高中数学空间向量运算的坐标表示专项练习

高中数学空间向量运算的坐标表示专项练习

课1检测:固双基

1.下列向量中与向量。=。1,0)平行的向量是()

A.6=(1,0,0)B.c=(0,-1,0)

C.d=(-1,-1,1)D.e=(0,0,-1)

2.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(%+b>(a+财=2,则%的值等于()

A.1B.7

C.|D.1

3.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两点4122),8(2,-2,1),

则|4引=()

A.18B.12

C.3^2D.2小

4.已知空间三点0(0,0,0),A(-1,1,0),仇0,1,1),若直线OA上的一点H满足BHLOA,

则点，的坐标为-.

5.已知向量a=(2,-1,-2),8=(1,1,-4).

⑴计算2a-38和12a-3b\.

⑵求(a,b).

素养作业•提技能

A组素养自测

一、选择题

1.已知向量a=(2,3,1),&=(1,2,0),则|a-b|等于()

A.1B.小

C.3D.9

2.已知a=(1,2,-y),b=(x,l,2),且(a+2b)〃(2a-b),则()

A.x=；,y=lB.x=^/y=-4

C.x=2,y=-D.x=1,y=-1

3.(2020•福建省南平市高二期末)在空间中，已知屈=(1,-1,0),D&=(-1,0,1),则

异面直线AB与OC所成角的大小为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

4.已知点A(1,-2,11),8(4,2,3),C(6,-1,4),则"BC的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.(多选题)已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,a_Lb,贝！|x+y的值是(CD)

A.3B.-1

C.-3D.1

二、填空题

6.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),〈a,3)=120。，则&=____.

7.若向量a=(2,-3,1),Z>=(2,0,3),c=(0,2,2),则a(b+c)=.

8.已知a=(l,-2,1),Z>=(3,0,5),c=(0,0,z),若a。-c)=0,贝！H=__.

三、解答题

9.已知点A(2,3,-1),5(8,-2,4),C(3,0,5),是否存在实数x，使硅与油+况垂直?

10.已知a=(5,3,l),=(-2,f,,若a与6的夹角为钝角，求实数/的取值范围.

B组素养提升

一、选择题

1,已知向量。=(1,0,-1),则下列向量中与0成60。夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

c.(0,-1,1)D.(-l,0,D

2.已知向量“=(1,2,3),/>=(-2,-4,-6),|c|=E，若(a+b>c=7,贝!］。与c的夹

角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

3.(2020.山东东营高二检测)已知a=(l-M-Z,/),Z>=(2,t,t)，则步-a|的最小值是()

A*R近

B.5

「3^5

-5D•获

4.(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A谣G中，ZBAC=^,AB=AC=AAi=\,已知

G与E分别为A,Bi和CG的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若

GDLEF,则线段DF的长度的平方可以取的值为()

A-10

c.；D.1

二、填空题

5.(2021河南安阳高二检测)已知a=(2,3,-1),b=(-2,1,3),则以a,5为邻边的平

行四边形的面积为—.

6.已知向量。=(1,1,0),6=(-1,0,2),则向量a-6与a的夹角为____；若履+b与2a

一方互相垂直，则/的值是一.

7.在正方体ABCQ-AiBiGG中,E，尸分别为4G,BB|的中点，则cosNEAF=

EF=

三、解答题

8.已知A(1,0,0)、8(0,1,0)、C(0,0,2).

⑴若彷〃祀，Dt//Ah,求点D的坐标；

⑵问是否存在实数以P，使得祀=㈤+夕此成立？若存在，求出a、夕的值；若不存

在，说明理由.

9.在正方体ABCD-AiSCQ中，点£是棱的中点，点P,Q分别为线段BQi,

8。上的点，且3励=防，若PQLAE,前=2双，求/的值.

课堂检测二固双基

1.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(B)

A.6=(1,0,0)B.c=(0,-1,0)

C.d=(-1,-1,1)D.e=(0,0,-1)

［解析I比较选项中各向量，观察哪个向量符合^=(0,2,0)的形式，经过观察，只有

-a.

2.已知向量a=(l,0,D,b=(2,0,-2),若伏a+b)(a+kb)=2,则k的值等于(D)

3

A.1B.g

C.|D.日

［解析］由已知得|a|,\b\=2也,ab=0,

所以由(ka+b\(a+kb)=2可得k\a^+k\b\2+(/r+\)ab=2,即2氏+8%=2,解得％=1.

