高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 10 复数 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题10复数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2019•全国•高三竞赛）在复平面上，满足|z-l|6+|z-l-2i|=2|z|的点z的轨迹是

（）.

A.圆B.椭圆

C.一段圆弧D.双曲线

2.（2020•北京•高三强基计划）设a,b,c,d是方程/+21+3/+4x+5=0的4个复

490

A.一1B.--C.—D.前三个答案都

J。

不对

3.（2020•北京•高三校考强基计划）已知复数A*?在复平面内对应的点为ZrZ”。为

坐标原点.若㈤=l,5z；-2z后+名=0,则OZ£的面积为（）

A.1B.石C.2D.2小

4.（2020•北京•高三强基计划）已知复数z满足!」+且i,则z—zs,.高。2。中不同

z22

的数有（）

A.4个B.6个C.2019个D.以上答案都不

正确

二、多选题

5.（2020•北京•高三校考强基计划）设复数z满足|3z-7i|=3,令马=［。+2,贝

Z-1+1

的（）

Q7

A.最大值为］B.最大值为:

C.最小值为?D.最小值为彳

6.（2020•北京•高三校考强基计划）已知/。）=210+2-'°+3卜5+2-5）,则（）

A..f（z）=O存在实数解

B.f（z）=O共有20个不同的复数解

C./（z）=0的复数解的模长都等于1

D./（z）=0存在模长大于1的复数解

7.（2020•湖北武汉•高三统考强基计划）设卬4是非零复数，它们的实部和虚部都是非

ki+z|

负实数，则^2^（）

A.最小值为&B.没有最小值C.最大值为2D.没有最大值

8.（2020•湖北武汉•高三统考强基计划）设复数z的实部和虚部都是整数，则（）

A.z2-z的实部都能被2整除

B.z3-z的实部都能被3整除

C.z4-z的实部都能被4整除

D.z$-z的实部都能被5整除

三、填空题

9.（2018・辽宁福三竞赛）设〃、13均为实数，复数4=限-1+（由-4与4=2-64+初

的模长相等，且4名为纯虚数，则a+b=.

10.（2019•全国•高三竞赛）已知虚数4、Z2满足匕12|=百，z：+Z1+q=0,

z；+Z2+q=0.则实数q=.

11.（2022•广西•高二统考竞赛）若复数z满足与-访=l+i,则z的虚部为

12.（2019•全国•高三竞赛）复平面上动点

/cosO-sin。2一八，34，二、十…

Z----------------。七R,。/kjv+—,A:eZ的轨迹方程为____________.

Icosg+sin夕cos^4-sin0）\4）

—2z+4

13.（2020•江苏•高三竞赛）已知复数z满足|z|=l,则z_[_£的最大值为

20,020102010

14.（2019•全国•高三竞赛）设f（x）=力3+之次,其中,

A=0%=0

670

4、bkWR,k=G,l,,2010.则Z（%人+怎）=

*=0

15.（2019•全国•高三竞赛）设％是复数，关于x的一元二次方程V+区-/=（）的两个复

数根为％、*2.若药+2石=3贝必=

16.（2021•浙江•高二竞赛）设复数z=x+yi的实虚部x,y所形成的点（x,y）在椭圆

H+t=l上.若三1sl为实数，则复数z=.

916z-i

17.（2022•福建•高二统考竞赛）已知复数4、z?在复平面上对应的点分别为A、8,且

闵=2,Z；-2Z,Z2+4Z；=0,。为坐标原点，则AOAB的周长为.

18.（2019•全国•高三竞赛）已知正实数a、b满足/+k=25仅＞3）,复数“、队w满足

w=a+bi,u-w=3v,若忖=1,那么，当"的辐角主值最小时，乜的值为.

W

..iz„

19.（2019•全国•高三竞赛）复数列z0,z”…满足闻=1,z„+1=^.^z201l=l,则z°可

Zn

以有种取值.

