新教材人教版高中数学必修第一册 第五章单元测试卷（解析卷）

第五章三角函数（新高考）单元评估A卷（基础）

一、单选题

1.若tana=],tan夕=§,则tan(a+£)=()

\_

A.-1B.1C.D.

-77

1.B

【分析】

直接代入正切的两角和公式即可得解.

【详解】

115

----1---

/八、tana+tan£73

tan(«+/)=-----------=z--A-1

1-tana-tan(3]_1.]一5'

2,36

故选：B.

2.下列各角中，与79°终边相同的是（）

A.349°B.379°C.679°D.799°

2.D

【分析】

根据终边角的定义表示出各角，即可判断.

【详解】

解：对A,349°=360°-11°，故A错误；

对B,3790=360"+19°，故B错误；

对C,679°=360°x2-41°,故C错误；

对D,799°=2x360°+79°,故D正确.

故选：D.

71

3.函数产tan（3x+-）的一个对称中心是（）

6

A.(0,0)B.0）

6

4%

C.0)D.以上选项都不对

9

3.D

【分析】

根据正切函数y=tanx图象的对称中心是（红，0）求出函数尸tan（3x+=）图象的对称中

26

心，即可得到选项.

【详解】

k兀

解：因为正切函数产taiu图象的对称中心是（3，0）,&GZ；

7tkk7CTC

令f3x+一=,解得x=-------,k^Z；

62618

所以函数产tan（3x+J）的图象的对称中心为（"一土，0）,AWZ；

6618

选项ABC都不正确,

故选：D.

4.将函数y=2sin12x+q

的图像向左平移一个最小正周期后，所得图像对应的函

4

数为()

(万、

A.y-2cosl2x+—\

.(7l\

C.y=-2sin2x+—

\3)

4.A

【分析】

T7t

由题意知：图象向左平移一二一个单位，即可写出平移后的解析式.

44

【详解】

T7T

由题意知：图象平移一=一个单位，

44

/./(x)=2sin[2(x+—)+y]=2cos(2x+―).

故选：A

5.若cos(30°—a)—sina=g,则sin(30°-2a)=()

A.

5.D

【分析】

化简cos（30°一a）-sina=；得cos（30。+a）=1,再利用诱导公式和二倍角公式化

简求解.

【详解】

由cos（30°-a）—sina=g,得*cosa-；sina=；，即cos（30°+a）=；,

17

所以sin（30°-2a）-cos（600+2a）-2cos2（30°+«）-1=2x—-1=--.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名

变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.

6.我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法”在《大衍历》中建立了辱影长/与太阳

天顶距。（0’的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据

三角学知识可知，辱影长度/等于表高/?与太阳天顶距。正切值的乘积，即/=/7tan。.

若对同一“表高”两次测量，“唇影长”分别是“表高”的2倍和3倍（所成角记4、

02）,则tan（G-g）=（）

5511

A.-B.——C.-D.一一

7777

6.D

【分析】

根据已知条件得出tan反、tan”的值，利用两角差的正切公式可得结果.

【详解】

由题意知tanq=2,tan%=3,所以

tan仇-tan02-3

tan（q-名）=2

1+tan4tan021+2x37

故选：D.

(7171\

7.已知1£［-5，万＞且3cos2a-8sina=5,则cosa的值为()

1

AR1c2血a

3333

7.C

【分析】

由已知等式结合二倍角余弦公式，可得(3sina+l)(sina+l)=0,根据a的范围即

可求sina,进而求cosar.

【详解】

由已知等式得：3cos2a-8sina=3-6sin2a—8sina=5，

,|H

3sin-a+4sintz+l=(3sina+l)(sintz+1)=0,又［一］,万卜

.•1Bnr.:~;-2V2

..sma=一§,即cosa="I-sirra=.

故选：C.

8.刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当"很大时，用圆内

接正〃边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率万a3.1416.在

《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周

合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想，当万取3.1416时，可得sin20的近似值

A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.03491

8.D

【分析】

由圆的垂径定理，求得A8=2sin2°,根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周

长，列出方程，即可求解.

