高中数学自学讲义-不等式（2020版）

不等式讲义

七招十八式

（来源网络，仅供自学参考）

目录

一、不等式的基本性质.......................................................................-1-

二、重要不等式.............................................................................-2-

三、例题展示...............................................................................-4-

3.1比较法.............................................................................-4-

3.2分析法.............................................................................-5-

1.凑项...........................................................................-5-

2.凑系数.........................................................................-7-

3.凑完全平方式..................................................................-8-

4.分离...........................................................................-9-

3.3代换..............................................................................-10-

1.消元..........................................................................-10-

2.整体代换（“1”的代换）........................................................-11-

3.判别式法（万能K法）........................................................-14-

4.局部代换（换元）.............................................................-18-

5.三角代换......................................................................-21-

6.均值代换、比值代换...........................................................-23-

3.4构造..............................................................................-27-

1.形式构造......................................................................-27-

2.对偶式构造...................................................................-27-

3.函数构造......................................................................-29-

4.数形结合......................................................................-29-

3.5待定系数法.......................................................................-31-

I.均值不等式添加参数...........................................................-31-

2.柯西不等式添加参数...........................................................-33-

3.6切割线放缩.......................................................................-45-

3.7导数..............................................................................-51-

四、综合练习..............................................................................-52-

五、练习题................................................................................-95-

一、不等式的基本性质

(1)对称性：a>bb<a；

(2)传递性：a>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：a>b,cWR=a+c>b+c；

(4)加法法则：a>b,c>d=>a+c>b+d；

(5)可乘性：a>b,c>0=>ac>be；a>b,cV0=QCVbe；

(6)乘法法则：a>b>0,c>d>0=>ac>bd；

(7)乘方法则：a>b>0=>an>bn(nG/V*,且n>l)；

(8)开方法则：a>b>0=^>\[a>Vb(n£N*,且九>1)；

(9)倒数法则：a>/j>0=>-<-

ab:

(10)有关分数的性质：若Q>b>0,m>0,则

…十八皿bh+mbh-m

①真分数的性质：一<-----；->------；

aa+maa-m

z-x,nr八Qa+maa-m

②假分数的性质：->-——；-<-——；

bb+mbb-m

(11)**不等式的对称性(了解)

设是一个〃元函数.若将%1/2,…，小中任意的两个变元互相交换位置，得到的/■与原式是

恒等的，则称f(//2,是完全对称的.

工abce

如xy+yz+z%,------+--------1-------等.

b+cC+Qa+b

设…，％n)是一个九元函数.若作置换%1T%2，、2T%3,…，％n-1一久n"n1久1，得到的/与原式是

恒等的，则称/(X1/2,…，%n)是轮换对称的.

LQabC

如％3y+y3Z+Z3X,-------1---------1-------等.

a+bb+cc+a

显然，完全对称的一定是轮换对称的.

二、重要不等式

1.无理式化为有理式，分式化为整式

g(x)<。或g(x)“，

⑴>g(x)=<

JGROl/(X)>g2(X)

____g(©>0

"(X)<g(x)<=></(X)>0

/(x)<g2(x)

g)痴生。og(x)=。或

/(x)

(2)0=〃x)g(x)>0

g(x)

------NU<

g(x)—[g(x)wO

2.1.含有绝对值的不等式

⑴|/(x),g(x)=/(xRg(x)或/(x)W-g(x)；

(2)|f(x)\<g(x)<=>-^(x)<f(x)<g(x)■,

(3)对形如|久-a\+\x-b\<(N)c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.

(4)含有绝对值的不等式的性质

\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\.

取等条件：

不等式|a|-网<|a+b|<|a|4-\b\,右侧“=''成立的条件是ab>0,左侧"=”成立的条件是ab<0,

且1矶2网；

不等式|a|-闻<|a-b|<|a|+\b\,右侧“廿成立的条件是ab<0,左侧"=”成立的条件是ab>0,

且|a|>\b\.