20.（2021•浙江•高三竞赛）复数4，Z2满足闵=㈤=3,|Z,-Z2|=35/3,则

21.（2021•全国•高三竞赛）设复数满足团=冈=肉|=2,则至1士咨上L

22.（2021•北京•高三强基计划）已知复数z满足zE=l,z+z,°-zU=zT+zT0-z。则

满足条件的z有个.

四、解答题

cosx+cosy+coszsinx+siny+sinz_、

（•全国•高三竞赛）已知sin(x+y+z)"求

24.2018cos(x+y+z)

cos(y+z)+cos(z+x)+cos(x+y)的值.

25.（2019•全国•高三竞赛）已知。、b、。是互不相等的复数，满足破cwO,

丝^=2上=士.求证：|/叫=|从叫=H叫.

a-bb-cc-a111111

26.（2019•全国•高三竞赛）设产=7.证明：012cot?-cot今+i）为纯虚数.

27.（2021•全国•高三竞赛）设aeR,夕€[0,2]），复数

Zj=cose+isine,Z2=sine+icose,Z3=a(l-i).求所有的使得Z］、z2、Z3依次成等

比数列.

28.（2019•全国•高三竞赛）设*=｛1,2,,/?）,其中。为质数.对X的一个子集A,如

果A中所有元素的和（空集的元素和规定为0）为2的倍数，则称A是X的一个“倍子

集”.试求X的所有倍子集的个数S.

29.（2021•全国•高三竞赛）设4Q，2202。和件明，，吗回为两组复数，满足:

20202020

Z㈤•求证：存在数组佃■，，%）（其中£”｛-1,1｝）,使得

1=11=1

202()2020

30.（2021•全国•高三竞赛）设｛为｝、｛七｝是无穷复数数列，满足对任意正整数〃，关于

X的方程+的两个复根恰为X”、X用（当两根相等时Xa=X“M）.若数列

｛闻｝恒为常数，证明:

（!）|#2；

（2）数列｛a,J恒为常数.

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题10复数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2019•全国•高三竞赛）在复平面上，满足|z-l|石+|z-l-2i|=2|z|的点z的轨迹是

（）.

A.圆B.椭圆

C.一段圆弧D.双曲线

【答案】C

【详解】设4（0,0）、8（1,0）、C（l,2）,z对应的点为z.由|z—l|&+|z-l-2i|=2|z|,

可得ZB-AC+ZCAB=ZABC.

由托勒密逆定理知，Z的轨迹为AABC外接圆上不含点A的那一段8C.

故答案为C

2.（2020•北京•高三强基计划）设。，b,c,d是方程/+2x3+3x2+4x+5=O的4个复

根,则----+-----+-----+-----）

。+2"2c+2d+2

402

A.—B.—c.-D.前三个答案都

33

不对

【答案】A

【分析】利用换元法将原方程转化为高次方程，再结合高次方程的韦达定理可求代数式

的值.

【详解】法1：设"=±N，则。=一”?，

类似的，定义

则必〃是方程卜答j+2卜等j+3）含J+4（.等卜5=。，

即（2*+1）4-2（2》+1）3（》-1）+3（2》+1）2（》-1）2-4（2犬+1）（彳-1）3+5。-1）"=0的4个复

根，

方程左侧中一的系数为16-16+12-8+5=9,

/的系数为23C：-2（-8+C；X22）+3（-8+4）-4（-2X3+1）-5X4=12

根据韦达定理，有a'+//+c'+/=—]12=-；4.

法2：题中代数式也即4-3(—二+3+—二+7二］,

l〃+2h+2c+2d+2J

因此。+2,Z?+2,c'+25+2是关于x的方程(x—2)，+2(x—2)3+3(x—2)~+4(x—2)+5=0,

即xJ6/+15/一16x+9=0的4个复根，

故」，工,一为方程l-6x+15d-I6d+9/=0的4个复根，

a+2b+2c+2d+2

』111116

a+2h+2c+2d+29

原式为4_3x1?6=_不4

y3

故选：A.