【详解】

将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4。

由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长AB=2AC=2xlxsin20=2sin20,

因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，

所以90x2xlxsin20=180sin20a2万,

2x3.1416

所以sin2°®—=»0.03491.

180180

故选：D.

二、多选题

9.下列等式成立的是（）

n

.7171V2

A.cos2150-sin215°=—B.sin—cos—=

2884

C.1sin400+—cos40°=sin70°D.tan150=2-V3

22

9.ABD

【分析】

利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.

【详解】

对于A,cos2150-sin215°=cos（15°+15°）=cos30°=~~，故A正确;

对于B,sin—cos—=—sin—=>故B正确;

88244

对于C,—sin40°+—cos40°=sin40°cos60+sin60cos40°

22

=sin（40°+60°）=sin100°=sin80°,故C错误;

对于D,tanl5°=tan（450-30）

1.3

tan45-tan303=2_^,故口正确.

1+tan45tan30V3

1+—

3

故选：ABD

10.（多选题）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

B.该质点的振幅为5

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零

D.该质点的运动周期为0.8s

10.BCD

【分析】

由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；

由简谐运动的特点，可判定C正确.

【详解】

由题图可知，质点的振动周期为2x（0.7—0.3）=0.8s,所以A错，D正确；

该质点的振幅为5,所以B正确；

由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度

最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确.

综上，BCD正确.

故选：BCD.

11.下列函数周期为乃的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanx

D.y=2sin|^2x+—j

11.CD

【分析】

求出各函数的周期后可得.

【详解】

丫=$也%和丁=（：05；1:的周期是2乃，y=tanx的周期是乃，y=2sin[2x+?）的周

期是T=M=万.

2

故选：CD.

V*

12.已知函数/（x）=sinz，则以下结论恒成立的是（）

A./(-%)=-/(%)B./(-x)=/(x)

C./(2万-x)=/(x)D.f(7T+X)=f(7T-X)

12.ACD

【分析】

利用诱导公式逐个验证即可得答案

【详解】

Yx

解：对于A,B,/(-%)=sin(-^-)=-sin-=-/(%),所以A正确，B错误；

j-i-—.2zr-x.xx

对于C,7(2万一x)=sin---=sin(^-^)=sin-=/(x),所以C正确；

7T4-X.7X、X

对于D,因为/(»+%)=sin——=sin(一+-)=cos—，

222

Y

/("x)=sin2=sm(22)=cos-,所以/〃r+x)=/(万一x),所以D正

确，

故选：ACD

三、填空题

13.已知tan(a+?)=g,贝ijtana

1

13.——

3

【分析】

结合两角和的正切公式化简已知条件，由此求得tana.

【详解】

2「+斗，.tana+111

>•=9/.tana=——

I4}21-tana23

故答案为：—

3

14.已知角a的终边过点尸(l,y),若sina=>则y―

3

14.272

【分析】

利用三角函数的定义可求儿

【详解】

y2>/2

由三角函数的定义可得sina=-j=~T~故y=2\/2.

Vr+1

故答案为：2>/^.

15.若cos(a-£)=好，cos2a=M^,并且a,£均为锐角且a<£,则a+夕的值为

510

3兀

15.—

4

【分析】

求得cos(a+尸)的值，由此求得

【详解】

0<6z+/7<^,-^<a-^<0,0<2<z<.T,sin(a-/?)=~^^-,sin2a

cos(a+^)=cos[2a—(a—/?)]

=cos2acos(a-£)+sin2asin(a-£)

72

x+

lo-Tio―_F)2

3兀

所以。+尸=—.

4

故答案为：—

4

16.折扇是一种用竹木做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子.用时须展开，成扇

形，聚头散尾.如图，某折扇的扇骨长度。4=15cm,扇面长度AB=10cm,已知折

3

扇展开所对圆心角的弧度为二，则扇面的面积为.

2

16.150cm2

【分析】

由扇形面积公式即可求出.

【详解】

13,13,,

由题可知，扇面的面积为一X-X15--一x-x5-=150cm-.

