高中数学-《余弦函数的图象与性质》教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

本节课在课程标准中的要求为：

1、能正确的使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数丫=。05*和丫=八＜：05（3+0）

的图象，并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系。

2、理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值，并能利用余弦函数

的图像与性质来解决相关的综合问题。

本课时是人民教育出版社B版教材必修四第一章第三单元第二节《余弦函数的图像与性

质》的内容，它是高中阶段所要求掌握的几种基本初等函数之一,是整个函数体系的一部分。

它有助于学生获得较为系统的函数知识，有助于学生获得完整的知识结构。

余弦函数的图像与性质放在正弦函数图像与性质之后，它的学习可体现类比方法，渗透

分类与数形结合思想，培养归纳、概括能力，使学生进一步体会掌握研究基本初等函数的一

般方法与过程。

学情分析

结合对新课标的理解制定如下的学情分析：

（1）认知分析：学生已学习了三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式，正弦

函数的图像和性质、正弦型函数以及其性质的运用这三者形成了学生思维

的“最近发展区”。

（2）能力分析:学生已经具备了一定的函数图象平移能力和三角函数诱导公式的应用能力，

但在数学的分析能力和应用意识方面等尚需进一步培养。

（3）情感分析：大多数学生对数学学习很感兴趣，能够积极参与到讨论与研究中来。

评测练习

1.余弦函数y=cosx（xWR）的图象关于（）成中心对称.（）

A.（0,1）B.&0JC.（兀，0）D.（2兀,0）

2.函数y=2cos2x的最小正周期（）

TT

A.2兀B.4兀C.兀D.—

2

3.函数y=3cosx+l的一条对称轴为（)

A.X=—B.%=二"C.X—71D.x=——

422

4.函数y=5cos%取最大值时，x的集合.

5.要使cosx=心有意义，则“的取值范围是.

3

6.函数y=cos(%+g的对称轴方程为,对称中心坐标为

7.求函数y=sin2A：+cosx的值域.