2.2.一元二次不等式

a/+bx+c>0(aH0)的解(IS=b2—4ac)

A>0A=0A<0

a>0-h4-VZ-h-VZb—00<X<00

x>-----------,x<——-------XH——

2a2a2a

a<0—b+VZ—b—VZ无解无解

—------<x<------------

2a2a

对于a<0的情况，先移项将系数变为正然后求解.

2.3.基本不等式

(1)设。/€/?,则a2+b222ab,当且仅当a=b时，等号成立.

-2-

(2)若a,b>0,则"Nj茄，当且仅当a=b时，等号成立.

2

(3)若a,b>0,则7J茄4竺J仁把，当且仅当a=b时，等号成立.

1+12V2

ab

其中，称为调和平均数，疝称为几何平均数，”2称为算术平均数，称为平方平均

1,12\2

ab

数

2.4.柯西不等式

(1)柯西不等式简单形式：a,b,x,y&R,

+切(-+.2)之(ax+by)2,(ax-by)2>[a1-b2^x2-y2)

证：

+b2^x2+y2^-(ax+by)2

=a2x2+b2y2+a2y2+h2x2-^a2x2+2axby+h2y2^

—cry2+b2x2-2axhy-(ay-hx)2>0

(ax-by)2-(a2-/72)(x2-y2)

22122222222

=(a%-2axby+by^-^ax-cTy-bx+/>y)

222

=a2y2+bx-laxby=(ay-bx)>0

得证.当ay=bx时取等号.

(2)柯西不等式向量形式：|aj?l<I&I•面

如图，设在平面直角坐标系久Oy中有向量展=(a,b)/=(c,d),及与日之间的夹角为仇0<9<n.

根据向量数量积的定义，有据«=阀•面cos。,因为|cosO|Wl,所以何团•面.

当且仅当不是零向量，或者及〃不时取等.

(3)二维形式的三角不等式：y/x；+y：+Jx：+资2JO1-尤2)2+31—丫2)2

-3-

当且仅当Pl，P2与原点。在同一直线上，并且点匕,「2在原点。两旁时，式中的等号成立.

三、例题展示

3.1比较法

【例1】设a、b是非负实数，求证：石,2+人2)

【证明】〃—y/cib(a2+b1)-a1\[a{4a—\[b)+b1y[b{\[b-'fa)

=(G〃)[(G)5_(〃)5]

当aNb时，4a>4b,从而(Gy之(〃)5,得(G—〃)[(G)5_(G)5]20；

当a<b时，y[7l<4b,从而(&)5((扬)5,得(6―G)[(G)5—(6)5]<0;

所以43+632疝(/+62)

ahha

【例2】已知a,bwR+,证明：ab>ab.

uhah

+haaba-(a^

【证明】>0,

a,b&R,ab两一产

于是—

当a26时，->1,a-b>Q

h

当i时,—

所以a"户Na%".

【例3】设g＜］；］＜(£)＜1,贝！J()

ahauabbaahaa

A.a<a<bB.a<h<aa<a<hD.a<h<a

-4-

【答案】c

【解析】<1,:.0<a<h<l.:.y>^^aa-h>\,:.ah<aa

a('/

|—=-,0<-<l,a>0,-<1,:.aa<ba,:.ah<aa<ba.

故答案为：C

3.2分析法

1.凑项

【例4】设a>l,则M=/+二-的最小值是▲.

a2-3

【答案】5

【解析】3+-^—+3221（/一3）.^—+3=5

a2-3V7a2-3

,1

当且仅当/-3=F—,即a=2时取等号.

a2-3

【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、

非定构定、不等作图，（单调性）.平时应•熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面

的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.

43,

【练习】设x,y为正实数，且•;一+--=1,则xv的最小值为▲

1+x2+y

【答案】27

433()，+3)

【解析】因为二+=1,所以x=x,y>0,/.y>1

y-l

因此孙=3")："=3-A-+(J；-1)+5>32P--(y-l)+5=27

y-in,-1

当且仅当y-l=2,y=3时取等号，即xy的最小值为27.

未知定值（没有形如"a+b=1”这样的定值式）

..4x3y

【例5】设“为正实数,则*7的最小值为一

【答案】3

-5-

【解析一】配凑

上+2=上+卫-2I上.3.1=3,

x+3yxx+3yxyx+3yx

4xx+3y

当且仅当——=——^时，即x=3y取等号.

x+3yx

【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,

对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式.

