高中数学必修第一册《第四章 指数与对数》单元测试卷(二)(含解析)

高中数学必修第一册《第四章指数与对数》单元测试卷⑵

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1-计算(log9-Lg318)+81T=()

A.—：B.—6C.5D.6

22

2.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2010年全年投入研发资金130万元，

在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过

400万元的年份是(参考数据：仞1.1220.05,lgl.3«0.11,lg2«0.30)()

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

3.已知函数f0i)=log(n+i)5+2)(n为正整数)，若存在正整数出满足/⑴*f(2)*...*/(“)=匕

那么我们将R叫做关于〃的“对整数”，当ne[1,2016]时、“对整数”的个数为()

A.7B.8C.9D.10

(14-log2(2-x),x<lJrlI

4.设函数f(x)=W(-2)+/(log212)=()

XN1.

A.3B.6C.9D.12

5.设a=log36,a=log510,a=log714,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

6.已知关于x的方程|x|-2a/og2(|x|+2)+a2=3有唯一实数解，则实数a的值为()

A.-1B.1C.-1或3D.1或-3

7.己知函数/'(x)=(^^+}•+bx+4(a力为常数，a>1),且/'[IgQogglOOO)]=6,则

一1g&2)]的值是()

A.2B.6C.-6D.-2

8.计算：lo必当=()

A.一；B.；C.—1D.1

22

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，分别绘制

了如图所示的六维能力雷达图，则下列叙述正确的有()

记忆能力记忆出

中的信达图

乙町S达图

A.乙的六大能力中记忆能力最差B.乙的创造能力优于甲的创造能力

C.甲的空间能力优于计算能力D.乙的六大能力整体水平低于甲

10.下列计算正确的有（）

A.©-I+85+2020°=7B.2lg5+04-5*2=。

2

C.log2（log0.50.5）=1D.（V^l）+一疗=0

11.若2工=3,3y=4,则下列说法正确的是（）

3

A.xy=2B.x<-C.x+y>2V2D.%>y

12.已知小〃为正实数，则下列判断中正确的是（）

A.（a+》（b+》Z4

B.若a+b=4,则log?。+log2b的最大值为2

C.若a>b,则尚<白

D.若a+b=1,51壮+:的最小值是8

ab

三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13.（0）2+lg2-lg50+@25+eln3=.

14.15.计算:（1—1。的3）。+10的2•log618

loge4

15.计算或）三+（兀-1）。+220g31-lg2Tg5=----

四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

16.计算：9-2=_（1）—>log69+log64=_（2）_.

五、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.⑴化简lg25+lg2xlg50+(lg2)3

(2)已知［上二：求x-x-i的值.

AIA—

18.已知二次函数/(x)=/+人工+c(b,ceR).

(I)若/(-2)=<(2),/(I)>0,且不等式f(x)<|x-(对所有xe［0,1］都成立,求函数f(x)的解析

式；

(H)若c<0,且函数f(x)在［一1,1］上有两个零点，求b+2c的取值范围；

(HI)在(I)的条件下，当》之|时，都有，0-1)+4£12/0)2/(；)—4/((1)成立，求证：关于龙的方

程16/-16ax+3=0有实根.

19.计算：

11112

(1)4%4(—3%4y-3)+(6%~2y-3)；

1

(2)-10g312-10g32.

20.分解下列因式

(l)5x2+6xy—8y2

(2)x2+2x—15—ax—5a.

21.设〃、6、c为正数，且满足标+非二产.

(1)求证:log2a+詈)+log2(l+£)=1

(2)若，0。4(1+等)=1，，。98(。+b-c)=|,求“、b、c的值.

22.计算:

_12

①(813)7-64$+(2019)°；

®(log43+log227)(log38+log916).

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查指数以及对数的化简运算，简单题，分别利用对数的运算性质以及将81写成3。即可得到答

案.

-5

解：(k»g32-log318)4-81=log3；+(34尸=-2记=-6，

故选B.

2.答案：C

解析：

本题考查函数的应用，以及对数的计算，属于基础题.