观评记录

本节课同时作为我们学校的“和谐组”示范课，全校三十多位数学教师以及部分学校领

导进行了观摩听课。学校领导及老师们对本节课做出了积极、中肯的评价。

下面是老师代表对本节课的评课记录：

【张校长】教学目标达成意识强，贯穿教学过程始终。教学思路清晰，课堂结构严谨，教学

密度合理。

【付书记】温故到位，新课引入自然。复习了正弦函数的性质的知识，为本节课类比余弦函

数的性质做准备。另外，复习图像变化，进一步引出余弦函数的图象如何得到，从而引出课

题，非常自然得出今天要讲的内容。

【张老师】通过“正弦函数与余弦函数性质是否完全相同？如果不是，又有哪些是相同的？

那些是不同的？”给学生设疑，让学生产生困惑，使学生对余弦函数的具体性质产生更浓

厚的兴趣。更能认真的学习和探究余弦函数的性质。探究完余弦函数的性质后有回答这一

问题，起到前后呼应，效果好。

【栾老师】课堂气氛活融洽、和谐、活跃，师生双边活动充分。教学方法灵活多样，有抢答，

有独立思考，有学生板演等，对这些活动，能够做到“收”“放”自如，动静结合。说明有

很强的课堂驾驭能力。

【伊老师】多媒体使用熟练。课件设计的非常好，通过动态演示，更好的诠释了余弦函数的

性质，给学生更直观、更形象的感觉，更符合学生的认知规律，激发了学生学习数学的兴趣。

教材分析

1.地位和作用

本节选自人教B版普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三单元第二节。本

IT

节余弦函数图像可根据诱导公式cosx=sin(x+—),通过对正弦函数图象的平移得到。

2

因此，余弦函数的图象和性质既是正弦函数图象和性质的转化与巩固，又是余弦型函数

的基础。因此，学好这节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，

还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，它对知识起到了承上启下的作用。

同时，本节的教材也是蕴含着丰富的数学思想，如化归思想、特殊与一般的关系、

类比思想等。有利于培养学生运用已知条件，通过观察提出问题、分析问题和解决问题

的能力，为学生发展发散思维能力，总结变化规律提供一个契机。

2.教学目标

(1)知识与技能目标：

了解平移法，掌握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步研究余弦函数的

性质，并解决简单余弦函数问题；

(2)过程与方法目标：

类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法；

(3)情感态度与价值观目标：

通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的

区别与内在联系。

3.教学重点和难点

教学重点：余弦函数的图象与性质。

教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。余弦函数的图象与性质的应用。

那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余

弦函数的性质，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实

现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。

效果分析

在本堂课的教学中，以问题驱动为主，师生共同分析探究。学生积极抢答问题。教师通

过提问、课件动态展示、黑板规范板书、学生教学点评等等多种教学形式，组织学生积极

参与课堂教学，将教与学有效的结合起来，充分激发了学生的学习兴趣，调动了学习热情。

据学生反馈分析，问题抢答式能充分调动每一个学生的积极性，谁也不敢“走神”，而

且，以前不敢发言的，现在也积极的参与进来，为了小组的得赞，组内必须团结协作，互帮

互助。所以，不论课上还是课下，学生非常喜欢学数学，效果也是很不错的。

通过动态图画演示，能让学生们更直观、形象的得出结论，从而摆脱了数学的学习只靠

想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无

味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。

课后反思

本节课预设的教学目标基本达成，预期效果及课堂气氛也已达成，但仍有一些需要反

思的地方。

亮点：

本人认为这节课的复习引入比较成功，通过复习图象变化，三角函数化简，自然的引出

课题，同时也突破了第一个教学难点。

另外，余弦函数性质的讲解下了很多功夫。通过动态图画演示，让学生们更直观、形象

的得出余弦函数的性质。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知,

更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起

来0从而进一步激发学生学习数学的兴趣。

遗憾：

1、在讲函数的单调性时，得出［-凡］］上的单调区间后，问学生多个周期的单调区间，

学生回答“加整数个周期”。我感觉如果回答成“加2k7”会更好。

2、在讲对称性时，学生回答对称轴和对称中心时，有点乱，如果让学生按从左向右的

顺序，效果会更好。

《余弦函数的图象和性质》教学设计

一、教学目标

(1)知识与技能目标：

了解平移法，掌握五点法做余弦函数图象，利用余弦函数的图象进一步研究余弦函数的

性质，并解决简单余弦函数问题；

(2)过程与方法目标：

类比正弦函数性质获得余弦函数的性质，体会类比的思想方法；

(3)情感态度与价值观目标:

通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，了解正弦函数、余弦函数的

区别与内在联系。

二、教学重点和难点

教学重点：余弦函数的图象与性质。

教学难点：利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。余弦函数的图象与性质的应用。

那么克服本节课的难点的关键在于复习好正弦函数图象的作法，充分利用图象讲清余

弦函数的性质，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、性质、实

现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。

三、教学资源

前面我们学习了正弦函数的图象和性质，与正弦函数作类比，得出余弦函数的图象和性

质，并运用多媒体辅助教学的方法让学生更加直观的观察余弦函数的图象和性质。

四、教学过程

(-):复习引入：

复习：正弦函数的性质有哪些？

函数y=sinxReR

九

图象x

号受/2兀

定义域R

值域[-1,1]

周期2乃

奇偶性奇函数

性

冗

x-k"——(kGZ)

对称轴：2

对称性

质对称中心：(&»，O)(keZ)

冗71

单调性[2k7r---,2攵乃H——](keZ)

单调递增区间：22

[2k7v+-,2k7v+—](k&Z)

单调递减区间：22

7T

x=2k7c+-(keZ),ymm=l

当2

最值

7T

x=2k7r--(k&Z),ymin=-1

当2

【设计意图］一方面让学生巩固上节课所学的正弦函数图象与性质，另一方面，为余弦函

数的学习做铺垫。

引例：要得到函数y=sin(x+工)的图象，只需要将y=sinx的图象()

2

A.向左平移三个单位B.向右平移上个单位

44

C.向右平移三个单位D.向左平移卫个单位

22

【设计意图】：一方面让学生巩固正弦型函数的图象变换；另一方面，对函数y=sin(x+|-)

进行进一步研究，引导学生根据以前所学的诱导公式找到正弦和余弦之间的关系，进一步得

出余弦函数的图象是由正弦函数图象经过平移得到，引出这节课的课题。同时也突破了第一

个教学难点。

(二)新课讲授

1、余弦函数的图象

(1)平移法：有引例得出y=cosx的图象是由y=sinx的图象向左平移三个单位得到。

2

动态图画演示平移过程。

【设计意图】：通过动态图画演示平移过程，加强学生的感知。

(2)“五点法”：先复习正弦函数图象在［0,2加上的五个关键点；通过类比得到余弦函数

图象在［0,2%］上的五个关键点。动画演示画余弦函数的图象。

【设计意图】:让学生初步体会类比的思想方法应用。通过动态图画演示，让学生们更直观、

形象的得出余弦函数的图象。

2、余弦函数的性质

(1)思考：我们已经学习了正弦函数的性质，能不能类比学习余弦函数的性质呢？

【设计意图】：让学生再次体会类比的思想方法应用。

(2)问题：正弦函数与余弦函数性质是否完全相同？如果不是，又有哪些是相同的？那

些是不同的？

【设计意图】：给学生设疑，让学生产生困惑，从而使学生对余弦函数的具体性质产生更浓

厚的兴趣。更能认真的学习和探究余弦函数的性质。

(3)师生共同研究余弦函数的性质(有余弦函数的图象研究余弦函数的性质)