【解析二】比值换元

令y=kx,fc>0

44I~4

则用=-----+3Z=-------+（3女+1）—122」------（3女+1）—1=3.

1+341+3女丫1+3攵

41

当且仅当-----=1+3攵时，即攵二一时取等号.

1+3攵3

【点评】由于分子，分母皆为％y的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量％y减少为一个未知

量k,再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值.

81.

【例6】己知x,y>。，f+—=1,则工+丁的最小值为

二y

,\81xxSkk..lxx8kIk「3kIT

x+y+k—d-----1=—H-----F—+yd-----k>3^---------r+2y-----k7=3飞2k+k—k7

y)22xy,22ryy

x_x_8k

k.

取等条件:<y=_=jy=2

所求最小值为3蚯^+2\fk—k=6

(81}=j”23、=6

x+y=x=+一+y

(%y)xyyxy

8xIx=4

取等条件：一=—=ync

xy[y=2

-6-

2.凑系数

【例7]当0<x<4时，y=x(8-2公的最大值为▲.

【答案】8

【分析】由0<x<4知8-2x>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子

积的形式，但其和不是定值.注意到2x4-(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2乃凑•上一个系数即可.

【解析】y=x(8—2x)=g[2x-(8—2x)]wg(生亲生)=8,当2%=8-2x,即x=2时取等号，

当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.

【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到

和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

31

【练习】已知实数x,y满足”>y>0,且x+y=2,则/=——+-——•的最小值是▲.

x+2y2x-y

【分析】将》+y凑出40+3/+〃0-丫)的形式(本质是换元法)，即可使用均值不等式或者柯西不等

式求出最小值：

，31A

.+2-T-----[A(x+2y)+//(2x—y)]>(AM+

1

【解析】A(x+2y)+ju(2x-y)=(4+2〃)x+(24—〃)y==

5

31

即x+y=g(x+2y)+g(2x_y),

J」-)

：.M=—x+^2—y+—2x-y(x+2y2x-yf1^X+2y)+5(2X~y),8

215555

3

x

2x-y=x+2y2

取等条件:

x+y=2

y=

2

可得X=l〃-2〃,y=2机一1〃，

或者直接换元:令x+2y=m,2x—y=n>即

5555

1221c3加〃1

x+y一加+一〃+—加——n=2=>——+—=I

55551010

-7-

31

=—i-

mn

3.凑完全平方式

凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况.

【例8】已知4/+y2+盯=5,求M=2x+y的最大值.

解：取参数A6R,

M2=(2x+y)2+/c(4x2+y2+xy-5)

=(4+4/c)x2+(4+k)xy+(1+k)y2-5k

当(4+4fc)x2+(4+k)xy+(1+k)y2为完全平方式时，

(竽)2=(4+4£)Q+k)时，即％=—|时，有

M2=-|（2x-y）2+8<8.

_V2

于是｛2%—y=0%_三时,

22

4x4-y4-xy=5y=y/2

2x+y有最大值2夜.

［例9］若—肛+y2=25,则M=3^+y2的取值范围是.

取参数keR,有

M=3x2+y2+Z（4/-孙+y2-25）=（3+4Z）x?++左））；-25k

当(3+4左+左)尺为完全平方式时，有最值

于是令(3+4攵)(1+%)=传［=x=H

、乙)3〉

“，2^,1212251/、225、25

当彳=时，M=—X2HXVH—VH=—IX+V）HN

3333-33、-33

576

x=------

6

取等条件：x+y=O.即，

5瓜

y=--T

当x=_（时，M=-|x2+|xy-|y2+30=-1（3x-y）2+30<30

-8-

取等条件：3x—y=0,即x==

22

-25'

于是所求的取值范围是7，30

I,251

【评析】将问题中3/+丁变为§(》+>)一+5的形式，可得最小值：变为一.3%—y)7-+30的形式可得

最大值.变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可.

