2022-2023学年贵州省铜仁市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省铜仁市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%|%2—％-2<0},8={划一2<%<0},则41）8=（）

A.{%|-2<%<—1}B.{%|-1<%<0]

C.{%|-2<x<2]D.{x|0<x<2]

2.若复数z满足z-（2+i）=2i+l（i是虚数单位），则复数z的共朝复数3在复平面内对应的点

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若a>b>0,则下列不等式成立的是（）

A.yj~a<y/_bB.log2a<log2bC.a+b<2VabD.1.5a>1.5s

4.设a,P，y为不同的平面，m,"为不同的直线，则戊〃£的一个充分条件是（）

A.a1y,/?1yB.m1a,n1/?,m//n

C.a内有无数条面线与£平行D.a内有不共线的三点到£的距离相等

5.甲、乙、丙三人玩踢健子游戏，第一次由甲把健子踢给其他二人中的一人，第二次由得

到穰子的人再踢给其他二人中的一人，这样一共踢了3次，则第3次偎子仍回到甲的概率为（）

6.若sin/+a）=|,贝ijcos（2a-y）=（）

A.B.4C.|D.

7.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的4倍，母线长为5,圆台的侧面积为25兀，则该圆

台的体积为（）

A.147rB.287rC.527rD.847T

8.已知函数/（x）=<2sin（2wx-6+1（3>0）在[0,河上恰好有3个零点，则3的最小值为

（）

A5R13「13八15

A-3B.运C.-D.彳

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某汽车制造厂分别从4,B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮

胎可使用的最远路程（单位：1。3人小）.

A类轮胎：94,96,99,99,105,107；

B类轮胎：95,95,98,99,104,109.

根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是()

A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数

B.4类轮胎行驶的最远路程的极差小于8类轮胎行驶的最远路程的极差

C.4类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数

D.4类轮胎的性能更加稳定

10.设向量d=(—1,1),b=(0,—2);则()

A.\a+2b\=10B.(a+b)//a

C.(a+fe)1aD.B在3上的投影向量为(L一1)

11.在棱长为2的正方体4BCO-4/iCiDi中，点E,F分别是棱BC,的中点，M为的

中点,则()

A.4G〃平面DEF

B.平面ADiM〃平面DEF

C.异面直线DE与。/所成角的余弦值为

D.点8到平面DEF的距离为|

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

12.(本小题12.0分)

为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学

校组织学生参加航空航天科普知识团体答题闯关竞赛，甲、乙、丙三人组成一组，三人各自

独立闯关，其中甲、乙都闯关成功的概率为|,甲、丙都闯关成功的概率为|,乙，丙都闯关

成功的概率为工，每人闯关成功记3分，不成功记0分，三人得分之和记为小组团体总分.

1O

(1)求甲、乙、丙各自闯关成功的概率；

(2)若团体总分不小于6分，则该小组闯关成功，求该小组闯关成功的概率.

13.(本小题12.0分)

己知函数/'(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-x)(a>0且a丰1).

(1)求函数f(%)•g(x)的定义域，并判断/(x)•g(x)的奇偶性；

(2)若/(l)+g(；)<1,求a的取值范围.

14.(本小题12.0分)

在4ABC中，2asinAcosB+bsin2A+2HacosC=0.

(1)求角C的大小；

(2)若4c=2,C。=门，点。为AB的中点，求△BCO的面积.

15.(本小题12.0分)

某校有高中生4200人，其中男、女生比例为3：2,为了获得该校全体高中生的身高信息，采

取了以下两种方案：

方案一：采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了样本容量为n的样本，得到频数分布表

和频率分布直方图.

身高(单位：cm)[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

频数420Pq4

方案二：采用简单随机抽样的方法，抽取了样本容量为50的样本，其中男生有20人，女生有

30人，计算得到男生样本的均值为170.5,方差为16,女生样本的均值为158,方差为20.

(1)已知方案一抽取的样本中第三组比第四组多6人，求n,p,q的值并补充完整频率分布直

方图，估计该校高中生的身高均值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表)

(2)计算方案二总样本的均值及方差;

(3)你觉得方案一和方案二的样本均值哪个用来估计总体均值更合适?

频率/组距

0.040...................

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

D.012

0.008

。・004乂身高/cm

0^145155165175185195_

16.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC1底面4BCZ),四边形2BCD是直角梯形,AZ)_LDC,AB〃DC,

AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.

(1)证明：AC1CE；

(2)若直线PC与平面ABC所成角的正弦值为?，求二面角P-AD-C的余弦值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4={x[—1<x<2},B={x\-2<x<0],

A\JB={x\—2<x<2].

故选：C.

可求出集合4,然后进行并集的运算即可.

本题考查了并集的定义及运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：z-(2+i)=2i+l,

川Z=1+2»=<+2i)(2T)=43

人JZ-2+i—(2+i)(2-i)-5+51,

取’55

故复数Z的共轮复数2在复平面内对应的点(,-|)位于第四象限.

故选：D.

先结合复数的四则运算及共辗复数的概念求出然后结合复数的几何意义可求.

本题主要考查了复数的四则运算，共轨复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：若a>b>0,则产>，T，A错误；

log2a>log2h,B错误;

由a>b>0及基本不等式可得a+b>2V_ah-C错误；

由指数函数单调性可知，1.5a>1.56,。正确.

故选：D.

由己知结合事函数单调性检验选项A；

结合对数函数单调性检验选项B；

结合基本不等式检验选项C；

结合指数函数单调性检验选项D.

本题主要考查了函数单调性在不等式大小比较中的应用，还考查了基本不等式的应用，属于基础

题.

4.【答案】B

【解析】解：4中，a，y，01y,可能a〃0，也可能a,3相交，所以4不正确；

B中，m1a,nip,m//n,所以nJLa,所以a//0,所以B正确；

C中，a内有无数条直线与6平行，可能a〃/?，也可能a,口相交，所以C不正确；

。中，a内有不共线的三点到0的距离相等，当三个点在少的两边时，则a,/?相交，所以。不正确.

故选:B.

由线面平行的定义或判定定理可判断出三个命题的真假.

本题考查面面平行的判断方法，属于基础题.

5.【答案】C

由树状图可知，总情况有8种，满足要求的有2种,

所以第3次犍子仍回到甲的概率为：=士

o4

故选：C.

画出树状图求解即可.

本题主要考查古典概型和树状图，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：因为sin(£+a)=sing+(a—初=COS(Q—刍=：,

所以cos(2a—y)=cos2(a—1)=2cosz{a—1)—1=2x(|)2-1=-

故选：A.

由已知利用诱导公式可求得cos(a-金=I，进而利用二倍角公式即可求解.

本题考查了诱导公式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设圆台较小的半径为r,

•••圆台的一个底面周长是另一个底面周长的4倍，所以另一底面的半径为4r,

又母线长为5,圆台的侧面积为25几，

••.S蒯=5兀(r+4r)=25兀，解得「=i,圆台的高为：h=yj52-(4-l)2=4.

•••该圆台的体积为:inx4x(I2+42+1x4)=287r.

故选:B.

直接利用圆台的侧面积公式、全面积公式以及体积公式求解即可.

本题考查圆台全面积的求法，考查圆台的侧面积公式、全面积公式等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

8.【答案】A

【解析】解：因为3>0，

当％G[0,7l]时，(DX6[0,a)7l],2COX-6[―2C07T——],

令V"^sin(237r—m+1=0,得sin(237r—盍)=—年，

又因为函数/(%)=Csin(23%-工)+1(3>0)在[0,可上恰好有3个零点，

所以y=sin(23/r-*)与y=一行在[0,扪上有3个交点，

令t=2371—工，

即y=sint与y=—?在t£[一卷，237r—勺上有3个交点，

2AZ

由正弦函数的性质可得：苧st〈字，

44

日(1371/on.157r

即1丁工237r一诵〈丁，

解得：1<60<

所以3的最小值为余

故选：A.

令t=2a)7i—各则t6[―a2a)n—勺，将问题转化为y=sint与y=—在t6[-2a)n—e)

上有3个交点，结合正弦函数的性质，可得容423兀-工〈等，解得JW3〈普，即可得答案.