根据题意，设“年后研发资金开始超过400万元，可得130x(1+12%尸>400,变形分析可得〃

的取值范围，分析即可得答案.

解：根据题意，设“年后研发资金开始超过400万元，

则130X(1+12%)">400,

化为：nlgl.12>2lg2—lgl3,

所以第2020年开始超过400万元.

故选：C.

3.答案：C

解析：解：丫/(n)=log(n+1)(n+2),

••卜=/⑴"⑵-/(n)喑•黑…箭=log2^+2),

.-.n+2=2kke(2,3,4,5,6,7,8,9,10｝时满足要求，

•••当ne［1,2016］时，则''对整数"的个数为9个.

故选：C.

根据题目给出的新定义,把/(1)，/(2),/(3)，…,代入乘积式化简后得k=log2(n+2),则n+2=,

求出［1,2016］内满足n+2=2k的n的个数.

本题考查了对数的运算性质，是新定义题，考查了数学转化思想，解答此题的关键是对乘积式的化

简，是中档题.

4.答案：C

解析：

本题考查了分段函数和对数与对数运算.

利用分段函数的函数值计算，结合对数运算得结论.

就、Jl+log(2

解：函数227工>］，

即有f(―2)=l+log2(2+2)=3,

/Qog,l^=*3=12x1=6,

2

则有f(―2)+/Qog212)=3+6=9.

故选C.

5.答案：A

解析：解：因为Q=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,

因为y=log?第是增函数,所以log??>log25>log23,

ill

「晦7=诉叱=斯,log23=—

所以log32>logs2>log72,

所以a>b>c,

故选：A.

利用loga(孙)=log。％+k>gay(%、y>0),化简mb,c然后比较log32,log52,log72大小即可.

本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于中档

题.

6.答案：A

解析：解：设/'(%)=|%|-2出0出(|%|+2)+。2,

则函数f(X)在定义域(-8,+8)上为偶函数，

2

若关于x的方程设|-2alog2Qx\+2)+a=3有唯一实数解，

则等价为f(0)=3,

22

BP/(O)=-2alog22+a=a-2a=3,

则a2-2a-3=0,

得a=3或a=-1>

当a=3时,方程等价为|x|-610g2(闭+2)+9=3,

即|x|+6=6,og2(|x|+2),

作出函数y=|x|+6和y=6,og2(WI+2)的图象如图，此时两个函数有3个交点，不满足条件.

当a=-1时,方程等价为|耳+2log2(\x\+2)+1=3,

即210g2(优1+2)=2-|x|,

作出函数y=2-四和y=2,og2(|x|+2)的图象如图，此时两个函数有1个交点，满足条件,

故选：A.

构造函数/0)=|刘-2出0%(印+2)+。2,判断函数是偶函数，根据偶函数的性质先进行求解，然

后进行检验即可得到结论.

本题考查了函数的性质的判断与应用及方程的根与函数的关系应用，根据条件构造函数，利用偶函

数的对称性建立方程关系，注意进行检验.

7.答案：A

解析：

本题主要考查函数值的计算，利用条件求出/(x)+/(-%)=8是解决本题的关键，考查学生的计算

能力，属于中档题.

根据条件化简得到/(x)+/(-x)=8,然后利用对数的基本运算即可得到结论.

解：•••f(x)=-X2+bx+4

ax+l

-X2+hx+4,

2(ax-i)

11°

ax+l

-x2-Z?x4-4,

2(ax-l)

・•・/(x)+/(-%)=4+4=8,

lg(Iog81000)=lg(log210)

=lg嗫)=lg(，g2)T=-lg(Z^2),

.•.*/[lg(log81000)]=6得H-lg&2)]=6,

电(仞2)]+/[电(02)]=8,

■■fPg(lg2)]=8-6=2,

故选A.

8.答案：A

解析：解：由对数运算知logs曰=10933-5=—:

故选：A.

利用对数性质、运算法则直接求解.

