高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (60)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（60）

一、单项选择题（本大题共13小题，共65.（）分）

1.正三棱柱ABC-aB1C1的所有顶点均在表面积为87r的球。的球面上，AB=5则当到平面

aBC的距离为（）

A.1C.竽D.V3

2.已知正三棱柱ABC-&aG的底面边长为3,外接球表面积为16兀，则正三棱柱ABC-&B1G的

体积为（）

A.苧B—7D・学

•2

3.a,/?为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数为（）（1）若〃/0,mc

a中,则TH〃夕;

(2)若m〃a,nua中,则？n〃n；

(3)7n1a,ml。，n1a,则nl/?；

(4)若m〃a,a10,则ml/?.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在三棱锥P-ABC中，BC1平面PAC,PA1.AB,PA=AB=4,

且E为PB的中点，4FLPC于F,当AC变化时，则三棱锥P-4EF体

积的最大值是（）

A考

B.V2

C.竽

D-竽

5.在三棱锥力—BCD中，AB=BC=CD=DA=出，BD=25二面角/一8。—C是钝

角,若三棱锥A-BCD的体积为2.则三棱锥A-88的外接球的表面积是（）

B.%rC,左兀

A.\2nD.13万

34

6.某几何体的三视图，如图，则该几何体的体积为（）

正住）视图侧（左）视图

俯视图

A.3B.4C.5D.6

7.如图，梯形ABC。中=AB=1,AD=A__________D

45。，将△ABD沿对角线BQ折起，设折起后点A的位置为点4,/

且平面AB。_L平面BC。，则下列结论正确的是（）/

A.A'D1BCB.三棱锥A-BCD的Bc

体积为辿

2

C.CD〃平面48。D,平面力'8C，平面AOC

8.如图，正方体4BCD-4B1GD1的棱长为1,线段aD1上有两个动点E、F,且后尸=点则下列结

论中正确的个数为（）

①AC1BE;

②EF〃平面ABCD；

③三棱锥A-BEF的体积为定值；

④国力EF的面积与团BEF的面积相等.

A.1B.2C.3D.4

9.如图，在矩形48CZ）中，AB=3,40=2,点E为CZ）的中点，F为线段CE（端点除外）上一动

点，现将ADAF沿AF折起，使得平面4BD，平面A8C,则当直线FD与平面A8CF所成角取得

最大时，点。到平面A8C的距离为（）

A.I

10.3。打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的.常在模具制

造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的

直接制造.该技术在珠宝、鞋类、工业设计、建筑、工程和施工、

汽车、航空航天、牙科和医疗产业、教育、地理信息系统、土

木工程，枪支以及其他领域都有所应用.某校组织学生到工厂劳

动实践，利用30打印技术制作如图所示的模型，该模型为在圆

锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥

母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥的底面直径和高都等于2（e+l）cm,打印所用原料密

度为lg/cm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取几”3.14,参考数据:

(V2+1)3«14.07>(V2+1)2«5.83-精确到。1)

A.21.5gB.30.7gC.45.6gD.55.3g

11.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰

直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的

体积与该几何体的体积的比为（）

A.?

「28元

C14历r

•9

D.y

12.已知直线平面Q,0,y,给出下面四个命题:

a邛a//p

①aJLy}=£//y②a//y}=B〃丫

llmm//a

（3）11n）=>m//n（4）m//n}nn//a

其中正确的命题是（）

A.①B.②C.③D.@

13.如图，在圆锥SO中，A8,CD为底面圆的两条直径，ABCCD=0,

且AB1CD,SO=0B=3,SE=-SB.,异面直线SC与OE所成角

4

的正切值为（）

A.亨

BT

C13

c暮

D.半

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

14.如图,则（）

A.直线BDi，平面

B.三棱锥P-4的0的体积为定值

C.异面直线AP与&D所成角的取值范围是45。30490。

D.直线GP与平面&G。所成角的正弦值的最大值为亨

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

15.如图，在正方体ABCD-&B1GD1中，点。为线段BD的中点,设点P在线段CCi上，直线OP

与平面&BD所成的角为a,则sina的最小值____,最大值

16.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=2,E为边A8的中点.将△力DE沿。E翻折，得到四棱

锥A-OEBC.设线段4C的中点为M,在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有BM〃平面占0E；

②三棱锥C-&DE体积的最大值为邛；

③存在某个位置，使OE与41c所成的角为90。.

其中正确的命题是.（写出所有正确命题的序号）

17.如图，已知正方体4BCO-48也1。1的棱长为1,则四棱锥&一

BB15。的体积为.

18.a,乩c,表示直线，M表示平面，给出下列四个命题:

①若可/M,b//M,贝Ua〃b；

②若buM,a//b,则”/M；

③若Q1c,b1c,则。〃b；

④若Q_LM,d1M,则Q〃力.

其中正确命题的序号是（请将你认为正确的结论的序号都填上）.

四、解答题（本大题共12小题，共144.0分）

19.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°,AD=DC=：AB=1,四边形ACFE为正方形,

平面ACFE1平面ABCD.

（1）求证：平面BCFJ■平面ACFE；

（2）点例在线段E尸上运动，是否存在点M使平面AMB与平面ACFE所成二面角的平面角的余

弦值为|,若存在，求线段FM的长，若不存在，说明理由.

20.正三角形ABC的边长为a,将它沿平行于8C的线段PQ折起（其中P在边AB上，Q在AC边上

）,使平面APQJ■平面BPQC.D,E分别是P。，BC的中点.

AA

(I)证明：PQ1平面AOE；

(n)若折叠后，A,8两点间的距离为4,求d最小时，四棱锥A—PBCQ的体积.

21.如图①，在平行四边形ABCQ中，BD1CD,BE±AD,将△ABD沿对角线8。折起，使AB1BC,

连接AC,EC,得到如图②所示的三棱锥4-BCD.

(1)求证：8£_1平面43仁

(2)若ED=L二面角C-BE-D的平面角的正切值为遥，求直线BQ与平面AOC所成角的正

弦值.

22.如图，在几何体ABCOE中C0〃4E,Z.EAC=90°,平面E4C0J_平面ABC,CD=2,EA=1,AB=

AC=2,BC=2V3，尸为的中点.

(1)证明：EF〃平面ABC；

(2)求直线AB与平面BOE所成角的正弦值.

23.如图，在直三棱柱中，。是BC上的一点，AB=AC,且4。1BC.

(I)求证：QC//平面力Bi。；

(口)若ZB=BC=AAj=2,求点4到平面AB/的距离.

24.如图，在四棱锥P—4BCD中，PAIJgffiABCD,底面ABC。为平

行四边形，ABA.AC,且PA=4B=3,AC=2,E是棱PD的中

(I)求证：PB//nAEC-,

(II)求直线PC与平面4EC所成角的正弦值；

(HI)在线段PB上(不含端点)是否存在一点使得二面角M-AC-E的余弦值为噜？若存在,

确定”的位置；若不存在，说明理由.

25.在如图所示的五面体A8CDEF中，四边形ABC。为菱形，且ZD4B=60。，EA=ED=AB=

2EF=2,EF//AB,M为BC的中点.

⑴求证：FM〃平面BDE;

(2)若平面40E_L平面ABCD,求点F到平面BDE的距离.

26.如下图，点C是以A8为直径的圆上的动点(异于A,B),已知4B=2,AE=小，四边形BEDC

为矩形，平面ABC，平面BCDE.设平面EAD与平面ABC的交线为I.

(1)证明：IACD；

(2)当三棱锥力一BCE的体积最大时，求平面AOE与平面48c所成的锐二面角的余弦值.

27.如图，四棱锥P-4BCD中，/.ABC=乙BAD=90",BC=2AD,4P4B和/P4O都是等边三角形。

⑴求证：平面P4B平面PCD；

(2)设Q为PC中点，求QB与平面尸48所成角的正弦值。

28.如图，在多面体ABCDE尸中，四边形ABCO是正方形，BF1平面ABC。，DE1平面ABCD,BF=

DE,M为棱AE的中点.

(1)求证：平面BDM〃平面EFC;

(2)若4B=1,BF=2,求二面角A-BD-M的正切值.

(3)若4B=1,BF=2,求三棱锥A-CEF的体积.

29.如图，已知P是平行四边形ABC。所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点;

Pk

(1)求证：MN〃平面PAD

(2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ〃平面PAD.

30.从①打=2冠，②G是PB的中点，③G是APBC的内心三个条件中任选一个条件，补充在下

面问题中，并完成解答:在四棱锥P-4BC。中，底面A8CO是矩形,PD_L底面ABC。且PC=1,

AB=遮，AD=2,E,尸分别为PC,8。的中点.