①定义域与值域

定义域：R

【师生共同活动工把余弦函数图象看成P点的运动轨迹,通过动画演示P点运动规律，

得出P点从无穷远处永不停止的运动。找出P点在x轴上的投影点P,.当P点运动时，P,点

也要相应的运动，动画演示R点运动规律。又因为P点从无穷远处永不停止的运动，所以

Pl点也应该从负无穷大沿着x轴正方向永不停止的运动，从而得出余弦函数的定义域。

【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的定义域，从

而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使

数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学

习数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：余弦函数的定义域？

【教师活动工对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

值域:[-1,1]

余弦曲线y=cosx,xeR

【师生共同活动工复习：值域的定义：函数值的集合。

任取一个函数值设为a,则cosx=a。而这个方程是否有解，可以看成函数y=cosx的图象

与函数y=a的图象是否有交点，如果有交点，cosx就能取到a值；如果无交点，则cosx就

取不到a值。只需要平移y=a这条直线看什么时候Vy=cosx的图象有交点，就可以得出余

弦函数的值域。

动态图画演示。

【设计意图］通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的值域，从而

摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数

学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习

数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：余弦函数的值域？

【教师活动】：对学生的答案点评，并给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

最值点：当》=2版■(AwZ),y=c0sx取到最大值1；

当x=2M+兀@eZ),y-sx取到最小值-1。

【师生共同活动】：有值域得到余弦函数的最大值为1,y=l这条直线与余弦函数图象的交

点称之为最大值点，最大值点有无数多个，相邻最大值点之间的距离为乃，得出当x值为何

值时，y=cosx取到最大值1。

【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数当x值为何值

时，y=cosx取到最大值1。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，

更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起

来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：当x值为何值时，y=cosx取到最大值1?

【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

【师生共同活动】：有值域得到余弦函数的最小值为T,y=T这条直线与余弦函数图象的

交点称之为最小值点，最小值点有无数多个，相邻最小值点之间的距离为万，得出当x值为

何值时，y=cosx取到最小值T。

【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数当x值为何值

时，y=cosx取到最小值-1。从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认

知，更符合学生的认知规律。使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、

动起来。从而进一步激发学生学习数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：当x值为何值时，y=cosx取到最小值-1?

【教师活动工对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

②周期：2〃

【教师活动】：通过余弦函数的图象让学生猜想余弦函数y=cosx的最小正周期?

【学生活动】：2兀

【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示

做准备。

【师生共同活动】：如果周期是2〃，那么我们选一个长度为2〃的区间所对应的图象，向

左（或向右）平移2万的整数倍后，应该和y=cosx的图象重合。动态图画演示平移以后重

合。

【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的周期。从而

摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使数

学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学习

数学的兴趣。

【学生活动工抢答：余弦函数的周期？

【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

③奇偶性：偶函数

【教师活动工让学生观察余弦函数的图象，余弦函数的图象是关于y轴对称还是关于原点

堆成？

【学生活动1y轴

【设计意图］逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示

做准备。

【师生共同活动】：如果余弦函数的图象是关于y轴对称，那么余弦函数的图象关于y轴旋

转180°后图象应该和原来图象重合。动态图画演示关于y轴旋转以后重合。

【设计意图］通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的奇偶性。从

而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使

数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学

习数学的兴趣。

【学生活动工抢答：余弦函数的奇偶性？

【教师活动工对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

④单调性：在每一个区间［2左%一肛2br］(kwZ)上为单调递增函数；

在每一个区间［2%肛2版■+扪(ZGZ)上为单调递减函数。

【师生共同活动】：有余弦函数的周期性，我们只需要研究余弦函数在一个周期内的单调性

就可以了。不妨取区间［—肛乃］。当x值从一万增大到0时，cosx值从T增大到1；当x值

从0增大到7时，cosx值从1减小到-1；这个变化规律可以如下表所示。

7C71

X-7t・・・・・・0・・・…71

COSX-1/0/10-1

从而得出余弦函数的单调区间。

【设计意图】：通过图示和表格演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的单调区间。

从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。

使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生

学习数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：余弦函数的单调区间？

【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

⑤对称性：包括对称轴和对称中心。

对称轴为：X=k7T(kGZ)

【教师活动工让学生观察给定的余弦函数的图象，那些有可能是对称轴？

【学生活动1:X——3%,X——2肛X——71,X-O,X-7T,X-2万,X-37t.

【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示

做准备。

【师生共同活动】：如果余弦函数的图象是关于x=-3兀,x=-2乃,x=-7i,x=0,x=肛

X=2阳x=3%这些轴对称，那么余弦函数的图象关于这些轴旋转180°后图象应该和原来

图象重合。动态图画演示关于这些轴旋转180"以后重合。

【设计意图】：通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的对称轴。从

而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。使

数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生学

习数学的兴趣。

【学生活动】：抢答：余弦函数的对称轴方程？

【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图】：让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

TT

出万+—,0)伏wZ)

对称中心为:2

A

【教师活动】：让学生观察给定的余弦函数的图象，那些有可能是对称中心？

【学生活动】：(--,0),(--,0),(-,0),(—,0),(—,0)

22222

【设计意图】：逐渐渗透数形结合思想，让学生养成有图的知识的习惯。并为下面动画演示

做准备。

【师生共同活动工如果余弦函数的图象是关于

(一3,0),(-工,0),(工,0),(二,0),(丝,0)这些点成中心对称，那么余弦函数的图象关于

22222

这些点旋转180°后图象应该和原来图象重合。动态图画演示关于这些点旋转180°以后是否

重合。

【设计意图］通过动态图画演示，让学生们更直观、形象的得出余弦函数的对称中心。

从而摆脱了数学的学习只靠想象、理性的感知，而是感性的认知，更符合学生的认知规律。

使数学的学习不再是枯燥无味，使数学的教学和学习活起来、动起来。从而进一步激发学生

学习数学的兴趣。

【学生活动工抢答：余弦函数的对称中心？

【教师活动】：对学生的答案点评，给答题的同学所在小组点赞。

【设计意图］让学生充分参与进来，通过给小组点赞，传播正能量，充分调动学生的积

极性。

【学生活动工学生一起回答余弦函数的性质。

函数y=cosx

图象

、、27/石"v

—------71-2号22

定义域R

值域[-1,1]

性周期24

奇偶性偶函数

对称轴为：x=k7i(keZ)

对称性

7T

质(k兀——,0)(2GZ)

对称中心为：2

单调递增区间：一)，2Am(AwZ)

单调性

单调递减区间：［2人乃，2左"+乃］(ZwZ)

当％=24左(左€2),乂而=1

最值

当x=2k兀+兀(k&Z),ymjn=-1

【设计意图】：巩固余弦函数的性质，并使学生知识系统化。

【教师活动工正弦函数与余弦函数性质是否完全相同？

【学生活动】：不是。

【教师活动】：哪些是相同的？

【学生活动】：定义域、值域、周期。

【教师活动】：哪些是不相同的？

【学生活动】：单调性、奇偶性、对称性、最值点。

【设计意图］通过对比找到正弦、余弦之间的异同点，巩固对余弦函数的性质的理解。并

且达到前后呼应的效果。

3、余弦函数图象与性质的应用

例题1求下列函数的最大值或最小值:

(1)y=-3cosx+l;(2)y=(cosx——)~—3.

【学生活动工找两个学生爬黑板做题，其他的在学案上完成。

【教师活动】：在教室进行巡视指导其他学生，发现下面有那些错误，讲解时统一指出。

【教师活动】：作如下预设：（1）如果学生做得很好，只进行表扬。

（2）如果学生做错的多，可进行适当的点拨，纠正。并一块找

到问题的所在。并且板演正确的步骤。

【设计意图】：余弦函数性质的应用，本题主要考察余弦函数的值域，通过整体代换，转化

为基本初等函数求最值。通过学生爬黑板，充分暴露学生的思维过程，及时

掌握学生对本节知识的掌握情况。

4、归结反思提高升华

知识方面：（1）余弦函数的图象①平移法②五点法（注与正弦五点对比）

（2）余弦函数的性质（与正弦函数性质对比记忆）

思想方法：类比，数形结合，转化与化归的思想。整体换元的方法。

【设计意图］学生在课堂上学到了什么，能否比较系统地进行回顾，课堂小结是个很好的

载体。在本环节，鼓励学生积极回顾，教师再利用思维导图从知识，方法及

数学思想进行总结提升。

5、课后作业

必做：教材53页A组3、4、5B组2、3、5

选做：教材54页B组4

小组作业：小组合作探究y=tanx图象

6、讲课过程及相关知识思维导图：

，定义域R

।值域，且11

周期性.卫:-----

x=kn+巳，(*eZ)

垂L图形变换对称轴--------Z-------

对称性一

(左"+《.0乂2€Z)

、对称中心,------?---------

性质

[泰万-£.象打+2](々€2)

单调递增区间，-------?-------?-------

、单调性「

[2^+-,2A^+—K^reZ)

\单调递减X间22

类

向x=2kn+J(keZ)时

2

比

左y—大值1

思।最值