3.（2020•北京•高三校考强基计划）已知复数马*2在复平面内对应的点为Z1,Z2,。为

坐标原点.若㈤=l,5z；-2挹+1=0,则。4%的面积为（）

A.1B.GC.2D.26

【答案】A

【分析】利用复数乘法的几何意义可求，。44的面积.

【详解】根据题意，有4-Z2=±z「2i,故Z2=z「（l±2i）,

L2

故Z2可看出由4旋转并伸长为逐倍后所得，且旋转角的正弦值的绝对值为存，

故S/gZiZ?=]X1•石X石=1

故选：A

4.（2020•北京•高三强基计划）已知复数z满足，=1+33则z,z2,zj/初。中不同

Z22

的数有（）

A.4个B.6个C.2019个D.以上答案都不

正确

【答案】B

【分析】根据复数的三角形式可求Z6=l，从而可判断出不同的数的个数.

【详解】根据题意，有2=3-等1=8S（-5）+15访（一事）=>26=1,

于是Z/2,z3,…,Z202。中有6个不同的数.

故选：B.

二、多选题

5.(2020・北京・高三校考强基计划)设复数2满足|32-7讨=3,令4=会必出，则团

z-1+i

的()

A.最大值为gB.最大值为:

C.最小值为?D.最小值为彳

【答案】AD

【分析】利用复数差的几何意义可求㈤的最值

7

【详解】根据题意，有z-§i=l,且z=z-(l+i),

于是㈤为以点(0,1)为圆心，1为半径的圆上的点到点(1,1)的距离，

「

其取值范围5是5+11,因此㈤的最小值为：o，最大值为奇e.

故选：AD.

6.(2020•北京•高三校考强基计划)已知加)=21°+2-1°+；卜5+2-5),则()

A.f(z)=o存在实数解

B./(z)=0共有20个不同的复数解

C./(z)=0的复数解的模长都等于1

D./(z)=0存在模长大于1的复数解

【答案】BC

【分析】设z5+z-5=f,利用换元法可求得z5='±J4一产i,从而可判断/Xz)=0的20

2

个复数解的模都是I.

【详解】设Z5+Z-5=,则即+ZT°+；(Z5+ZT)="+$_2,

于是f(z)=0nf=*叵，这两个,的取值都在区间(-2⑵内.

4

故z5+Z-5=f有解z$=生反三三

2

因此/(z)=0有20个不同的复数解.

“，-1士屈H,15/±"-内frY(J4T2Y

当1=-------时，由十|z「=---------=J-+-------=1,

42]⑶[2J

因此/(z)=0的复数解的模长都等于1.

综上所述，选项BC正确.

故选：BC.

7.（2020•湖北武汉•高三统考强基计划）设卬％是非零复数，它们的实部和虚部都是非

U|+Z2|

负实数，则（）

A.最小值为&B.没有最小值C.最大值为2D.没有最大值

【答案】AD

【分析】在复平面内（。为坐标原点），设复数Z»Z2，Z1+Z2对应的点分别为

|z+zl

A,B,C,NAOB=»,利用复数的几何意义及向量的加法和平面向量数量积，将十t斤2进

|z,+Z2|

行等价变形，然后结合已知条件及均值不等式即可判断的最值情况.

【详解】解：在复平面内（。为坐标原点），设复数Z“Z2，Z1+Z2对应的点分别为

A,3czAO8=6,

因为卬Z?是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数,

OAOB\

又由均值不等式有H----r>2,当且仅当网=画时等号成立,

OBOA\

OAOB

所以----++2cos”夜，当且仅当网=画，且6（比如4=1，z?=i）时

OBOA

等号成立.

故选：AD.