4.分离

〃尤2-J-Ay+「I

对于巴_丝上形式的分式函数，将分子降次，化为〃2+—的形式运用不等式.

x+dm

x2+7x+10

【例10】求十/X+的值域.

X+1

【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有X+1的项，再将其分离.

rti73+r+7%+10(X++5(X+1)+44z-si/,

【解析】y=----------=-——-——-——--=(x+l)+——+5,当％>—1,即nnx+l>0时，

x+1X+lX+1

y>2J(x+l)--^-+5=9(当且仅当x=1时取"="号).

Z7h

【练习】已知a,6都是负实数，则——+—7的最小值■是_______,

a+2ba+b

【答案】2(V2-1)

ab2(«+b)-(a+2b)(a+2b)~(a+b)2(a+b)a+2b弁°

a+2ba+ba+2ba+ba+2。a+b

/74+4/f]

【例11】已知4,人£尺"法>0,求M="十的最小值.

ah

22

»/+4//+12L4.4/+14«Z?+14,1

【解析】M=--------->—----------=--------=4。力+—>4-

abababab

1

4=

a-4b4Cl­o

L

取等条件：，1n,r~~

4ab=——

abb=——

14

【例12】已知x>0,y>0,且元+2y=5,则-----产——的最小值为

V孙

-9-

【解析】

(x+l)(2y+1)_2孙+x+2y+l_2xy+6

2dxyH—之4\/3

H而而8

x+2y=5

取等条件:

(x+l)(2y+l)

【练习】变形：已知x>0,y>0,则-----尸——的最小值为

yjxy

【解析】

拆开运用基本不等式:

(x+l)(2y+l)_2xy+x+2y+l>2xy+2^x-2y+1

=2.y^Xy+2-\/2H--->4^2

而历而

或用柯西不等式：(x+l)(2y+l)之(52冲+1)，

干星(x+l)(2y+l)(V^+l)

=2百272>472

而历

取等条件:

3.3代换

对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进

行代换，以简化其结构.

主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为

代数式.

1.消元

Q1

【例13］已知实数无y>0,且？+上=1,求x+2y的取值范围.

xy

X

【解析】由已知条件得y=——，y>0nx>8,

x-8

2(x—8)+1616innf~16o

x+2y=x+—xH-----------=x-8H-----F1022.(x-8)------F10=18,

x—8九一8x-8Vx-8

-10-

取等条件X—8=*-nx=12,>=上=3.

x—8x—8

2.整体代换(“1”的代换)

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

【例14】已知x>0,y>0,且｝+：=1,求x+y的最小值.

【错解】%>0,1>0,且。+:=1，x+y=C+^a+y)22《2回=12,故(x+y)mm=12.

【错因】解法中两次连用基本不等式，在x+y22同等号成立条件是x=y,在5等号成立条

件是：即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误.因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.

【正解】x>o,y>o++：=ir+y=(x+y)G+3=7+£+iO26+io=i6，当且仅当白手时,

上式等号成立，又x可y得％=4,丫=12时，(x+y)min=16.

113x4y

【练习】已知正实数x,y满足一+—=1t,则一—七的最小值为_______.

xyx-1y-\

【答案】7+4V3

【解析】正实数x,y满足：+：=1,则：x+y=xy,

3x4y7xy-3x-4y”.

则：一；+「■=---------^=4x+3y,

x-1yTxy-x—y+l

(4x+3^)f-+-"|=4+—+^+3>7+2隹•史=7+46

y)yx\yx

3x4y

故一;+一的最小值为7+4V3.

x-1y-1

【例15】已知〃，力为正实数，2b+ab+a=30,求y=^的最小值.

ab

【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单

调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知

条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等

式的途径进行.

【解法一】由己知得a=^^,ab=叱3/=33.•.•”〉(),

b+1b+1b+1

-11-

令t=b+\,则1<t<16,

・・・Qb二-2尸+34.31=_2（t+竺）+34.・・・[+至N2（7^=8,・・.Q"18,Ay>

tttylt10

当且仅当，=4,即a=6,6=3时，等号成立.

【解法二】由已知得：30-ab=a+2b.'：a+2b>2y[2ab，30-ab>2y[2ab.