4124312

本题考查了转化思想，正弦函数的性质，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对4：4类轮胎行驶的最远里程的众数为99,

B类轮胎行驶的最远里程的众数为95,选项A正确；

对C：4类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+-6-4-11+5+7=I。。，

B类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+-5-5-裂+4+9=I。。，选项c错误.

对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为107-94=13,

B类轮胎行驶的最远里程的极差为109-95=14,选项8正确.

对D：4类轮胎行驶的最远里程的方差为(94T0°)2+(96-100)2+(99-100)2X2+(105-100)2+(107-100)2=

6

64

T'

R类轮胎行驶的最远里程的方差为(95-10°)“2+(98-100)2+(99-100)2+(104-100)2+(109-100)2=76

6~3

64

T'

故A类轮胎的性能更加稳定，选项。正确.

故选：ABD.

根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.

本题考查众数、极差、平均数和方差的定义，属于基础题.

10.【答案】CD

【解析】解:向量d=(―1,1)，b=(0,-2)>

则记+2石=(一1,一3)，\a+2b\=V1+9=故A错误；

a+b=(-1,-1).(a+K)-a=-1X(-1)+(-1)x1=0,可得伍+h)la>故B错误，C正确;

施五上的投影向量为碧•各=浮=-五=(LT)，故。正确.

|a||a|2v

故选：CD.

由向量的加减和数乘运算、数量积坐标表示，以及向量垂直、投影向量的定义可得结论.

本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

11.【答案】BCD

假设4cl〃平面DEF,则AC"/GF,

易知产为CG的中点，而G为4c的靠近C的三等分点，

•••GF与AC1不平行，

••・假设不成立，；.4Ci与平面DE尸不平行，选项错误;

则根据题意易知EF〃BG〃4Di，

EF//ADlt又易知DE〃DiM,且EFnOE=E,

二可得平面〃平面OEF,B选项正确；

对C选项，如图，由B选项分析可知DE〃DiM,

・•・异面直线DE与DiF所成角即为乙MD/或其补角，

在中，易知D1M=D/=MF=A/-2,

A.nc5+5—24

•・cos4MD/=5xf^=M

••・异面直线DE与。i尸所成角的余弦值为右C选项正确;

B到平面DEF的距离等于C到平面DEF的距离，并且设其为d,

易知。尸=OE=K，EF=C，.•・由C选项分析可知cos4EDF=g,

•••sin/EDF=|,E0尸的面积为2x/~5x<^x|=|,

又%-EOF=^F-CDE»

11

**,xS^EDFxd=yxSACDExCF,

13alicd

.-.-x-xd=-x-x2x1lx1l.

d=I，二。选项正确.

故选：BCD.

对工选项，根据反证法及线面平行的性质定理，即可判断；

对B选项，根据面面平行的判定定理的推论，即可判断；

对C选项，将两异面直线平移成相交直线，再解三角形，即可判断；

对。选项，由E为BC的中点，可得B到平面。EF的距离等于C到平面DEF的距离，再根据等体积法,

方程思想，即可求解.

本题考查线面平行的性质定理，面面平行的判定定理的推论，异面直线所成角问题，点面距的求

解，属中档题.

12.【答案】解：(1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件为4B,C,

由题意得P(4)P(B)=],P(4)P(C)建，P(B)P(C)=看，

解得「伊)=$P(B)=P(C)=I；

(2)小组闯关成功，则至少有2人答对，

43113369

所以小组闯关成功的概率为!X,x,+2X-X-X-+-X-X-=--

5445448O

544

【解析】(1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件为4B,C,根据题意列出等式，而后求解即可;

(2)小组闯关成功，则至少有2人答对，由此计算概率即可.

本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题.

13.【答案】解：(1)根据题意，设F(x)=/(x)g(x),

而函数f(x)=loga(l+x),g(x)=loga(l-%),

则FQ)=loga(l+x)-loga(l-x),

则有解可得—1<X<1，即函数的定义域为(一1,1)，

又由F(-x)=loga(l+x)-loga(l-x)=loga(l-x)-loga(l+x)=F(x),

则函数/(x)g(x)为偶函数；

(2)根据题意，若/■⑴+g(}<l,B|Jloga2+loga|=loga|<1,

解可得：0<a<1或a>|,

即a的取值范围为(0,1)U(|,+8).

