上海初三数学自招教学案6：解不等式

第四讲：解不等式

知识梳理：

1.基本公式

(1)关于X的不等式公〉。的解：

①当〃>0时，X>^_;②当4<0时，x<);③当4=0时：

aa

(i)当hNO,解集为空集；(ii)当人<0时，解集为R。

(2)一元二次不等式：ad+Z?x+c>0或〃d+&r+c<0(〃声0)

①若△〉0:

(i)当a>0时，ax2+ftx+c>0的解在方程ax2+bx+c=0的两根之外，即x>%大或xvx小；

0^+6；+。<0的解在方程〃月+云+^二。的两根之间，即x<x<x；

小大

(ii)当。<0时，ax2+bx+c>0的解在方程ax2+fex+c=0的两根之间，B|Jx<x<x；ax2+bx+c<0

小大

的解在方程ax2+bx+c=Q的两根之外，即x>x大或x<x小。

->b

②若△=()：当a>0时，+6x+c>0的解为XX-一；加+bx+c<0的解为空集。

2a

③若△<()：(i)当〃>0时，of+bx+c>0的解为一切实数；ox?+/?尤+£<0的解为空集。

(ii)当。<0时，奴?+么+。〉0的解为空集；云+。<0的解为一切实数。

判别式△=b2-4acA>0A=0A<0

*\

y=+bx+c

（a〉0）的图像

0

y=cue+/7x+c有两相异实根有两相等实根

b

x=x=~—没有实根

Xt,X2(X1<x2)

a>o）的根122a

ax2+Ax+c>0卜

｛尢卜<再或｝R

（a〉0）的解集2aJ

2

办+bx+c<0,（a>0）的解集（+*j<X<x2}00

(3)基本不等式：

①、若a,b£R,贝,当且仅当。=匕时等号成立;

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②、若a,bwR-,则a+bN2源，当且仅当a=Z?时等号成立;

③、若a,b6R",a+b=S,ab=PM

（D如果P是定值，那么当且仅当。=。时，S的值最小;

⑵如果S是定值，那么当且仅当时，P的值最大

④、两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数

⑤、

］（a>0,b>0,当且仅当〃=匕时取等号）.

ab

2.基本结论

（1）不等式的基本原理：

®a-b>0<=>a>b

@a-b<0<^>a<b

@a-b=O<=>a=b

（2）不等式的基本性质：

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变。即：若

a>b>则a+6>8+加；

若a</?,则。+团<Z?+机。

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变。即：若

a>b,且加>0,则am>b/n；

若a<b,且，〃>0,贝！Jam<bma

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。即：若

a>b,且相<0,贝ij<bm；

若a<b,且阳v0,则。机>匕机。

例题精讲:

例1：若加wl,解关于x的不等式7nx-2>x+

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例2：解不等式：2(3无2-5)<1lx

例3：解关于x的不等式：42<+ar-a2<0

例4：解不等式组-x<£—2<x

例5：若不等式0</+奴+544只有一解，求实数a的值。

例6：已知关于x的方程f+(,"+2)x+m+5=0的两根均为正数，求实数，"的取值范围。

第3页

2

例7：若x<2,求x-l+^的取值范围

x-2

x2+7x+10

例8：求y=“十'"十一(%>_1)的最小值

X4-1

1Q

例如已知x>0,y>0,且上+乙=1，求x+y的最小值

xy

例10：已知为正实数，且求xji+y2的最大值

同步练习：

练习1：解不等式：已知关于x的不等式（2〃-力x+>0的解为y"）,解关于x的不等式内>6。

7

第4页

练习2：解不等式—Ze?+3x+5>0

练习3：解关于x的不等式：ax1-(«+1)1<0

[2/—x—6<0

练习4：解关于犬的不等式组:1[厂-(2+ci)x+2a>0

练习5：若关于尢的不等式£-3-l)x-的解集中只有一个整数0,求实数。的取值范围。

练习6：(3〃+5〃-1)2+p+3b+l『0,解关于x的不等式：ax-b>6

4

练习7：已知x>3,求元+1+——的最小值

x-3

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练习8：若x>2,求----------的取值范围.