8.（2020•湖北武汉•高三统考强基计划）设复数z的实部和虚部都是整数，则（）

A.z2-z的实部都能被2整除

B.z3-z的实部都能被3整除

C.z4-z的实部都能被4整除

D.z5-z的实部都能被5整除

【答案】BD

【分析】设z=a+6i分别计算出z2,z3,z4,z5代入化简即可.

【详解】设z=a+友则

z2=a2-b2+2abi

z3=a3-3ab2+（3a2h-^）i

z4=a*-6a2h2+b4+4（a6-a//）i

z5=a5-10a62+5曲*+（5a4。-1Oa2b3+h5）i

z2-z=«2-a-b1+（2ab-t＞）i=a[a-^）-b1+（2ab-t＞）i

a（a-l）uj以被2整除，当人为奇数时a（a-l）-〃不能被2整除，故排除A.

因为z3—z=a3“-3加+（3”%-"一中，由费马小定理得"一°能被3整除，故B对.

24—2的实部为/—64%2+//—。，当公。为奇数时+//*—“也为奇数，故不能

被4整除，C排除.

z5—z的实部为"-a-lOa3b2+54^,由费马小定理/一。能被5整除，故

a5-a-10a%2+5a/能被5整除，故D对.

故选：BD

三、填空题

9.（2018•辽宁•高三竞赛）设。、b均为实数，复数4=瓜-1+由-b）i与z『2-&i+bi

的模长相等，且％W为纯虚数，则a+b=.

[答案】6±1

z.z.—z,.\j3ci—1—~b

【详解】由题设知」=1,且」=Z|Z2为纯虚数，故-^=±，.因此y或

z?ziz2[v3—b=2-\/3a.

4?＞a-\--b.解得a=h=或”=〃=2/I±l,故a+0=6±L

y/3-h=43a-2.22

故答案为G±1

10.（2019•全国•高三竞赛）已知虚数4、Z2满足k-Z21=百，z；+Z1+g=O,

z；+Z2+q=0.则实数4=.

【答案】1

【详解】由|Z]-Z2|二G，知Z|WZ2.

乂由方程解的定义知，Z]、Z2是二次方程/+工+夕=。的两个虚根，则有

A=l-4^<0.

解方程得4.2=T±y.

于是，1—卜=技解得<7=1.

故答案为1

11.（2022•广西•高二统考竞赛）若复数z满足近-五=l+i,则z的虚部为.

【答案】。或1

【详解】设2=。+从,则5=

设（4+硝（a-bi）-i（a-历）=l+i,

=〃+〃一。一5=1+i,

2

=>a=—},b—b=0f

=b=0或1,

故答案为：。或1.

12.（2019•全国•高三竞赛）复平面上动点

/cos®-sin62■八73711n

Z---------------,----------------+—,ZwZ的轨迹方程为

IcosJ+singcos0+sin04

2

【答案】尸=1

2

【详解】注意到x'M'V4v

小则与一"

»2_2z+4

13.（2020•江苏•高三竞赛）已知复数z满足m=1,则]_]_©的最大值为

【答案】3

【详解】解析：由题意可得

Z2-2Z+4(Z-1)2+3(z-l)2-3i2,舟

----------7=-=----------/=-=-=2-1+731,

z-1—V3iz—l—y/3iz-1—V3i

则|z-l+后卜卜-(1-刊表示复平面上点z到的距离.

z?-2z+4

如图所示，C（l,->/3）,由此可得上|zq<3.故的最大值为3.

z-l-6i

故答案为：3.

14.（2019•全国•高三竞赛）

670

ak.bkeR,k=0,l,,2010.则2(%«+怎)=

k=Q

【答案】-2x3,004

(上.产°(X.\20102010金

【详解】注意到/(x)=x+e3=l+e)xZ&io'.e3，

k)V)*=0

670

所以2砥=0,旦

hO

故答案为-Zx/14

15.（2019•全国•高三竞赛）设&是复数，关于x的一元二次方程/+依-：=0的两个复

数根为玉、%.若玉+2只=%,贝必=.