令”=病，则I?+2鱼1-30W0,-5V2<u<3V2,.,.y[ab<372.ab<18,Ay>^.

tIo

【点评】①本题考查不等式早2属缶>03>0）的应用、不等式的解法及运算能力：②如何由已知不

等式就=。+2匕+309>0/>0）出发求得成的范围，关键是寻找到a+b与ab之间的关系，由此想到

不等式幺也2J茄（a〉0,b〉0）,这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得她的范围.

2

【例16]已知x,y>0且2x+3y=12,求孙的最大值.

【解析】将y=4—gx（0<x<6）代入得，

孙="4一二=二44”

I3J3

2

即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，/（X）=--X2+4X,XG（0,6）

/（x）</（3）=6

即x=3,y=2时，"有最大值6.

部分使用“1的代换”

若形如“己知，小+浦=1,求2+幺（为加以都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”,

ab

,1ama+nba

即一+—=-------+——

akbakb

【例17]设正实数a*满足。+人=2,则工+巴的最小值为

a8b

【答案】1

【解析】6/>0,Z?>0,

1aa+halba1-l~b~a11

—+一+—=—l---+—>-+2-+-1.

aSb2a8b22aSb24五,拓22

-12-

2

当且仅当b一=a巴即a=4—力=一时取得等号.

2a8b33

【例18】设“+6=2,">0,则当a=时，」一+回取得最小值.

2\a\b

【答案】-2

【解析】因为a+b=2,所以1=字

2

所以，+回=包心+应!=，+上+回2gs2+1

2\a\b41alb4|tz|4|a|b41al\4|tz|b41al

当且仅当上+⑷，即8=2|a|时取等号，

41alb

1。1、,1,5

当”>（）时，—a

21alb41al44

|a|a1[3

当a<0时，一--

21alb4|a|44

所以」一+回的最小值为二，此时〃=-2。

21alb4

又a+b=2,所以。+（—2。）=2,即。=—2

14

【例19］已知a,bwR+且2a+b=l,则靛+乒的最小值是

【答案】32

【解析】J+*=[\+福）（2〃+力）2=[3+*]（4Q2+4ab+b?）

-+—>2.1--=4,当且仅当2=学，即。=2。时取等号;

ab\ahab

h216a2cb216a2当且仅当<+*,即8=2。时取等号;

7十寸2犷铲=8,

ah

14

所以—+=28+4x4+8=32,当且仅当》=2。时取等号;

ab“

14

所以r+VT的最小值为32

ab

【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立

-13-

的条件是否一致.

3.判别式法(万能K法)

判别式法(万能K法)并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！

如果二次项系数不为0,此方程为关于x的一元二次方程。其中，当A20时(A是含字母y的式子)，

将这个范围内的y值代入方程，都能够得到一个或两个与之对应的x值；而当A<0时，方程无解，这说

明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域.

如果二次项系数为0,此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应

的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本

没有意义，则该)，值不属于值域.

3.1一类分式函数值域问题

2，_Or4-3

【例20］求函数y=,的值域.

X-X+1

【解析】由已知条件可得：(y-2)x2+(2-jy)x+y-3=0,

当yw2时，考虑关于x的二次方程，A=(2-y)2-4(y-2)(y-3)N0n2<yW

当y=2时，可得y=3,舍去.

综上，函数值域为(2,日.

1X2+X+13

【练习】求证：

2x2+l2

广+X+1

证明：设了=--------,则(1一丁)%2+x+l-y=0,定义域为R

X+1

(1)y=l时，x=0是定义域中的一个值，y=l是值域中的一个值。

13

(2)y"时，由△=>4(1一/)20,得

1元2+x+13

综上所述-<<-成立.

