高中数学高考冲刺数列通项

高中数学高考冲刺数列通项专题

⑴利用.观察法求数列的通项.

⑵利用公式法求数列的通项：①%,、；②"｝等差、等比数

列｛/｝公式.

(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:①％=a.+/(〃)；②％=《"(〃).

⑶构造等差、等比数列求通项：.

n

4+1=P4+q;②a,,.=pa„+q；③an+l=pan+/(〃)；④an+2=p.an+1+q-an.

［示例］已知下列各数列｛七｝的前n项和S.的公式为S“=3〃2—2〃(〃GN*),求

｛七｝的通项公式。

题型一利用公式法求通项

［例］数列｛a｝的前〃项和记为S,si=l,a〃+i=2S〃+l(〃>1).

(1)求｛晶｝的通项公式；

(2)等差数列｛4｝的各项为正数，前〃项和为L,且北=15,又4+从,

色+勿，备+友成等比数列，求Tn.

［练3］数列｛aj是公差大于零的等差数列，牝，%是方程1筋+27=0的

两根。数列也,｝的前八项和为T.，且7>1-3，(〃eN*),求数列｛%｝,h｝的通

项公式。

3.已知数列｛aj中，a,=—1,a„+1•a„=a„+1—a„,则数列通项a.=

［例］已知｛%｝的首项q=1,%=a“+2〃，5eN*),求｛6｝的通项公式,并求％oo

的值。

题型二应用迭加(迭乘、迭代)法求通项

［练1］数列｛"“｝中，-l,an=n(a„+i-a„)»则数列｛。“｝的通项。.=()

A2n-lB.n2C..D.n

n

2

［练2］已知S“为数列｛a,,｝的前〃项.和，q=l,Sn=n-an,求数列｛”.｝的通项

公式.

［例］数列｛%｝中，a“+i=3a“+2（〃G心，且60=8,则4=（）

题型三构造等比数列求通项

［练1］数列｛/｝中，q=l,a“=ga“_1+1(〃22),求通项公式明。

［例］已知数列｛“〃｝中，q=1/=2%+3",求数列a｝的通项公式.

［练2］设数列｛4｝的前〃项和为S,,,已知％=”,%=S“+3"5GN,),.设

b—,求数列h｝的通项公式.

数列求和方法

基本.数列的前〃项和

〃（囚+%）

2

⑴等差数列｛%｝的前"项和:S"=,叫+—7t（n-l）d

⑵等比数列a｝的前〃项和5“：

①当q=l时，S,,=〃q；②当#1时，S“L'）二二吗

-----\-q\-q

2.数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法;

错位相减法;倒序相加法.

题型一公式法、性质法求和

1.已知5„为等比数列［a,,｝的前〃项和，公比＜7=2.9=7,则

。3+。6++•*,+Clgg—

2.等差数列｛a,,｝中，公差d=g,且a〕+%+%+…+。99=6°»则

q+%+%+…+即）0=一­

［例1］求数列1：,2：,3：,……的前〃项和Sn.

2482

题型二拆项分组法求和

［练2］在数列｛%｝中，已知a=2,%+i二4/一3〃+1,2N*.

(1)求数列｛a,J的通项公式；(2)设数列",｝的前〃项和为S,求S。

［练］.求数歹■］上〃_］丹的前“项和s”.

［例］.求和:L+JJ…+-----1----

1x22x33x4n{n+1)

题型三裂项相消法求和

1111

［例］.求和:-i-----j----,-------,H-•••,-------,

-JT.+1V3+V2V?+V3J〃+1+Vn

1

［例］求和:1++

1+21+2+31+2+3+・・,+〃

［练4］已知数歹!］｛a“｝满足-=1,%=2an+1(〃wN*)

求数列｛凡｝的通项公式。(2)若数列也｝满足4"L42f炉中…*+i=(an+J,

求数列物,｝的通项公式。(3)若％=二二，求数列匕｝的前n项和S.。

a“a“+i

【示例】以办为首项等比数列，q为公比，前n项和Sn的推导

题型四错位相减法求和

［例］.设数列｛4｝为122.22,3.23,4.23……“2…(xwO)求此数列前〃项的和.

［例］.设数列｛an｝满足ai+3a2+3-3+...+3"一痣=£,n@N*.

o

(1)求数列｛aj的通项公式;(2)设bn=R,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

［练1］已知数列｛4｝、｛£｝满足％=1,%=3,=,bn=an+l-ano

b.

求数列｛2｝的通项公式；

（2）数列｛%｝满足c“=a」og2（a“+l）（〃eN*）,求S“=q+02+...+c〃o

［练4］等比数列也｝中，已知对任意自然数n,q+4+a,+.F=2"-1,求

幻+婚+,+…+4；的值

A（2"T，R1（2,,-1）CAn-\D；（4"-1）

课后练习

_1

1设正项等比数列同｝的首项的=5,前n项和为工，且

210s30—(21°+1)凡0+曷。=0-

（I）求w的通项；（II）求｛*｝的前n项和九

2数列⑷的前外项和记为凡吗=L%+】=2凡+1（心1）求⑷的通项公式;

3在数列｛aj与｛bn｝中，ai=l,bi=4,数列｛aj的前n项和Sn满足nSn+i-

(n+3)Sn=0,n£N*.

（1）求a2,的值；（2）求数列｛aj通项公式;

4设数列也｝的前〃项和为S.，对任意的正整数〃，都有q=5S.+l成立,

记b='+%.(〃eN*)o

n1-4

求数列出｝的通项公式

5设数列以｝的前n项和为Sn,且对任意正整数n,an+Sn=4096.

(1)求数列｛aj的通项公式：

⑵设数列｛logzaj的前n项和为I.对数歹！］｛TJ,从第几项起Tn<-

509?

41n+12

6设数列｛aj的前n项和铲"一/2"++5'”=123,…。

⑴求首项出求证仇+2"是等比数列

(2)求数列｛aj的通项公式

7设等差数列｛《,｝的前〃项和为小公比是正数的等比数列｛3｝的前〃

项和为了“，

已知％==3,%+%=17石—S3=12,求｛a“｝也｝的通项公式.

2

8已知数列｛为｝的前n项和sn=2n+2nf数列昆｝的前n项和7；=2-a

(I)求数列｛%｝与匕｝的通项公式；

(II)设％”初,证明：当且仅当n23时，ci•

9等比数列