【答案】0或力或-力

22

【详解】因为%+5-；=0,所以，

%2+——%2=0.

从而，W=-点;+]“2

代入石+2石=2,得

x}+（2父+1）犬2-A=k

2

=>—k+2kx2=2Z=（2您-3）%=0

3

=A=0或x?=（当时）.

2k

31

当ZHO时，把电=一代入京+履,--=0,

2k-'2

得397+士3一1上=0.

4/22

解得A=±亨3.

3

综上所述，左=0或±5八

故答案为0或力3或-力3

22

16.（2021•浙江•高二竞赛）设复数z=x+yi的实虚部x,y所形成的点（X,），）在椭圆

《+亡=1上.若三三为实数，则复数z=______.

916z-i

【答案】8叵+i或一主叵+i.

44

2—1—i10/ic

【详解】由一-=1——:--，所以y=l,则工=±任三,

z-ix4-（y-l）i4

所以z=Ml+.z=—MI+i

44

故答案为：z=+i或z=+i.

44

17.（2022•福建,高二统考竞赛）已知复数4、Z2在复平面上对应的点分别为且

|zj=2,z；-2Z]Z2+4z；=（）,。为坐标原点，则△045的周长为.

【答案】3+百

/\2

【详解】由Z；-2ZK+4Z；=0,得义-2・五+4=0,所以五=l±6i,

⑴Z2Z2

所以Z|=（l土后）Z2,|zj="土向）zj=2㈤，

又|zj=2,所以上卜1,匕-Z2|=|（1±"）Z2-Z2卜6忆|=6,

所以△OAB的周长为3+百,

故答案为：3+6.

18.（2019•全国•高三竞赛）已知正实数。、人满足/+从=25（b>3）,复数〃、八卬满足

w=a+bi,u-w=3v,若忖=1,那么，当"的辐角主值最小时，巴的值为.

W

■

【详解】由M=l,知|“一W=3|v|=3,

于是，在复平面上，“对应的点P在以卬对应的点M为圆心、3为半彳仝的圆C匕

当“的辐角主值最小时，O尸与圆C相切，而|0M|=5,|PM卜3,则|凶=4,

M5

于是,问一="

iv43

而一的辐角正值夕=NP。例，又cos6=—,sin6==,

u55

,,iz„

19.（2019•全国高三竞赛）复数列z0,马,…满足闻=1,z„==.^z=l,则z°可

+1z“20H

以有种取值.

【答案】22011

【详解】显然，对任意的非负整数〃均有|z.|=l.

设z“=*(q,«0,2万)).则

仔%)

匹=彳叱=%'=地4

n小5=2(%+£|=-2”„.

由"“=1,得名)“=24万(ZeZ),即2刈，4+?=2觊+].

由qe[0,2》），得2削,才42氏+/<22°隈5/

220,,-15*)20111

=-----<k<"2T^>22W)<k<5x22009

44

因此，满足条件的乙共有5、22期-Z200、？?。“（个）.

故答案为2刈1

20.（2021•浙江•高三竞赛）复数4,Z2满足团=冈=3,|Z|-Z2|=3^,则

卜团'°+匕可°=—.

【答案】3”

【详解】如图所示，设卬々在复平面内对应的点分别为Z1,Z”

由已知得|OZj=\OZ2\=3,|Z,-Z2|=3y/3,

由余弦定理得向量函西所成的角为学

不妨设Z1=3(cos^+zsin^),zcos(6^+-^-

2+"夕+到

z=3(cos+；sin(-^)),z=3cos-0-27r+zsin[-6>-—

}2I3

2乃..2乃

Zjz=9coscos----i-zsin——

233

cos驷+isin驷

2cos

33

I=320X2XCOS=320*2xcos—=320

33

io

=320

Z[Z?IZ3IZ3Z]

Z3满足团=%|=肉|=2,则

21.（2021•全国•高三竞赛）设复数4、z12、

z,+z2+z3

【答案】2

Z\Z2Z31+1+1

Z]Z2+Z,Z]+Z3Z|_4Z?Z3)

【详解】解析:11=2.