3.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点。，球面上有两点A(l,2,2),8(2,・2,1),

则|A8|=(C)

A.18B.12

C.3A/2D.2^3

［解析1根据空间中两点间距离，得|AB|=

叱1-2>+(2+2>+(2-Ip=3也.故选C.

4.已知空间三点0(0,0,0),A(-1,1,0),8(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BHLOA,

则点H的坐标为_(二屋.

［解析］设H［x,y,z),则加=(x,y,z),而=(x,y-l,z-l),oA=(-1,1,0).

因为8H_LOA,所以科•殖=0,即-x+y-1=0①

又点H在直线OA上,

f-1=Ax,

所以况=).oh，即<1=双，②

、0二屹

C1

联立①②解得〈V=1

y2,

<z=0.

所以点”的坐标为(W0).

5.已知向量a=(2,-1,-2),Z>=(1,1,-4).

⑴计算2。-3。和|2a-3%

(2)求(a,b).

【解析1(l)2a-3Z>=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,

-5,8).

\2a-3*|=AJ12+(-5)2+82=3/.

小、/八ab9亚

⑵cos(a.b)=丽=反乖=2,

又〈a,b)G［0,兀］，故储，))=；.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.已知向量。=(2,3,1),》=(1,2,0),贝|)|。-臼等于(B)

A.1B.小

C.3D.9

［解析J*=(2,3,1),b=(l,2,0),

Aa-6=(1,1,1),

\a-b\=1+1+1=小.

2.已知a=(l,2,-y),6=(x,l,2),且(a+2b)〃(2a-Z>),则(B)

A.x=1,y=1B.x=^,y=-4

C.x=2,y=-D.x=1,y=-1

［解析］a+2b=(2x+1,4,4-y),

2a-=(2-x,3,-2y-2),

•/(a+2b)//(2a-b),

2x+1=A(2-x),r］

4=33.:2’

{4-y=(-2y-2)2.)*

3.(2020福建省南平市高二期末)在空间中,已知盘二(1,-1,0),觉=(-1,0,1),则

异面直线A8与。C所成角的大小为(B)

A.30°B.60°

C.120°D.150°

-11

I解析］cos〈屈,Dt)—=2，所以AB与DC的夹角为60°,故选

\Ah\-\cb\

B.

4.已知点A(I,-2,11),仇4,2,3),C(6,-1,4),则AABC的形状是(C)

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

［解析］辐=(3,4,-8)、於=(5,1,-7)、Bt=(2.-3,1),

.,.电|=^/32+42+82=病，

|独=^52+12+72=^75,

阮|=-\)22+32+\=V14,

|祀F+I醉=75+14=89=硒.

.♦.△ABC为直角三角形.

5.(多选题)已知a=(2,4,x),吊=(2,y,2),若⑷=6,a_L6，则x+y的值是(CD)

A.3B.-1

C.-3D.1

［解析］,/|a|=6,/.|a|2=36,

22

A4+16+X=36z.>.r=16,x=±4.

5^\*a-Lb,>\ab=4+4y+2x=0,

/.x+2y+2=0.

当x=4时，y=-3,当*=-4时，y=l,

，x+y=1或-3.故选CD.

二、填空题

6.已知a=(2,-3,0),b=(k,0,3),{a,b)=120。，则G=_二痘

［解析I，-ab=2k,|a|=V>3,1*1=7证+9,

2k

cos120°=

Vi3x^yF+9

：.k=-^39.

7.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则。(b+c)=_i

［解析］•.”+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),

+c)=(2,-3,1)-(2,2,5)=4-6+5=3.

8,已知a=(l,-2,1),b=(3,0,5),c=(0,0,z),若a-c)=0,则2=8.

［解析］b-c=(3,0,5-2),因为a(b-c)=0,则3+5-2=0,所以2=8.

三、解答题

9.已知点A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3,0,5),是否存在实数x,使屈与牯+沆垂直？

［解析］磋=(6,-5.5),At=(l,-3,6),

油+返t=(6+"-5-32,5+6%),

/.6(6+/l)-5(-5-3z)+5(5+6A)=0,

使感与初+入祀垂直.

10.已知“=(5,3,1),Z>=(-2,t,-|)，若a与b的夹角为钝角，求实数f的取值范围.