【解析】(1)设尸(%)=f(%)g(%)，先分析/(%)g(x)的定义域，再分析?(一%)、/(%)的关系,即可得

答案；

(2)由对数的运算性质可得/(l)+g(》<1,即108。2+108。*=1。8£1|<1，结合对数的运算性质

分析可得答案.

本题考查函数与方程的关系，涉及对数的运算性质，属于基础题.

14.【答案】解：（1）由正弦定理及2asin/cosB+bsin2A+2，3acosC=0知，2sin2AcosB+

sinBsin2A+2y/~3sinAcosC=0,

因为sin24=2sinAcosA,且sinA>0,

所以2sith4cosB4-2cosAsinB+2，3cosC=0,即2s讥（/+B）+2V~~3cosC=0，

所以2si7iC+25/-3cosC=0,

所以tcmC=^7=—［5,

cosC

因为。€（0,n），所以c=手

（2）因为点。为4B的中点，所以方=；（方+丽），

所以而2="（以2+2以•而+CB2'）,即3=；（4+2•2・a•cos与+a?）,整理得a2-2a-8=0,

解得a=-2或4（舍负），

所以△BCD的面积S=3SAABC=\x；abs讥44cB=Jx4x2xsiny=<3.

【解析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合二倍角公式与两角和的正弦公式，化简可得tanC=

一，有，得解；

（2）易知方=*”+而），将其两边平方，结合平面向量数量积的运算法则，求得a的值，再由

SABCD=3S“BC，并利用三角形的面积公式，得解•

本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，三角恒等变换公式，平面向量的运算法则是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

15.【答案】解:（1）易知身高在区间［145,155）的频率为0.008x10=0.08,频数4,

所以n=嬴=50,

则p+q=50—4—20—4=22,①

因为方案一抽取的样本中第三组比第四组多6人，

所以p-q=6,②

联立①②，解得p=14,q=8,

所以身高在区间［165,175）和［175,185）的频率分别为第=0.28,4=0.16,

则频率分布直方图如下所示:

i频率/组距

0.040—

0.036

0.032

0.028_____________

0.024

0.020

0.016——

0.012

0.008——

0.004身高/cm

0145155165175185195

则样本的身高均值为10(150x0.008+160x0.04+170x0.028+180x0.016+190x

0.008)=167.6；

(2)不妨将男生样本记为%i，x2,x20,均值为x,方差为或；

将女生样本记为yi，y2>->y3o>均值为y，方差为反，

则总样本均值5=+-^-y=20X170.5+30X158=

~JIT'20+3020+3050

可得总样本方差S?=熹网+6-Z)2］+藕网+®—5)2］

=焉［16+(170.5-163)2］+扁［20+(158-163)2］=55.9；

(3)用方案一比较合适，因为方案一是比例分配的分层随机抽取样本，所以样本的代表性比较强,

能够更好地反映总体的情况.

【解析】⑴由题意，根据身高在区间［145,155)的频率和频率，列出等式即可求出n的值，易得p+q

的值，利用方案一抽取的样本中第三组比第四组多6人，得到p-q的值，列出等式即可求出p,q的

值，可得身高在区间［165,175)和［175,185)的频率，进而可补全频率分布直方图，再代入等式即可

求出身高均值；

(2)将男生样本记为与，x2'''■>》20，均值为X，方差为S奈将女生样本记为y2>...>y3c均

值为y,方差为寸，根据均值和方差公式进行求解即可；

(3)利用分层抽样的定义进行求解即可.

本题考查频率分布直方图，考查了数据分析和运算能力.

16.【答案】解：(1)证明：因为PC_L平面ABC。，ACu平面4BCD,

所以PC14C,

又因为AB=2,AD=CD=1,AD1DC且四边形4BC0是直角梯形，

所以4c=VAD2+DC2=BC=VAD2+(AB-DC)2=<7,

所以心