2x2+l2

-14-

3.2二元二次函数最值问题

【例21］设x,y>0为实数，若4d+y2+孙=1,则2x+y的最大值为

【解析】令k=2x+y,则y=k-2%,代入等式得：6x2-3kx+k2-1=0

即关于x的方程有解，于是△=(3%)2-4x6(A?-1)>0=>一2嘤<f<2普

当火取到最大值名回时，x=叵,丫=叵

5105

【例22】设%,y>0为实数，若2x+y=l,则4/+产+取的最小值为

【解析】令49+了2+呼=左，将y=l-2x代入，A>0=>Z:>—

8

23

若羽y>。，一+—=1,求工+丁的最小值.

xy

【解析】已知等式可化为3x+2y-^=0,令％+y=Z,将丁=2一1代入

Y+(l一幻％+2&=0,AN0o42一1。女+12。

解得05+2n或”5-2即(舍去)

取等条件：x=2+>/6,y=3+\/6

【例23］若%和y满足不等式Y+芍+4y2<3,求％+3y的最大值.

【解析】令k=%+3y,将％=k-3y代入，

10/一5仙+(r-3)W0,关于y的二次不等式只有在△=(5&)2-4x10卜2—3)20时有解

一2&<女<2后，当且仅当X=y=与时取等，所以％+3y的最大值2啦・

24

【例24］已知羽y>。，满足了+―+3y+—=1。，求%y的取值范围.

元y

k

【解析】令左=町/次>0,将旷=一代入等式得，(4+左)％2-1。乙+2%+3%2=0

x

-15-

A=100z2-4(4+r)(2/+3r2)>0

10/

<x,+x=----->0n=>1<Z:<—

19-4+r3

2f+3/八

=--------->0

I-4+r

【例25】对于c>0,当非零实数a,b满足4a2一2ab+4〃-c=0且使|2a+4最大时，之一g+*的最小

abc

值为.

k—b

【解析】设2a+Z?=%,将。=----代入得，6b2-3kh+k2-c=0-

2

315

当且仅当。=—/=—,c=一时取等.

422

【例26】已知实数x,y满足4d+5y2=y,求/+寸的最大值.

【错解】令V+ynKANO,将丁=4一,2代入等式得

y2-y+4k=0,关于y的方程有解，得A=l—16攵NOnOWAW」-.

11-3

取等条件：当％=:时，有y==,x2=一无实数解.

4-216

错解原因：未考虑x,y的范围：

由于4%2=y-5y220=0Wywg,无法在y=g处取值.

【正解】化已知等式为:80x2+(10y-l)2=l,令4石x=cos6U0y-l=sine,ee[0,2句

20'1+sin^Y1/

f+y2cos2

---------F、io-厂标Lsin^+8sin^+9)

80

-16-

令sin8=/w[0,l],函数/（。=焉（—/+8r+9）,在r=l时取得最大值于是V+y2最大值为上

取等条件为f=l,即。=T，于是x=O,y=g

错解原因就是在/=sin。=4处取得的，显然取不到.

一般地，已知条件与问题皆为二元二次式用判别式可能会得错解，此时需用三角换元.

【例27]已知实数x,y满足f+2冲+4y2=6,求V+4），的取值范围.

【解一】设x2+4y2=k,k>0,令尤=〃cosay=^^m。,。£[0,24]，代入等式得

/cos26+fsin"cos6+/sin?6=6,得sin2。=---w[—1,1],解得％G[4,12].

K

【解二】对己知条件进行配方：（x+y）2+3：/=6

令x+y=«cos。，K•y=V^sin8e[0,2〃]

于是x2+4y2=-4sin（2e+?）+8w[4,12]

【解三】令《，已知条件可化为加2_2〃=6

xy=n

2,22Am2-6._2

x+4y=m~-4x-----=12—m-

2

将x=〃?—2y代入已知条件得4y2—2冲+加2—6=0,关于y的二次方程有解，得

A=4/??2-16（/M2-6）>0=>0<m2<8

于是Y+4y2=i2-”2e[4,12].

【解四】6=d+2yr+4y224回|+2冷，

对于不等式624|个，|+2封，令f=孙，6>4|?|+2r^6-2r>4|f|^（6-2?）2>16f2=>-3<Z<l

解得—34肛VI,于是£+49=6-2母<4,12].

若实数x,y满足/一3盯+2V=1,求x?+2/的取值范围.

-17-

【解一】将已知条件化为(x—-1/=1，不是^+从二尸类型，考虑用平方差化为积式: