高中数学函数的单调性教学教案

函数的单调性

一、教材分析

《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的

定义与判断及其证明。在学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性.这

节内容是有关内容的深化、延伸和提高.这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概

括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对

于某个区间来说的.教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，

又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察

图像得出猜测结论，进而用推理证明猜测的体系.函数的单调性是函数众多性质中的

重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延

续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函

数、幕函数及其他函数单调性的理论根底；在解决函数值域、定义域、不等式、比拟

两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究

函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情与教法分析：

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对

函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的

图象观察出"随着自变量的增大，函数值增大'’的变化趋势，而不能用符号语言进行

严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。

所以在教学中要找准学生学习思维的"最近开展区”进行有意义的建构教学。在教学

过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格

式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿

逐渐过渡到独立的证明。

三、教学目标与教学重点、难点

依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标

为：

1.通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程

的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质；

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步

骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力；

3.能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必

要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂

教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函

数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论"过程学生不易掌握。

所以对教学的重点、难点确定如下：

教学重点：函数的单调性的判断与证明；

教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调

性。

四、教学过程一知识点教学

〔一1、函数的单调性

1.增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间D三A如果对于D内的任意两个自变量的值

XI、X2,当X1<X2时，都有f(Xi)<f(X2),那么就说f(x)在区间。上是增函数。

如果对于。内的任意两个自变量的值XI、X2,当X1<X2时，都有f(Xi)>f(X2),那么就说

f(x)在区间。上是减函数。

知识点诠释：

(1)属于定义域A内某个区间上；

(2)任意两个自变量芭,&且X,</；

(3)都有/(X)</(%)(邺(西)>/(£))；

(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的。

2.单调性与单调区间

[1]单调区间的定义

如果函数f(x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间。上具有单调

性，。称为函数f(x)的单调区间.

函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

知识点诠释：

①单调区间与定义域的关系一一单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间;

④有的函数不具有单调性.

(2)解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

3.证明函数单调性的步骤

(1)“々是，(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且芭＜/；

(2)变形.作差变形〔变形方法：因式分解、配方、有理化等〕或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.

4.函数单调性的判断方法

(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照"取值一变形一判断符号一下结论“进

行判断。

(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。

(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间。

(4)记住几条重要的常用结论

①假设/(X)是增函数，则-/(x)为减函数；假设/(x)是减函数，则-/(x)为增函数；

②假设/(%)和g(x)均为增〔或减〕函数，则在/(%)和g(x)的公共定义域上

/(x)+g(x)为增〔或减)函数;

③假设/(X)>o且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数；假设

/(x)

/(%)>0且/(X)为减函数，则函数J府为减函数，7缶为增函数。

5.复合函数单调性的判断

讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握根本函数

的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，

然后分别判断它们的单调性，再用复合法则：

[1]假设"=g(x),y=/(")在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则

y=/[g(x)]为增函数；

〔2〕假设“=g(x),y=./"(〃)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数,则

>"[g(切为减函数。

列表如下：

u=g(x)y=/(«)y=/[g(x)]

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数单调性可简记为"同增异减"，即内外函数的单调性相同时递增；单调性相异

时递减。

因此判断复合函数的单调性可按以下步骤操作：

[1]将复合函数分解成根本初等函数：y=/(〃),〃=g(x);

(2)分别确定各个函数的定义域；

〔3〕分别确定分解成的两个根本初等函数的单调区间。

假设两个根本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则)，=/[g(切为增函

数；假设为一增一减或一减一增,则y=/[g(x)]为减函数。

知识点诠释：

(1)单调区间必须在定义域内；

[2]要确定内层函数〃=g(x)的值域,否则就无法确定了(“)的单调性。

〔3〕假设/(x)>0,且在定义域上/(x)是增函数，则

>1且〃GM)都是增函数。

6.利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性,再求最值

常用到下面的结论：

(1)如果函数y=/(x)在区间(名目上是增函数，在区间[0,c)上是减函数，则函数

y=/(%)(%ea,c)在尤=b处有最大值f(b)。

(2)如果函数y=/(x)在区间(a,々上是减函数，在区间［8,c)上是增函数，则函数

y=/(x)(xea,c)在x=b处有最小值/(勿。

假设函数)，=/(幻在［a,句上是严格单调函数，则函数y=/(x)在［。回上一定有最

大、最小值。

〔3〕假设函数y=/(x)在区间［a,々上是单调递增函数，则y=/(x)的最大值是

f(b),最小值是/(a)。

(4)假设函数y=/(x)在区间卜，3上是单调递减函数，则丁=/。)的最大值是

/⑷,最小值是『3)。

7.利用函数单调性求参数的范围

假设函数的单调性，求参数。的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数。

的不等式，利用下面的结论求解。

⑴a>f［x)在［m,n］上恒成立oa>/(x)在［m,n］上的最大值。

(2)a<f(x)在［m,ri\上恒成立=a<f(x)在［in,n\上的最小值。

实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和

最小值问题。

〔二〕、根本初等函数的单调性

1.正比例函数y=kx(kwO)

当k>0时，函数y="在定义域R是增函数；当k<0时，函数y="在定义域R是

减函数.

2.一次函数y=kx+b（k，0）

当k>0时，函数y=在定义域R是增函数；当k<0时，函数y=Ax+b在定义

域R是减函数.

3.反比例函数>=&(b0)

X

当%>0时，函数y=：的单调递减区间是(—,0),(0,+8),不存在单调增区间；

当％<0时，函数y=：的单调递增区间是(-8,0),(0,-+W),不存在单调减区间.

4二次函数y=ax2+bx+c(a^0)

hh

假设a>0,在区间(―8,_2］,函数是减函数；在区间+8),函数是增函数;

2a2a

hh

假设a<0,在区间(-oo,_=］,函数是增函数；在区间［一二，+oo),函数是减函数.

2a2a

〔三〕、典型例题

1.类型一：函数的单调性的证明

例1.：函数/(x)=x+，

X

［1］讨论/(X)的单调性.

〔2〕试作出f(x)的图象.

［思路点拨］此题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径。

［解析］〔1〕设XI,X2是实数集R上的任意实数，且X1<X2,则

f(xl)-f(x2)=x1+—-(X,+-)

X|X2

11

=(X]_X,)+(-------)

XlX2

X-X

/x2lL

=(x,-x2)+^——

X!X2

=(X]-x2)(l----)

、/X|X2-1\

=(Xj-X2)(-L--)

■X1X2

①当王<T时，Xi-X2<0,1<X1X2

YY—1YY—1

—>0,故(x「X2>(^—)<0,即f(Xi)-f(X2)<0

X|X2X,X2

，X1<X2时有f(Xi)<f(X2)

；.f(X)=X+L在区间(-8,-1)上是增函数.

X

②当-1<X1<X2<O；.Xi-X2<0,O<X1X2<1

,.O<X1X2<1~-<0

X1X2

故(X|-~-)>0,即f(Xl)-f(X2)>0

XIX2

，X1<X2时有f(Xl)>f(X2)

.•.f(x)=x+，在区间(T,0)上是减函数.

X

同理：函数f(x)=x+L在区间(0,1)是减函数函数f(x)=x+，在区间。，+8)是

XX

增函数.

［总结升华］

（1）证明函数单调性要求使用定义；

（2）如何比拟两个量的大小？（作差）

⑶如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）

［举一反三］:

［变式1］证明函数/（X）=-+5在［1,4W）上是增函数.

［解析］此题考查对单调性定义的理解,在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.

证明：设xi,X2是区间［1,+8）上的任意实数，且X1<X2,贝!］

9191

f（xJ_f（X2）=X；+--X2---7

22

z22、X2-X.

=(x,--x2-)+-2,,

X]x2

区T)a一志)

z22\X；X2-1

=(…)5

X]工2

，与VZ.'.X14-X>0,X1

.；%、WG[1,-H»)2-X2<O,XjX2+1>0,x}x2-1>0.

<0,即/a)</(w)

・•・/(X)=V+J在［1,+00)上是增函数。

2.类型二：求函数的单调区间

例2.判断以下函数的单调区间；

(l)y=x2-3|x|+2;(2)y=|x-1|+J(X-2)2

［思路点拨］对x进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

［答案］⑴f(x)在［oo,-|上递减，在［［,()］上递增，在［0,方上递减，在|，+°°)上

递增.

(2)f(x)在(-8,1］上递减，在［2,+00)上递增.

［解析］(1)由图象对称性，画出草图

，f(x)在上递减，在上递增，在［0,|］上递减，在；,+8)上递增.

-2x+3(x<1)

⑵y=|x-l|+|龙一2|=1(l<x<2)

2x-3(x>2)

.•图象为

；.f(x)在(-8,1］上递减，在［2,+oo)上递增.

［举一反三］：

［变式1］求以下函数的单调区间：

(l)y=|x+l|;(2)y=—;(3)y=［;(4］y=|x2-2x-3|.

2x-lx2

［答案］〔1〕函数的减区间为(-8,-1］,函数的增区间为(-1,+OO)；(2)

在1―上为减函数；〔寸y=g单调增区间为：(-8,0),单调减区间为

(0,+8)；单调减区间是〔-8,-1),〔1,3〕；单调增区间是［-1,1),(3,+8〕

x+l(x>-l)

［解析］⑴“=<画出函数图象，

-x-l(x<-1)

.函数的减区间为(一8,—1］,函数的增区间为(-1,+OO);

(2)定义域为设u=2x—l,y=：,

其中u=2x-l为增函数，y=L在(-8,0)与(0,+8)为减函数，则

U

y=丁二在［-g,上为减函数；

2x-lV2八2J

(3)定义域为(-8,0)U(0,+oo),y=二单调增区间为：(-OO,0),单调减区间为(0,

X

+8)。

(4)先画出y=x2-2x-3,然后把x轴下方的局部关于x轴对称上去，就得到了所求函

数的图象，如以下图

所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是(-co,-1),〔1,3〕;单调增区间是［-1,1］,

〔3,+8〕。

［总结升华］

(1)数形结合利用图象判断函数单调区间；

〔2〕关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.

〔3〕复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；

利用函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化=复合函数为增函数；内外层函数反向

变化n复合函数为减函数.

3.类型三：单调性的应用(比拟函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

例3.函数/(%)是定义域为R的单调增函数.

［1］比拟/(1+2)与/(2a)的大小；

(2)假设/(/)>/(a+6),求实数。的取值范围.

［思路点拨］抽象函数求字母取值范围的题目,最终一定要变形成f(x)>/(y)的形式，

再依据函数/(%)的单调性把f符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。

［答案］⑴f(a2+2)>f(2a);［2］a>3或。<-2.

［解析］〔1〕因为/+2-2。=3-1)2+1>0,所以"+2〉2a,由，/(x)是单调增

函数，所以/(。2+2)〉/(2。).

(2)因为/(x)是单调增函数，且/(/)>/(。+6),所以标>。+6，解得a>3或

a<—2.

例4.求以下函数的值域：

(l)y=铝;l)xe［5,10］；2)xG(-3,-2)U(-2,1);

(2)y=d-x1+2尢+8;

(3)y=4x+<3x-1-2;

(4)y=x+V1-2x.

【思路点拨](1)可应用函数的单调性;(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；

(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二

次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.

[答案]⑴1],2]u(7,+«))；⑵[0,3]；(3);[4]

(-8』.

[解析K1)y=2("+2)二5=旦+2可看作是由丁=0左移2个单位，再上移2个

x+2x+2x

单位得到，如图

2)ye(-oo,/(l))u(/(-3),+a))BP(-oo,1)u(7,+oo);

222

my=J-Ol)2+9,v(x-1)>0,.-.-(x-1)<0,/.0<-(x-l)+9<9,.\JG[0,3].

/

⑶•.•3x-lN0,r.x2g,经观察知y在[；，+8)上单增，二yN/(；)=-|

“一|,+00

[2][[

(4)令Jl-2x=JN0/.y=—/-+/=--/2+r+-=--(Z-l)2+1,/.ye(-oo,ll.

2222'」

[举一反三]:

[变式l"(x)=-12x+5,当/(%)的定义域为以下区间时，求函数的最大值和最小

值.

〔1〕［0,3］;［2］［-1,1］;⑶［3,+8〕.

［答案］⑴在区间［0,3］上，当x=2时,f(x)min=-7;当x=0时，f(x)1rax=5.

(2)在区间卜1,1］上，当x=l时,/(x)min=一4;当x=—1时，，初皿=20.

［3］在区间［3,+8］上，当》=3时，/(x)min=-4;在这个区间上无最大值.

［总结升华］:由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定

二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定

二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大〔小〕值的关键。

4.类型四：利用函数的单调性求参数的取值范围

例5.函数/。)=4/-肛+5在区间［-2,物)是增函数，求加及了⑴的取值范围.

［答案］m4-16；/(1)>25.

［解析］..对称轴X=丁是决定/(X)单调性的关键，联系图象可知

O

只需一■W—2根《-16.

8

又/(I)=4一m+5=9—〃z,,即9一相N25.

[举一反三]:

[变式1]函数/(X)=炉+4ox+2在(-OO,6)内单调递减，则a的取值范围是〔〕.

A.tz>3B.a<3C.a>-3D.a<-3

[答案]D

[变式2]函数〃幻=/_2公-3在区间[1,2]上单调，则〔〕.

A.«G(-CO,1]B.«G[2,+OO)C.«G[1,2]D.«G(-OO,1]U[2,+OO)

[答案]D

【稳固练习】

1.定义域R上的函数/(x)对任意两个不相等的实数。力，总有/忆)一.八‘〉0,则

a-b

必有()

A.函数/(x)先增后减B.函数/(x)先减后增

C.函数/(x)是R上的增函数D.函数/(x)是R上的减函数

2.在区间(-8,0)上为增函数的是()

A.y=1B.y=―--I-2C.y——x2—2x—lD.y=1+x2

\-x

3.函数/(x)=—x(x—2)的一个单调递减区间可以是()

A.[-2,0]B.[0,2]C.[1,3]D.[0,+0°)

4.假设函数八划=/+23-l)x+2在区间(YO,4]上是减函数，则实数。的取值范

围是()

A.a>3B.a<3C.a>-3D.a<-3

5.函数y=Jx+1—Jx-1的值域为()

A.(-8,5/^JB.^0,V2jC.|V2,+oojD.［0,+oo)

6.设a>0,函数/(X)=G：2+AX+C的图象关于直线x=l对称，则

/⑴,/(夜),/(百)之间的大小关系是()

A./(l)</(V2)</(73)B./(V3)</(V2)</(1)

C./⑴</(&)</(后)D./(72)</(73)</(1)

7.函数y的单调区间是.

8.函数y=2x+Jx+l的值域是一.

9.假设函数/(x)=2/+px+3在(一81］上是减函数，［1,+8)是增函数，则

P=t.

10.一次函数y=(攵+l)x+攵在R上是增函数，且其图象与无轴的正半轴相交，则攵的

取值范围是.

11.函数/(x)=ax2+bx+c(aH0)是(-oo,0)上的减函数，且/(x)的最小值为正数，

则/(©的解析式可以为.(只要写出一个符合题意的解析式即可，不

必考虑所有可能情形)

12.设aeR,判断函数/(x)=(a+2)x+3(xeR)的单调性，并写出单调区间.

13.函数/(幻的定义域为(—1,1),且同时满足以下条件：(1)/(幻是奇函数；(2)/(幻

在定义域上单调递减；(3)/(1-幻+/(1-优)<0,求。的取值范围.

14.函数/(%)=幺+2奴+2,xw[-5,5].

①当。=一1时，求函数的最大值和最小值；

②求实数。的取值范围，使丁=/。)在区间［-5,5］上是单调函数。

【答案与解析】

1.【答案】C.

【解析】由"")一"")>0知，当时,/(a)>/(。)，当a<b时，/(«)<f(b),

a-b

所以/(x)在R上单调