本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.答案：CD

解析：解：由六维能力雷达图，可得：

A中，乙的记忆能力为4比空间能力与创造力优，所以A不正确；

B中，乙的创造能力为3,甲的创造能力为4,

所以乙的创造能力低于甲的创造力，所以B不正确；

C中，甲的空间想象能力是5,计算能力是4,

故甲的空间能力优于计算能力，所以C正确；

。中，乙的六大能力整体水平为邑=：(5+5+4+4+3+3)=4,

JO

甲的六大能力整体水平为瑞=*(3+4+4+5+5+4)=卷，

可得务<可，即乙的六大能力整体水平低于甲，所以。正确.

故选：CD.

根据六维能力雷达图进行分析判断即可.

本题主要考查合情推理的应用，结合六维能力雷达图进行分析是解决本题的关键，是基础题.

10.答案：AB

解析：解：因为(》T+嫉+2020。=2+4+1=7，故选项A正确；

因为205+lg4-5'。*2=ig25+，g4-2=IglOO-2=2-2=0,故选项B正确；

S^log2(log050.5)=logl=0,故选项C不正确;

因为(Va——a)2=a-l+a—l=2a—2,故选项D不正确.

故选：AB.

直接利用有理指数基及根式的性质，对数的运算法则和运算性质对四个选项逐一判断即可.

本题考查了指数式与对数式的运算，涉及了根式的化简计算，解题的关键是熟练掌握对数式与指数

式的运算性质与运算法则，属基础题.

11.答案：ACD

解析：解：：2x=3,3y=4,

x=log23,y=log34,

xy=log23-log34=2,故A正确：

x=Iog23>log22\[2=|,故B错误;

x+y=log23+log34>2y/log23-log34=2,72>故C正确:

lg3lg4_lg?3—Ig21g4

x-y=log3-log4=

23国2lg3lg21g3

.3-（等）2

即x>y,故。正确.

lg21g3lg21g3

故选：ACD.

推导出x=log23,y=log34,由此利用对数的性质、运算法则能求出结果.

本题考查命题真假的判断，考查指数式、对数式的互化、对数的性质、运算法则等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

12.答案：ABC

解析：解：已知a,b为正实数，(a+*(b+》=ab+表+£+522+2=4,当且仅当a=b=1是

取等号，故(a+；)(b+》24,所以A正确；

因为正实数4,8满足a+b=4,.・.4N化为：ab<4,当且仅当a=b=2时取等号，

则log2a+log2b=log2(ab)<log24=2,其最大值是2.则log2a+log2b的最大值为2,所以B正确；

若a>b,a,6为正实数，有不等式性质有2<白所以C正确；

若a+b=l,i+i=(i+i)-(a+b)=l+4+^+y>5+2=所以力不正确；

故选：ABC.

利用不等式和基本不等式的性质对每一选项进行判断即可.

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

13.答案：5

解析：解：(应2)2+仞2•应50+国25+1"3

=(加2尸+lg2■(IgS+1)+2lg5+3

=(匈2)2+lg2-IgS+lg2+21gs+3

=Zg2ag2+lg5)+[lg2+lg5)+lg5+3

=lg2+1+lg5+3

=(lg2+匈5)+4

=5.

故答案为：5.

把lg50化为35+1,lg25化为21g5,利用32+⑷5=1,结合对数运算法则、性质能求出结果.

本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用.

14.答案：1

解析：解：

1-21og636以+logAIog6(6x3)

际工1=J

i-ziogj+cog^y+a-iogjxi+bg印

X4

HogJ+QogJ)2HqpgH

Jog64

2atoe°笏

fag62

fcge6-hgfi3

=1

15.答案：3

解析：解：(^)-3+(7T-1)0+2log3l-lg2-lg5

=[(|)3]^+1-0-IglO

=3+1-1

=3.

故答案为：3.

利用指数、对数的性质、运算法则直接求解.

本题考查指数、对数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数的性质、运算法则

的合理运用.

16.答案：

2

解析：解：9号=3-3=1,log69+log64=log636=2.

故答案为：52

进行分数指数基和对数的运算即可.

考查分数指数嘉和对数的运算.