(1)判断E尸与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；

(2)若G是侧面P8C上的一点，且________,求三棱锥

G—OCE的体积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题主要考查球的表面积、棱锥的体积及点到面的距离，考查了学生的计算能力，培养了学生分析

问题与解决问题的能力，属于基础题.

利用球表面积公式求得半径，再利用等体积法结合正三棱柱结构求得答案.

解：由已知可求得球。的半径r=V2,侧棱=2J(V2)2-1=2>

设当到平面418c的距离为h,

V

由/1-&BC=C-AZBXB,得：x[x2x遮x|=[x]xV^xJ7-(曰)xh)

解得九=|.

故选B.

2.答案：D

解析：

本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，考查正三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力.

由题意画出图形，求出正三棱柱外接球的半径，进一步求得高，代入棱柱体积公式求解.

解：如图，取△ABC的重心E,△4道1。1的重心E],取4C中点。，

则EE]的中点。是该正三棱柱外接球的球心，0A为球半径,

・••外接球表面积为16兀，

OA2=—=4,则。4=2.

又正三棱柱4BC-4B1G的底面边长为3,

AE=-

则正三棱柱ABC-AiBiQ的高为2.

•'•匕8C-A1JC1=\X3x3XyX2=竽.

故选D

3.答案：B

解析：

本题考查空间中线面、面面平行与垂直的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运

算求解能力.对(1)利用面面平行的性质；对(2)小，〃可能异面；对(3)利用线面垂直的性质可得正确；

对(4)加可能平行仇

解：对(1),利用面面平行的性质可得m〃0,故(1)正确；

对(2),若m〃a,nua中，则m〃n或机，”异面，故(2)错误；

对(3),7m1a,n1a,m//n,又rm13，In1/7,故(3)正确；

对(4),若m〃a,a10,则机〃口也可能成立，故(4)错误；

综上所述，正确的命题有2个.

故选B.

4.答案：C

解析:

本题着重考查了线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积，属于中档题.

等腰RtZiPAB中，算出4E=PE=BE.由线面垂直的判定与性质，证出PB1面AEF,得PB，E凡在

Rt△力EF中，算出AF、EF,可得S-EF，利用三角函数知识，即可得出答案.

解：在Rt△PAB中，PA=AB=4,:.PB=4夜，

・••E为P8的中点，所以451「8,；./^=[/?8=2近，；.「后=8后=2企.

因为BC1平面P4C,AFu平面P4C可得4F1BC,

5LAF1PC,BCQPC=C,AFl¥ffiPBC,

PBu平面P8C,4FJ.PB,4E_LPB且AEnAF=4,

PB_L面AEF,结合EFu平面AEF,可得PB1EF.

•••AF，平面PBC,EFu平面PBC.；.AF1EF.

Rt△AEF^,设NE.4Fn>AF=2\l2cosa>EF=2>/2sina

11r-L

S“EF=,4/•E尸=2x2v2xsinax2y/2cosa=2sin2a

・•.当s沅2a=1,即a=45。时，S—E尸有最大值为2,

此时4F=2,^APC=30°,AC=—,

3

此时，三棱锥P-4EF的体积的最大值为三x2x2或=延.

33

故选C.

5.答案：D

解析：

本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，涉及到三棱锥体积的应用;解题关键是能够通过将三棱锥

补为长方体，通过求解长方体的外接球来求得结果.

取8。的中点O,可得N710C为二面角4-BD-C的平面角且8。L平面40C;利用三棱锥.4-BCD体

积可构造方程求得AC,将三棱锥4-BCD补为长方体BMDG-HC凡4,则长方体外接球即为三棱锥

的外接球，通过求解长方体外接球表面积即可得到结果.

解：如图(1),取的中点O,连接A。，CO,

vAB=BC=CD=DA,：.AO1BD,CO1BD,

.••乙40C为二面角A-BD-C的平面角，BD_L平面AOC.

取AC的中点E,连接0E,设4c=2a,

在△AOC中，AO=OC=\f7^3=2,.e*OE1AC

则。E=V22—a2=>/4—a2,

111

：■VA-BCD=yS/noc•BD=~x—xi4CxOExBD

=ix2V3x2axV4-a2=2,

6

化简得：a4-4a2+3=0,解得：。=遮或。=1,

当a=l时，Z.AOC=60°,不合题意，舍去，［4C=26.

如图(2),把三棱锥4一8。。补形成长方体3时。6-“。尸4使三棱锥A-BCD的各棱分别是长方体的

面对角线，

则三棱锥4-BCD的外接球即为长方体BMDG-HCF4的外接球.

(x2+y2=(2V3)2(x=V6

设BM=x,BG=y,BH=z,则《产+22=(夕)2,解得：)=

(y2+z2=(77)2lz=1

•••外接球的直径为AM=yjx2+y2+z2=V13.

四面体ABCD外接球的表面积为S=4兀x芋=137r.

故选。.

6.答案：C

解析：

本题主要考查空间几何体的三视图，属于一般题.解题关键是还原几何体。

解析：

解：本题的几何体由一个三棱柱和一个四棱柱构成

V=lx2x2+lxlx"2=5,

故选c.

7洛案：D

解析：

本题考查线段垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，棱锥的体积公式.

设B3的中点为E,连接AE,对于4:由4'D_LBC可得出BC1BC,与"BD=45。矛盾;对于B:可得

三棱锥4-BCD的体积为五;对于C:可得CD，平面4BD;对于D:由面面垂直的判定可得出平面4BC±

6

平面40C.

解：设8。的中点为E,连接AE,如图所示，

对于A,因为AB=A'D,所以AE1BD,又平面ABD1平面BCD,

则4E1平面BCD,A'E1BC,

若A'DJLBC,A'DCtA'E=A',则BC_L平面ABO,

所以BC1BD,与4CBD=45。矛盾，故A错误；

,

对于&VA.-BCD=\S^BCD-?lE=|xixV2xV2x^=^,故B错误;

55ZLO

对于C,因为Z'El平面BCD,则力'ElCD,

又CDLBD,A'EOBD=E,所以CD1平面4'BC,故C错误；

对于。，由C知CO_L平面A'8。，4'8<3平面48。，贝UCOlA'B,

又A'B1A'。，A'DnCD=D,

所以4'B，平面4DC,又4Bu平面ABC,

所以平面ABC_L平面4DC,故。正确.

故选£>.

8.答案：C

解析:

本题考查命题真假的判断，是基础题，涉及到空间位置关系，属于基础题.

连结B。，则AC1平面BD〃B、D\,点A、B到直线当久的距离不相等，由此能求出结果.

解：连结8D,则AC_L平面BD“B[Di，

.■.AC1BE,EF/mABCD,三棱锥力-BEF的体积为定值,

从而A,B,C正确.

・・・点A、B到直线81。1的距离不相等，

4EF的面积与48EF的面积不相等，

故。错误，正确的个数为3个.

故选C.

解析：

【试题解析】

本题考查线面角取最大值的点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，是中档题.

在矩形48C。中，过点。作AF的垂线交AF于点。，交4B于点M,连接设CF=x(0<x<1.5),

AM=y,由△DAMs/iFZM,推导出y=/，由0<x<1.5得g<y<会在翻折后的几何体中，推

导出DMJL平面ABC,贝叱MFD是直线尸。与平面ABC尸所成角，设NMFD=。，由此能求出。最大值

时D到平面ABC的距离.

解：如图，在矩形A8CD中，过点。作AF的垂线，交AF于点0,交AB于点M,连接FM,

设CF=x(0<x<1.5),AM=y,

DF//AM,四边形ABC。是矩形，AFLDM,

DAM^^FDA,—=—,y=AM=

ADDF/DF3-X

48

0<x<1.5,：.-<y<-,

3，3

在翻折后的几何体中，

■■■AF1OD,AF1OM,ODdOM=0,OD、OMu平面ODM,

AF1平面ODM,

又AFu平面ABC,.•.平面ODM_L平面ABC,

又平面ADB_L平面ABC,平面408n平面。DM=DM,

DM_L平面ABC,

则NMFD是直线尸。与平面ABCF所成角，设zMFD=6,

________4

DM=y/AD2-AM2=J4-y2,DF=3—x=-,

•••sin。=黑=:y,4_y2=^4y2-y4=^4-(y2-2)2,

•••费”2＜弟...当/=2时，sin。取到最大值，最大值为也

・•・当直线与平面ABCF所成角取得最大时，点。到平面A8C的距离为近.

