%的把握说,打鼾与患心脏病是有关的.

答案:否

6.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到x2g3.852＞3,841,则判断性别与是否爱好运

动有关,那么这种判断犯错误的可能性不超过.

分析:因为P（x223.841）-0.05.

所以判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%.

答案：5%

7.为了调查胃病是否与生活规律有关,在某地对540名40岁以上的人进行了调查,结果是:患

胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人,未患胃病者生活不规律的共260

人,未患胃病者生活规律的共200人.

（1）根据以上数据列出2X2列联表；

⑵在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关

系?为什么？

分析：⑴由已知可列2X2列联表：

患胃病未患胃病合计

生活规律20200220

生活不规律60260320

合计80460510

(2)根据列联表中的数据，由计算公式得

/、2

2540X(20X260-200X60)

X仁9.638>6.635=x.ob

220X320X80X460o

因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关.

8.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1〜8号8扇大门，依次按响门上的门铃,

门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这

首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分

为两个年龄段:20〜30;30〜40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.

⑴写出2义2列联表;

(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系?说明你的理

由.(下面的临界值表供参考)

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

分析：(1)根据所给的二维条形图得到列联表:

正确错误合计

20〜30岁103040

30~40岁107080

合计20100120

/、2

/\皿31宣、上士”，人"33、56m2120X(10X70-10X30)

(2)根据列联表所给的数据计算得x=------------------=3>2.706=x,

20X100X40X80ol

所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系.

扩展练习

1.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验()

A.H。:男性喜欢参加体育活动

B.%:女性不喜欢参加体育活动

C.H。:喜欢参加体育活动与性别有关

D.H。:喜欢参加体育活动与性别无关

分析：选D.独立性检验假设有反证法的意味,应假设两类变量(而非变量的属性)无关,这时的

xz应该很小,如果xz很大,则可以否定假设,如果x2很小,则不能够肯定或者否定假设.

2.用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关,观察下列各图,其中两个分类变量关系最强

的是

nxi

COx2

分析：选D.由等高条形图易知,D选项两个分类变量关系最强.

3.某校在两个班进行教学方式对比试验,两个月后进行了一次检测,实验班与对照班成绩统计

如下表所示(单位:人):

80及80分以上80分以下合计

实验班351550

对照班20m50

合计5545n

(l)m=n=

(2)根据表中数据得到的结论是.

分析：(l)m=45-15=30,n=50+50=100.

2

.、.…w2100x(35X30-15X20)

(2)由表中的数据得x三-------------------9.091.因为9.091>7.879,

50X50X55X45

所以有99.5%的把握说“教学方式与成绩有关系”.

答案：(1)30100

⑵有99.5%的把握说“教学方式与成绩有关系”

4.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在［29.94,30.06)的零

件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸，得结果如下表：

甲厂:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分组

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

频数12638618292614

乙厂:

[29.86,[29.90,[29.94,[29.98,[30.02,[30.06,[30.10,

分组

29.90)29.94)29.98)30.02)30.06)30.10)30.14)

频数297185159766218

(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为—、―；

(2)有的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

分析：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为

500

320

乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为一二64%

500

甲厂乙厂合计

优质品360320680

非优质品140180320

合计5005001000

P

,1000X(360X180-320X140)

X2=------------------------F.35>6.635,

500X500X680X320

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

答案：(1)72%64%(2)99%

5.近年电子商务蓬勃发展,2020年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民

币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200

次成功交易，并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为0.70,对快递的满意率为0.60,

其中对商品和快递都满意的交易为80次.

（1）根据已知条件完成下面的2义2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下

认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.

对快递满意对快递不满意合计

对商品满意80

对商品不满意

合计200

⑵为进一步提高购物者的满意度,平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查,详

细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访,听取购物者意

见.求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率.

2

附：'2"鬻咒）…（其中……为样本容量）

2

P(x^x(1)0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

分析：⑴2X2列联表：

对快递满意对快递不满意合计

对商品满意8060140

对商品不满意402060

合计120