4z,+z2+z3

Z|+Z2+Z3Z|+Z+Z3

故答案为：2.

22.（2021•北京•高三强基计划）己知复数z满足+则

满足条件的z有个.

【答案】1

【分析】将题设中的方程化为（1-Z乂1-21°乂1-2“）=0,再根据10,11均与111互质可

得满足条件的Z的个数.

【详解】根据题意，有=

于是立一1乂1"。）=3—1乂1—7。）,

因此2"(2-1)(1-21°)=(1-2)卜'°-1),

从而(1-zXl_zi°)(l_z”)=O,

注意到10,11均与111互质，因此满足条件的Z只有1个，为Z=L

故答案为：1.

23.（2021•全国•高三竞赛）已知实数x、y满足，贝！］x=

【答案】上

16

【详解】解析：令五=〃，6=v,则

5-3y/3i

4

.u-vi5-3615-3y/3i/人.、

<=>W4-V1+———=-------OZ+-=--------(令Z="+1U)

v+V?4Z4

<=>z=1-y/3i(舍)或7=1+后=%=_!_y=

41616

故答案：—.

10

四、解答题

cosx+cosy+coszsinx+siny+sinz

（

24.2018•全国•高三竞赛）已知cos(x+y+z)sin(x+y+z)="求

cos(y+z)+cos(z+x)+cos(x+y)的值.

【答案】0

【详解】令5=*+丁+2.

乂e"=cosx+isiax,en=cosy+zsiny,e12=cosz+zsinz.则

e"+eiy+e,z=(cosx+cosy+cosz)+i(sinx+siny+sinz)=々cos(x+y+z)+iasin(x+y+z)

==aeiS-

同理,/z=q/s.

故

a+z)+*+x)+&+y)=”ST)+/"，)+/(Sr)=*k*+ef+二)=4四蚤)=加SF=Q

则[cos(x+y)+cos(x+z)+cos(y+z)]+i[sin(x+y)+sin(x+z)+sin(y+z)]=a.

所以,cos(x+y)+cos(x+z)+cos(y+z)=a且sin(x+y)+sin(x+z)+sin(y+z)=O.

25.(2019•全国•高三竞赛)已知。、b、。是互不相等的复数，满足"。工0,

a+bb+c

----=----(.求证：忙叫=产?=H叫.

a-bb-c

【答案】见解析

【详解】由已知条件知，复数。、b,c两两不等，且皆不为0.对题中比例式用合比、

分比可得

abc

一=-=一.

bca

设％=，=2=£工1,贝b=ak2,a=ak3­

bca

但"0,故左3=1(但心1),有『叫=|(以片卜|产7喈叫

=.叫『669卜K2哪/门=卜2叫.

同理，|*7卜忙叫.

因此，|消'小由卜厂叫.

26.(2019•全国•高三竞赛)设产=-1.证明：口[281?-<；。1/+，为纯虚数.

【答案】见解析

【详解】首先证明：若，2=—1,则口(x-coq)W[(x-z)”_(x+i)[①

令p(x)=q[(x-i)"-(x+i)[.

则P(x)是一个次多项式，其首项系数为([C：(7)-&]=1.

k冗

又当无=cot——(1<&W〃-1)时，

n

=(I>

所以，尸(cot?)=0.

由因式定理得P（x）=

在式①中令x=2cot%+人则

n

命题获证.

27.（2021•全国•高三竞赛）设」eR,6e[0,2万）,复数

21=cos6+isin仇Z2=sin8+icose,Z3=a(l-i).求所有的(4,。),使得由、z2、Z3依次成等

比数列.