故选C.

10.答案：A

解析：

本题主要考查了圆锥的体积公式，正方体的体积公式，属于较难题.画出图形，由三角形相似可得各

长度，利用体积公式可得体积，进而得出所需材料质量.

解：如图，

设被挖去的正方体的棱长为xcm,由（半）轴截面中的直角三角形相似，即回PBF相似于回HBC,

由“C=&+1，HB=2(V2+1),HG=PF=晋，HP=x,

唬噜得熹=噂等

解得x=2.

则该模型的体积V3.14x(V2+I)2x2(V2+1)-23k21.45cm3,

所以制作该模型所需材料质量约为m=Vp^21.45x1«21.5g.

故选A.

11.答案：C

解析：

本题考查球的表面积的求法，三视图的认识，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的

培养.

根据三视图求解外接球的半径，可得球的体积，求解三视图体积，即可得结论.

解：由题意，俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，

设等边三角形的边长为a,可得几何体的体积为U=3x±x立axa=@a3.

32212

根据三视图，等边三角形的外接圆半径r=/.设三视图的外接球的半径为R,

圆心与球心和等边三角形的顶点构成直角三角形，

可得：G）2+，=R2,=

球的体积U=±兀R3=斗.

318V3

球的体积与该几何体的体积的比为：咚一^a3="兀.

18遍129

故选C.

12.答案：B

解析：解：①;：/}=/?〃了不正确，可能口■1•/，比如墙角存在相互垂直的三个平面；

@a//Y}=0〃y正确，由面面平行的公理可得；

③/设}=也〃兀不正确，可能“，〃相交或异面；

④m〃n}=n〃a不正确，可能nca-

故正确的为②.

故选：B.

由墙角存在相互垂直的三个平面，可判断①；运用面面平行的传递性，可判断②；

由线线的位置关系，可判断③；由线面平行的性质和线面位置关系，可判断④.

本题考查空间线面的位置关系的判断，注意运用面面平行和垂直的性质、线面平行和线线平行、垂

直的性质，属于基础题.

13.答案：D

解析：解：如图，过点S作S/7/0E,交AB于点F,连接CF,则NCS尸即为异面直线SC与0E所成

的角,

■.■SE=^SB,.：SE=\BE,

又OB=3,•••OF=：0B=1,

SO1OC,SO=OC=3,・•・SC=3^2;SO1OF,SO=3,OF=1,，SF=

V10;OC1OF,OC=3,OF=1,CF=V10,

J（同A（乎TVu

・•・等腰△SC尸中，tan4CSF=T，一“，—-------

3V2-3

故选：D.

可过点S作S/7/0E,交AB于点八并连接CF,从而可得出NCSF为异面直线SC与OE所成的角,

根据条件即可求出SC=3V2,SF=CF=V10,这样即可得出tan/CSF的值.

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，正切函数的定义，平行线分

线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.

14.答案：ABD

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，异面直线成角，线面角等

基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

在4中，由B51&C1，同理是由判定定理得结论；在8中，B1C〃平面为口。，三棱

锥P的体积为定值；在C中，当P与Bi重合时，直线A尸与成角柒当尸为&C的中点时，

直线AP与4。成角为今直线AP与所成角的取值范围是［60。,90。］,故C不正确；在。中，由

点点P到平面4GD的距离求线面角.

解：在A中，连接反。1，则BDi在平面力1B1C15的投影为B15,41cl_13也,

BD11&G，

同理是BDi1Dj

乂4iGnDC】=G，

.••直线BD1_L平面&G。，A正确；

vBrC//ArD,8修。平面416。,4。0：平面416。,

•••BiC〃平面4GD,

Ap到平面4G。的距离是定值，

三棱锥P-46。的体积为定值，故B正确；

在C中，当户与当重合时，直线AP与4D成角g,当P为&C的中点时，直线AP与4。成角为今.•.直

线4P与4O所成角的取值范围是［60。,90。］,故C错误；

在。中，设点P到平面的距离为力，

力1-4CM=^D-AC1B1=,X5XlXlXl=w=,xfx(V2)Xfl，

.•.九=争当点P为8传的中点时，直线GP与平面所成角的正弦值的最大值为圣故。正确.

故选：ABD.

15.答案：且；1

3

解析：

【试题解析】

此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题.