2%-4

2Q

练习9：若犬>0,y>0且_+2=1，求x+y的最小值

y2

练习10：%y,zcR*,九一2y+3z=0,—的最小值

xz

参考答案

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例1：答案：原不等式<=>(m-1)2+3机

(1)当相>1时，x>；

m-1

......3m+2

(z2)当机<1时，x<o

m-1

25

例2：答案：〈二

32

O62-H-10<0

解析：解：原不等式X’

=(2x—5)(3x+2)<0

所以原不等式的解为-：2<》<5，

32

例3：解析：原不等式=(6x+o)(7…)<0令—1一>著=0,

则。=0

(1)若4>0,则-f<f,原不等式的解为—f<x<f；

6767

(2)若a<0,则原不等式的解为f<x<—f；

6776

(3)若4=0,原不等式变为42f<0,所以原不等式的解集为空集。

例4：答案：l<x<2

解析：原不等式组变为"：：二吃邙信联?)0储对i>3<x<2

所以原不等式组的解为1<x<2。

例5：答案：实数a=±2

解析：若£+办+140有唯一解，则A=a2-4=0,解得a=±2

(1)若。=2,则不等式f+2x+5>0恒成立，所以原不等式组只有一解；

(2)若。=-2,则不等式x2-2x+5>0恒成立，所以原不等式组只有一解;

综上(1)(2)所述，实数。=±2。

例6：答案：-5<根〈一4

解析：依题意得，

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A=(m+2)2-4(/?7+5)>0/n2-16>0m<-4或加>4

<-(〃2+2)>0<=>J/n<-2<777<-2—5<G—4

+5>0m>-5m>-5

所以满足题中条件的实数机的取值范围为-5<m<-4

22

例7：答案：x-l+——=x-2+——+1<-2V2+1

x—2x—2

解析：基本不等式运用

例8：答案：9

.>v,、1,-,x2+7x+10(x+l)~+5(x+l)+44.„

解析r：方法一：当了>-1时，----------=-——-——-——--=x+l+——+5>9,

%+1X+1X+1

当且仅当X+1=」一即X=1时取等号.

X+1

(r-l)2+7(r-l)+10r2+5r+44

方法二：设/=x+lQ>0),则x=原式=-------------------=----------=/+—+5N9

ttt

当且仅当r=&即r=2,x=1时取等号.

t

例9：答案：16

解析：(x+y)(，+2)=l+兰+2+9=10+丝16,当且仅当岂=)即y=3左，

xyyxyxyx

代入J_+2=1可得x=4,y=12时取等号.所以x+y的最小值为16.

例10：答案：——

4

解析：由于％>0,xJl+y=J.(l+y2),乂x+万=]=>y2=2-

22

所以7^(1+/)=-2(3_2丁)=&.2x2(3—2x?)«U(|2X+3-2XY|=3AT

2\2).丁

3

练习1：答案：x<L

5

卜-。<0

解析：由题意得，10即24<6且34=58，即10“<5/?=34,所以a<。，即不等式奴>b的

[la-b~y

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解为x<*=2,所以关于x的不等式以的解为"3。

a55

练习2：答案：-l<x<5

2

解析：整理，得2d—3x—5<0

因为Aug+dOndg〉。，5

X-

方程2犬—3x—5=O的解是X=-

!22

5

故原不等式的解集为Jx-1<X<U

r

2—

练习3：解析：原不等式<=>(ax-1)(x-1)<0

(1)当a=O时，原不等式变为—x+l<0,即x>l；

(2)当awO时令

1-4=0,得a=[

a

①若4<0时，原不等式的解为或X>1；

a

②若0<。<1时，原不等式解为1；

a

③若。=1时，原不等式的解集为空集；

④若。〉1时，原不等式的解为_1<工<1

a

3

练习4：答案：所以当2时，原不等式组的解为:<x<2；

2

33

当-；<x<2时，原不等式组的解为->工<。；

22

3

当时，原不等式的解为空集。

2

解析：不等式2d-x-6<0<=>(x-2)(2x+3)<0<=>一<x<2

2

第9页

不等式x2-(2+a)x+2a>0<=>(x-2)(x-a)>()

(1)当aN2时，不等式的解为x<2,或x>a；

(2)当a<2时，不等式的解为a<a或x>2

所以当2时，原不等式组的解为-;<x<2；

2

33

当一二<x<2时，原不等式组的解为—：<x<a；

22

3

当时，原不等式的解为空集。

2

练习5：答案：0<a<1

解析：解：原不等式=a+i)a—。)<0

当a=-l时，原不等式的解集为空集；

当a<—1时，原不等式的解为a<x<—1,其解集中没有整数0；

当。>一1时，原不等式的解为-l<x<a,要使其解集中只有一个整数0；

则实数a满足的条件是0<aW1。

练习6：答案：%>3

f3a+5。—1=0fa=2

解析：由已知条件得，｛,八，解得《