［解析］,：ab=5x(-2)+3f+1x(-|)=3/-,，

又与b的夹角为钝角，

52

.\ab<0,即3广了<0,

・52

./<及

若a与b的夹角为180°,则存在％<0,使4=亚2<0),

即(5,3,1)=(-2,t,.

即/=-

€z652

--

故r的取值范围是1-8,7u(--

^\515

B组•素养提升

一、选择题

1,已知向量a=（1,0,-1）,则下列向量中与4成60。夹角的是（B）

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

［解析］设"=(-1,1,0),岳=(1,-1,0),*3=(0,-1,1),*4=(-1,0,1).

因为cos储，加〉=尚爵1=］三万=-；，所以〈“，"〉=120。；

因为cos{a,岳〉=尚含=［^口=；，所以<«，岳〉=60°；

d'b'K-11

因为cosQ,%〉=而两=/^=一5，所以〈。，仇)=120。；

a-hs-2

因为cos(fl,bi)=面两=齐被=-1,所以(a,仇〉=180°.

2.已知向量0=(1,2,3),6=(-2,-4,-6),|c|=JR,若(a+b)-c=7,则a与c的夹

角为（C）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

［解析］a+b=(-1,-2,-3)=-a,

故(a+b)c=-a-c=7,得a-c=-7,

而⑷=^l2+22+32=V14,

所以cos〈a,c)=Ui^i="1,<a,c)=120°.

3.(2020•山东东营高二检测)已知a=(l-t,l-t,t),b=(2,t,t),则--a|的最小值是

c)

A3

R超

B-5

「3^/5

J5

［解析］b-a=(1+t,2t-\,o),

所以步-a\=yl(\+z)2+(2r-1)2+02

一

5.

所以当f=/时，g-©min=3^

4.（多选题）如图，在直三棱柱ABC-A^Q中，ZBAC=l,AB=AC=A4i=1,已知

G与E分别为A闰和CG的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若

GCEF,则线段OF的长度的平方可以取的值为（BC）

A-10

C.；

D.1

I解析I建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,0）,E（0,1,,G（；,0,1）,

F(x,0,0),D(0,y,0),且0cx<1,0<y<1.

9：GDLEF,：.x+2y-1=0,

.\x=\-2y,由0<无<1得，0<y<]；

\DF\=[#十寸=1(1.2y>+y2=yj5,2・4y+1

1?1

・・・0<)，4,・•.当y=5时，舜殳DF长度的最小值是去，

又y=0时，线段DF长度的最大值是1,

而。点不在AC的端点,故)¥0,：.\DF\<1；

故线段。厂的长度的取值范围是：［害，1)•

即线段。尸长度的平方的取值范围为,1),故选BC.

二、填空题

5.(2021河南安阳高二检测)已知a=(2,3,-1),*=(-2,1,3),则以a,b为邻边的平

行四边形的面积为_6V5--

［解析］ab=(2,3,-1).(-2,1,3)=-4+3-3=-4,

\a\=yf\4,\b\=y［\4,

-42

所以cos〈a,8)=-^-=-7.

所以sin(a,b)=邛^.

所以平行四边形的面积为S=⑷步|sin(a,b)==675.

6.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则向量a-b与a的夹角为_；若ka+b与

7

2a-h互相垂直，则k的值是.

［解析］因为“=(1,1,0)”=(-1,0,2),则“-6=(2,1,-2),

所以8s

\a-b\\a\\9-\22

又因为向量夹角的取值范围是［0，兀］，所以储-b,。〉=彳；

因为ka+6和2a-8垂直，

则有(版+b)(2a-b)=0,即2版2+(2-k'fab-b2=0,

7

所以有2Ax2+(2-©(-1+0+0)-5=0,解得々=5.

2

7.在正方体A8CD-AifiiGDi中，E,尸分别为AiD,,BB\的中点,则cosZE4F=5

一,EF-=哗2―.

［解析1以A为原点,AB,AD,分别为x轴、了轴、z轴建立直角坐标系(图略)，设

正方体棱长为1,则电，；，1),《1,o,.,.硅=(0,1,1),#=[1,0,£),济=

1

0-2，9,

1

..cos也硝=器=施4

:.cosNEAF=W,EF=0]=普.

三、解答题

8.已知A(1,0,0)、8(0,1,0)、C(0,0,2).

⑴若彷〃祀，Dt//Ah,求点D的坐标；