由题意，直线。尸与平面aBD所成的角a的最小值为和中的最小者，然后利用正方体

的性质和直角三角形的边角关系，求出sina的取值范围，再确定其最值

因为8DLAC.BDlAA^ACoAA1=A,

AC、AATu平面ACCI人,

所以801平面4CCi4,

又BDu平面&BD,

所以平面力//)_L平面ACG4,

所以直线0P与平面&BD所成的角a的最小值为乙40%和中的较小者,

不妨设4B=2,

AA_2_V6

在RtEMOAi中，sin乙4。&t

A10x/2z+23

sinz.C1OA1=sin(7r-2Z71041)=sin2z7104i

=2sin4A0Ai•cosZ-AOA1

=2*匹乂巫=咨＞量,

3333

所以sina的取值范围为[等,1],

所以sina的最小值为华，最大值为1,

3

故答案为华；1.

3

16.答案：①②

解析：

本题考查命题的真假的判断，直线与平面平行，直线与平面垂直以及几何体的体积的最值的求法，

属于难题.

利用直线与平面平行的判定定理判断①的正误；求出棱锥的体积的最大值，判断②的正误；利用直

线与平面垂直判断③的正误；

解析：

解：取。C的中点为F,连结FM,FB,

可得M/〃右。,

又MFC面4DE,ArDu面4CE,

所以MF〃面&DE,

同理BF〃面&DE,

又BFCiMF=F,BF,MFu平面M8F,

可得平面MBF〃平面&DE,

又BMu平面MBF,

所以BM〃平面&DE,所以①正确；

当平面40E与底面ABC。垂直时，三棱锥C-n/E体积取得最大值，

易知AD=AE=2,44=90°,

所以DE=2近，

同理CE=2近，

所以UE?+OE2=CD?=16,即DEJ.CE,

因为平面4DE1底面A8CD,且交线为DE,CEu平面A8CD,

所以CE1面AiDE,

所以三棱锥C一体积最大值=ixi/ljDx&ExEC=gx[x2x2x2&=等,

所以②正确.

假设存在某个位置，使DE与4c所成的角为90。.

因为CE_LEC,CE14C,ECn&C=C,EC,4传u平面&EC,

所以DE1平面&EC,

又&Eu平面&EC,

可得OEJ.&E,即AEJ.OE,矛盾，

所以③不正确.

故答案为：①②.

17.答案：1

解析：

本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键.求出四棱锥的底面面积与高，然后

求解四棱锥的体积.

解：由题意可知四棱锥&-BBiDiD的底面是矩形，边长分别为1和近，

则四棱锥为一BB也。的体积为：|xlxV2x^=|

故答案为：

18.答案：④

解析：解：由a,h,c表示直线，M表示平面，知：

①若a〃M,b//M,则〃与6平行、相交或异面，故①错误;

②若buM,a//b,则a〃M或auM,故②错误；

③若a_Lc,blc,则〃与匕相交、平行或异面，故③错误；

④若a_LM,blM,则由直线与平面垂直的性质得a〃上故④正确.

故答案为：④.

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养.

19.答案：(1)证明：在梯形A8CC中，

因为AB〃CD,AD=DC=1,/.ADC=p所以AC=企，

又因为48=2,取A8中点尸，连接PC,则。。=1,PB=1,易知BC=a，

所以力”=AC2+BC2,

所以BC14C.

因为平面ACFE1,平面ABCD,平面4CFECI平面4BC0=AC,BCu平面ABCD,

所以BC平面ACFE,又BCu平面BCF.

所以平面BCF，平面ACFE；

(2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系,

令FM=/l(0W44V2).则C(0,0,0),V2,0,0),F(0,V2,0).M(1,O,V2).

所以n=(-A/2,V2,0)>AM=V2,0,V2)>

设汨=(%y,z)为平面MAB的一个法向量,

由(元.9=0得](入-V2)X+V2z=o

〔近•=0I-y/2x+y[2y=0

取x=V2>则n1=(V2,V2,V2-4)，

因为E=(0,1,0)是平面ACFE的--个法向量,

设平面MAB与平面ACFE的夹角为。，

亏对V22

所以coseI

l?hll^|12+2+(戊"/XIJ(A->/2)2+43,

可得；t=士，即FM=」

22

解析：本题给出特殊多面体，求证线面垂直并探索二面角的大小问题.着重考查了线面垂直、面面

垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点，属于较难题.