17.答案：(1)收25+坨24的0+1/2

22

=lg5+lg2(lg5+l)+lg2

=21g5+lg2«lg5+lg2+lg22

=21g5+lg2+lg2(Ig5^1g2)

=2(Ig5+lg2)

=2：

!_£(\£丫

(2)由x?+x?=3,得x2+x2=9,BPx+2+x1=9»x+x1=7.

k)

解析：(1)利用乘积的对数等于对数的和展开，重新合并后再利用对数的和等于乘积的对数求解;

(2)把给出的已知条件进行平方运算，再根据完全平方公式求出

J_rI，从而即可求得x-x

18.答案：(I)解：-2)=/(2),.•»=().

・•・/(%)=/+c…(1分)

而f(1)>0,A14-c>0.

当％G［0,1］时，由/"(%)<1%-1|得/+c<1-%,即/+%+c-

1<0.

令y=久2+%+。_1要使/(%)<|X-1|对所有%G［0,1］都成立，

只需%noxWO，而y=(%+》2+c-£且函数y在［0,1］上单调递

增,

*'•ymax=12+1+。-l=c+l,故1+cWO.

于是0<14-c<0即1+c=0,・•・c=-1.

・•・/Q)=/—1…(3分)

(/(-l)>0(l-6+c>0

(口)解：由题意知f(l)NO，,1+b+cNO…(6分)

(c<0(c<0

令z=b+2c,画出可行域，

由z=b+2c,得c=-T+|，

由线性规划知识可知一24b+2cV1…(8分)

(HI)证明：由(I)知，/(x)=%2—1,

Vf(x-1)+4a2/(x)>fQ-4/(a),

(x—l)2—1+4a2(x2—1)>(：)2—1-4(a2—1),

21、—xz+2x+31.1《

4Aaz——r>----；——=3o-4-2o——1.

a”x

要使X>郛j，都有f(x-1)+4a2f(x)>f(3-4/(a)成立，只需4a2-22(39+2»>

|)・“(10分)

令y=3妥+2:1(0<群|)

配方得y=3(1+1)2-p当0<[<|时函数y单调递增，

故%nax=3(|+1)2-1=I-因此4a2—*2|,

12a4-5a2-3>0,即刊-3)(3a2+1)>0.

•••a2>:或a?<一式舍)a2>|...(11分)

而在方程16x2_16ax+3=0中，△=64•(4a?-3)>0

••・关于x的方程16/一16ax+3=0有实数根...(12分)

解析：(I)由/(一2)=f(2)得到b=0,求出f(x)=x2+c,而f(l)>0,所以1+c>0,当xe[0,1]

时，由/(%)<\x-1|得％2+c<1—%,即/+x4-c—1<0,令y=%2+%+c—1要使/(%)<|x-

1|对所有X6@1]都成立，只需ymaxWO,而y=(x+}2+c-[,且函数y在[0,1]上单调递增，求

出y的最大值可得到1+c40,于是0W1+cW0即1+c=0,即可求出函数/Q）的解析式;

/(—I)NO「1—b+cNO

(n)由题意知f(l)NO进一步得到1+b+cNO,令z=b+2c,画出可行域，由线性规划知识可

c<01c<0

得b+2c的取值范围；

(皿)由(I)知，f(x)=x2-l,再根据f(x-1)+4a2f(x)>/(》一4f(a)得到(X-l)2-1+

4a2(%2-1)>&-1-4缶2-1),进一步化简得4a2一2士/=3白+23一1,要使久>|时,

aazx2

都有/-1)+402/(为2/(；)-4/0成立，只需4a2-2之(3盘+22—l)m_(xN5令丫=

aCLxxLt

32+2工一1(0<工3|)配方得、=3(L+32—3当0<工39时函数>单调递增，可求出y的最大值，

XXXJX<JoXo

因此4a22：,化简求出a2而在方程16/-16ax+3=0中，△=64•(4a?-3)20,即

可证明关于X的方程16x2-16ax+3=0有实数根.

本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了大量的计算能力，是有一定难度的题目.