2222

故答案为：150cmL

四、解答题

17.已知tana=』，求下列各式的值:

12

4sine-3cosa

(1)--------------；

5cosa+3sintz

(2)4sin2a-3cos2a

16、332

17.(1)——(2)-------

75169

【分析】

利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案.

【详解】

（1）由题意，知tana=2，则

“5°

4x---3

4sina—3cos。4tan«-31216

5cosa+3sina5+3tancz5+3x—75

12

(2)由

4sin2a-3cos2a_4tan2a-3332

4sin12(z-3cos2a=

sin2a+cos2atan2a+1769

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考

查了推理与运算能力.

18.已知sina=|,

cos/?=-=，△是第三象限角，求

(1)cosa与sin£的值；

(2)cos(a—耳).

,、4.〃533

18.(1)cos6z=—,sin(3—---；(2)—

51365

【分析】

（1）根据平方关系计算即可得出cosa,sin/?；

（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.

【详解】

1O

又由cosb=-g/是第三象限角得sin，=—y1-cos2P5

B

（2）由（1）得

cos(or一万)=cosacos/?+sinasin/3=

19.已知函数/(x)=Zsinxcosx+cos?x-sin,x,求

(1)/(用的最小正周期；

7T

(2)当xeQ,-时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.

19.(1)71；⑵/(%=-1,此时X的集合为图.

【分析】

27r

(1)利用倍角公式化简整理函数/(X)的表达式，由周期丁=同.

冗54

(2)先求解2x+：e,由正弦函数性质求解最值即可.

4144_

【详解】

(1)/(%)=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=v2sin2x+-J.

工函数/(x)的最小正周期T=夸二4.

(2)Vxe,/(%)=&sin(2x+C),/.2x+—G—f(x\.=-l.

2444,

..।.7C547C

此时2.XH—=—,••X=一.

442

/(x)取最小值时X的集合为

20.已知函数/(x)=sin0x+gcos<yx®>O)的最小正周期是7.

(1)求。值；

(2)求/(X)的对称中心；

(3)将/(x)的图象向右平移？个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来

的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.

(k兀।454

20.(1)2；(2)—----,0,kGZ；(3)2k/r——,2k7r+——,kGZ.

I2666

【分析】

24

(1)由/(x)=2si:n69X+工|且T=—2=乃，即可求①值;

<3co

(2)由(1)知〃x)=2sin2x+2,结合正弦函数的对称中心即可求〃x)的对

称中心;

(3)由函数平移知g(x)=2sin,结合正弦函数的单调性即可求g(x)的单

调递增区间.

【详解】

(1)/(x)=sin69x+5/3cosft>x=2sina)x+—,又0>0,

I3J

••T2乃k

・I=---=71,

CD

・・・。=2.

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x+y._TC_AR.,kl7C

9令2xH—=k兀9解得x=--------

326

kjr兀

•••/(x)的对称中心是fceZ.

(3)将/(x)的图像向右平移9个单位后可得：y=2sin2x-g,再将所得图像

3\JJ

7t

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：g(x)=2sinx~~

TTITTTjTE

由2%〃一生<x—j42Qr+」，解得2%万一上<x<2Qr+—,IceZ.

23266

jr57r

•••g(x)的单调递增区间为2k*22k4+号,kwZ.

66

【点睛】

关键点点睛:

(1)应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.

(2)根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求/(X)的对称中心.

(3)由函数图像平移得g(x)解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求

g(x)的单调增区间.

21.已知函数/(x)=2cos?x-l,xeR.

(i)求了(%")的值；

(2)求函数，a)的最小正周期；

⑶设g(x)=/([-x+V3cos2xf求g(x)在0,y上的值域.

\JL，_

21.(1)y；(2)]；(3)[-73,21；

【分析】

(1)由二倍角公式得/(x)=cos2x,代入即可求/闺的值；

(2)由(1)所得三角函数式即可求/(x)的最小正周期；

JT7TITIT47r

(3)由已知有g(x)=2sin(2x+—),0,-上有jW2尤+24——即可求值域.

3_2_333

【详解】

(1)/(x)=2cos2x-1=cos2x

-2乃

(2)由(1)知：T=---=--=71；

⑷