⑴由题意证出BC14C,由平面ACFE1平面ABC。，证出BC1平面AC尸E,结合面面垂直的判定定

理即可证出平面BCFJ_平面ACFE；

(2)建立分别以直线CA,C3,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=4(0W4WV2).

求出面MA8的一个法向量：扇=(V2,V2,V2-A).因为R=(0,1,0)是平面ACFE的一个法向量，

n|n7-nj|V22L

由cos"百旷Ni",可得FM=乎

20.答案：证明：(/)连接A。，DE,AE,

在A4PQ中，AP=AQ,。是PQ的中点，所以4DJ.PQ.

又因为QE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以DE1PQ.

而4。ROE=。，所以PQ1平面AOE.

解：(〃)因为平面APQ1平面8PQC,AD1PQ,所以4。1平面尸BCQ,Q

连结BD,则d2=AD2+BD2.--------7C

设OE=9a-x(E为BC的中点)，欢，

=DE2+BE2=(ya-x)2+^a2.

d2=x2+BD2=x2+DE2+BE2=/+(当a—x)2+^a2=2(x-^a)2+|a2>

当久=fa时;dmin=半a•

此时四棱锥A-PBCQ的体积为:xS梯形PBCQx4。=：x超+a)x苧axfa=条3.

解析：(/)连接A。，DE,AE,可证4C1PQ,DELPQ,从而可证PQ_L平面AOE.

(〃)设AD=x,。七=亨。一双后为死的中点)，则计算可得d2=2(%-产。/+次，从而可得d何

时最小并能求得此时四棱锥4-PBCQ的体积.

线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线

垂直于两个平面的交线.立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最

后根据函数的性质得到最值.

21.答案：证明：(1),••在平行四边形4BCO中，BD1CD,：.BD1.AB,

在三棱锥A-BCD中，因为ZB1BC,BCCBD=B,BC、BDu平面BCD,

AABJ_平面BDC,

vCDu平面BDC,AB1CD,

■：CDLBD,ABCtBD=B,AB.BOu平面ABO,

•••CDJ_平面ABD,

vBEu平面ABD,:.BE±CD,

•••BE1AD,ADCtCD=D,AD,CDu平面AC。，

BE，平面ADC.

解:(2)由(1)知BE_L平面4OC,

因为ECu平面ADC,所以BE_LEC,

乂BE1ED,所以zDEC即为二面角C—BE-D的平面角，即tan/OEC=遍.

因为CO，平面ABD,ADu平面AB。，

所以CD_LAD,

故tanz_DEC=*=V6,

又ED=1,所以4B=CD=瓜

在平行四边形ABC。中，乙ADB=LDBC,乙BED=LBDC=90°,

所以△DEB*BDC,则重=黑，

设BD=m(m>0),贝ijBC=Vm24-6,

故5=7^，解得加=6，

所以BO=V3,BC=3.

过点D作。?〃48,以。为坐标原点，以而，觉，前的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间

直角坐标系，如图所示.

则。(0,0,0),yl(V3,0,V6).C(0,V6,0),B(V3,0,0),

所以方=(百,0,通)，DC=(0,V6,0),~DB=(V3,0,0)，

设平面4OC的法向量为元=(x,y,z),

ll!，fn-DA-V3x+V6z=0

1n•DC-V6y=0

令z=-显,得元=(2V3,0,-V6),

设直线BZ>与平面ADC所成角为仇

^sin3=\COs<DB,五>|=蠲^而隔=争

即直线8。与平面AOC所成角的正弦值为军.

3

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)推导出4B1BD,AB1BC,从而4B_L平面BDC,进而481CD,CDJ_平面ABD,BE1CD,

再由BELAD,能证明BE1平面AOC.

(2)由BE1CE,BE1DE,可得“EC即为二面角C-BE-D的平面角，由其正切值为后，且ED=1,

可得CO=通，利用△DEBsaBDC,可解得BO=百，BC=3.过点。作DF〃4B,以。为原点，以

而，尻，丽的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线

与平面ADC所成角的正弦值.