【答案】答案见解析

【详解】因为Z]Z3=z；,所以：6f(l-0(cos+isin^)=(sin+icos0^,

整理得：〃(cos。+sin9)+。(sin8—cos6?)i=sin20-cos28+2isin^cos0,

一J6f(cos+sin^)=(cos0+sin^)(sin0-cos

1一cos。)=2sin〃cos6.

(1)cos0+sin0=O=>^=—,

44

”学时，代入得〃=-也；

42

时，代入得〃=正；

42

(2)若cose+sinewO,则有：

(sin6-cos6)2=2sin6cos6=tan26-4tan9+l=0,

故tan6=2±G,故夕的值为专或工或或

对于的。分别为-也、也、也、-也，

2222

故所有的①,。)为：

友乃应万](应

Y72313^-yx/217^-Y-JI7兀

V'TT八V'V

28.（2019•全国福三竞赛）设*={1,2,,p},其中。为质数.对X的一个子集A,如

果A中所有元素的和（空集的元素和规定为0）为。的倍数，则称A是X的一个“倍子

集”.试求X的所有倍子集的个数S.

2,〃=2；

【答案】S=<1

（20+2p-2）,p为奇质数

.P

【详解】当P=2时，X={1,2},此时，X有2个倍子集：0、{2},所以，5=2.

/,2

当p>2时，P为奇质数，令〃x）=（l+x）（l+x2）（l+x）=670+a1x+t72x++a,,/"

考察X={1,2,,p}的元素和为f的所有子集的个数.

当t>0时，它就是不定方程4+J+…+i,=t的正整数解（，片4,2V<i,）的

个数，也就是f(x)的展开式中X’的系数可；

当t=0时，其和为f的子集只有空集，子集的个数为1=%.

所以，X的所有倍子集的个数，就是/(x)的展开式中那些次数为P的倍数的项的系数

和，即5=%+册+%7,+.

52%..2万

设g=cos——+isin——

PP

当〃是。的倍数时，1+0"+疗"++0(尸')"=夕：

当〃不是P的倍数时，有1+4+疗"++小1)"」-(〃)=0.

\-CDn

n

于是，由/(x)=%+qx+4x2++amx',

得〃1)+/(。)+/(疗)++/(/)

2o4

=%+4+凡++ciin+。()+。［①+ci^co~+,■+a+a()+ci^co~+ci^co++cinico~

++4+40-'+«26y*'I)+…+4M

=P(4+<+%>+)=PS.

又〃力=(+/(1+炉)(l+x)则〃l)+f®)+/®2)++/"-)=

2%Z中储)

其中，=(l+〃).

注意到当&=1,2,，p-1时，注p)=l,所以，£2匕，原是模P的完系.而〃皿=力,

则疗,疗"，M/是。，疗，，”的一个排列.故

/(ft/)=(1+。乂1+6)(1+"),

&=1,2,,p-l.又x〃-l=(x—4(x—疗)(x—/)，而P为奇数，取x=—I,得

(l+69)(l+(y2)(1+")=2.

故/®)=(l+<y)(l+4)(1+")=2,Z=l,2,,p-l.

则/⑴+/(◊)+/(疗)++/3.)=2，'+工，二：/(.)=2"+工窗2=2。+25-1)

比较两式的右边得海=2。+2("-1).

故S="(2，+2p-2),p>2.

2,p=2；

综上‘S='；QP+2p-2),p为奇质数.

29.（2021•全国•高三竞赛）设Z/2，*2020和吗，吗，，股120为两组复数，满足:

20202020

求证：存在数组（4尼，，*）（其中£”{-1,1}）,使得

f=l1=1

20202020

X£izi>EjWj

<=1/=1

【答案】证明见解析

【详解】用，Z/佃，々，，%）表示对所有数组（小0，％）的求和，卜面用数学归

（£11,42，,£„）

纳证明如下的等式：

E|^+^2++£.zj=2"为z/①

(自如*=1

(1)当〃=1时，①式显然成立；

当n=2时二

22