D

证明：（1）取BC中点G,连接FG,

AG,

又•••F为BO的中点，CD=2EA,CD//AE,

•••FG=1CD=EA,S.FG//AE,

••・四边形AGFE是平行四边形，

EF//AG,

而且EFC平面ABC,AGu平面ABC,

：.£77/平面ABC；

解：(2)•••^EAC=90°,平面EACD_L平面ABC,平面EACDn平面ABC=AC,EAu平面EACD,

EA_L平面ABC,

由(1)知IFG〃/IE,FG1平面ABC,

又•.•2B=AC,G为BC中点，

二AG1BC,

如图，以GA,GB,GF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(1,0,0),B(0,V3,0).D(0,-V3,2)，E(l,0,1),

AB=(-1,73,0).BD=(0,-2V3,2)，BE=(1,-V3,1)-

设平面BDE的法向量为元=(x,y,z),

则巧•曳=。,即9=。，

(五•BE=0(x—v3y+z=0

令y=l,得元=(0,1,6)，

••・直线AB与平面班加所成角的正弦值为繇=乎

解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(1)取8c中点G,连接尸G,4G推导出四边形AGFE是平行四边形，从而EF//AG,由此能证明EF〃

平面ABC；

(2)推导出瓦4上面ABC,FG_L平面ABC,AG1BC,以GA,GB,GF所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，利用向量法能求出直线A8与平面2CE所成角的正弦值.

23.答案：解：(/)如图，

连接8必，交于点E,再连接。E,

据直棱柱性质知I,四边形4BB14为平行四边形，E为4当的中点,

•.•当ZB=4C时，1BC,二。是BC的中点，DE〃&C,

又DEu平面也0,ArCC平面ABD:.41c〃平面48也

(〃)如图，

在平面BCG当中，过点B作BF_LBiD,垂足为尸，

•••。是BC中点，.•.点C到平面AB］。与点B到平面AB］。距离相等，

•••&C〃平面4B1D,.•.点&到平面4勺。的距离等于点C到平面ABm的距离，

BF长为所求，在RtgB。中，BD=1,BBr=2,B1D=相,二BF=亲=学,

•••点A到平面4/。的距离为卓.

解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空

间思维能力的培养.

(/)利用几何关系可证得CE〃&C,然后利用线面平行的判断定理即可证得&C〃平面4BQ

(〃)由题意首先确定点4到平面的距离为点C到平面/&D的距离，结合几何关系可得其距离

为2遍

24.答案：解：(I)证明：连接BO交4c于点0,并连

接E0,

•••四边形ABC。为平行四边形，二。为8。的中点,

又•:E为P。的中点,

.♦.在△PDB中E0为中位线，E0//PB

vPB<4面AEC,E。u面AEC,

PB〃面4EC.

(II)证明：•.•在四棱锥P-4BCD中，P41底面ABCQ,

底面ABC。为平行四边形，AB1AC,且P4=AB=3,

AC=2,E是棱PO的中点.

.,•以A为原点，AC为无轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

P(0,0,3),C(2,0,0),4(0,0,0),D(2,-3,0),E(l,一；,‘

4E=(1,-1,|),~AC=(2,0,0),PC=(2,0,—3),

设平面AEC的法向量沆=(xj,z),

-m=x--y+-z=0„,//口一，、

22，取y=l,得m=(0,l,1),

S•m=2x=0

设直线PC与平面AEC所成角为巴

则直线PC与平面AEC所成角的正弦值为:

c一国丽-3_W26

SinU-|PC|.|m|-V13.V2——,

(皿)假设在线段PB上(不含端点)存在一点使得二面角M-AC-E的余弦值为噜,

设M(a,b,c),PM=APB，8(0,3,0),则(a,b,c-3)=1(0,3,-3),

解得a=0,b=32,c=3-3A,M(0,3A,3-34),

AC=(2,0,0),祠=(0,34,3-34)，

设平面4cM的法向量有=(p,q,t),

则££=2p=0,取，得六(°』,£),

••・二面角M-AC-E的余弦值为包.

10

.'.|co<m,n>|=g!Vio

Sio

解得2=q或；I=|.

•••在线段PB上（不含端点）存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值为黑,

且由=［而或可7=|丽.

解析：（1）连接8。交人（？于点。，并连接EO,推导出EO〃PB,由此能证明PB〃面AEC.

（U）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，4P为z轴，建立空间直角坐标系，设平面AEC的法向量

沆=（x,y,z）,由向量垂直的数量积的坐标表示可得法向量，再由向量的夹角公式可得所求值；