高中数学-2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计

【教学设计】2.2.3一元二次不等式的解法

本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节”2.2.3一元

二次不等式的解法”的第1课时。新课标指出，学生是教学的主体，

教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原

有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个

方面加以说明。

一、课标要求

考点学习目标核心素养

一元二次不等式的会借助因式分解或配方法求

数学运算

解法解一元二次不等式

会将简单的分式不等式转化

分式不等式的解法数学运算

为一元二次不等式求解

二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点

和难点）

1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方

法的得出和应用方法三个方面的内容。把教材中的引例生成情境，这

样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。

2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程

的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次

不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与

认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。因

此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一

个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得

出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想

方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突

破。

教学重点：1.等比数列前〃项和公式的推导；

2.等比数列前〃项和公式的应用

【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会

一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中

去。因此它是本节课的重点内容。

教学难点：等比数列前〃项和公式的推导。

【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元

二次方程的解法进行类比，这是积极因素,应因势利导.不利因素是：

本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学

生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容

易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错.因此它是本节课的难

点内谷。

【难点的突破】本节课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽

象的教学思路,采用探究式教学方法。由浅入深,通过学生间的讨论、

交流及多媒体的演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从

感性认识上升到理性认识，因此，在教学过程中我选择让学生自己去

感受一元二次不等式的解法的生成过程，先分析再合作探究，由此来

突破难点。

三、教学目标

【知识与技能】（直接性目标）

1.理解一元二次不等式的解法的推导方法；

2.掌握一元二次不等式的解法能运用公式解决一些简单问题.

【过程与方法】（发展性目标）

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教

学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.

【情感态度价值观】（可持续性目标）

通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、

勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思

维的奇异美、数学的严谨美.

四、教学策略（包括学情分析、教学方法和学法指导）

（-）学情分析

学习基础：本节课是学生在学习本节内容之前已掌握了一元二次

方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，已经具备了一定

的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具

备了学习进一步研究一元二次不等式的解法和应用新知的渴求。

学习障碍：1.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和推理等能

力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不

够均衡，且受这一年龄段学习心理和认知结构的影响，所以学生学习

起来有一定难度。2.学生对一元二次不等式的解法比较陌生，学习思

维上存在障碍。在本节的教学中，引导学生多动脑筋，多交流，通过

研讨让学生获得知识，并掌握思考问题的方法，逐渐培养他们观察,

类比，分析，归纳的能力。

（二）教学方法

在教学方法的选择上，我遵循学生、教师双主体的原则，采用教

师组织引导、问题驱动、学生自主探究、讨论、动手实践、小组合作

交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者

的作用，突出学生的主体地位。启发学生通过主动观察、主动思考、

动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

（三）学法指导。

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学;

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动。

五、教学过程

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为以下：“创设情境

——问题探究一一数学实践一一数学应用一一回顾反思”五个环节来

完成。

(-)问题情境引入概念:

教学教学内容师生互动设计意图

环节

教师：说学习目标。设计目的：有

的放矢

学习学生：了解学习目标

学习目标

1.能在现实情境或数学情境中提取出一元二次

目标不等式模型.教师：问题1:一

2.能恰当使用因式分解法和配方法解一元二次

不等式.元二次方程方程的定设计目的：通

义是什么？过回忆一元二

次方程的定义

学生：形如

类比得出一元

ax2+bx+c=0(。*0)二次不等式的

的式子叫做一元二次定义。

方程。

课刖忸习•，一

复习1.一元二次方程购定义？教师：问题：解一

一般地.形如依+〃x+c=O(awO)的式子,驯做一元二次方程2设计目的：温

2.一元二次方程行‘+&+。=。(“工0)的解法仃哪些？

开平方，因式分翳，配方法，求根公式故知新。

引入3.解卜列方程：①X2-X-2=O(X-2XX+1)=0元二次方程方程的方

②x?-6x-1=0配方得(x-3)2=10

.*.x-3=±Vio法有哪些？

学生：开平方，因式分

解，配方法，公式法。

教师:解下列方程的方设计目的：通

过回忆一元二

法？

次方程的解法

①X2-X-2=0类比得出一元

②x2-6x-1=0二次不等式的

解法。

学生：因式分解，

配方法。

教师：问题3：请同

窗改牯啦.超却的凝设计目的：

情景汽，住行驶中.由itfin,狗一后——错向玲常行佼熟肉才♦件止,学们阅读材料并小组

股族这段即班为・利个制，班..*4即内是分析交随小故的个审要依据.

布个修建为*/h的疗道1.甲.乙两辆汽乍相向血行，发现片况不对.H设计这个情境

引入时UH.IH还是和*1「力冗现场黝介,测行甲4的*，排内略超过Q,乙+讨论下面的问题：

的科，》!，｛«<?｛越过UL1如甲、乙州神，型的利生却力X■。乍速vk*4iZM

的关系分》1为目的是在引入

5lW100V10'S-M0V_20V,―

泼“新甲乙IM〃无超速理乳-<'二（1）如何构建数学关课题的同时激

系式解决是否超速问发学生的兴

趣，调动学习

题？

的积极性.故

（2）所得数学关系特事内容紧扣本

征是什么？节课的主题与

重点.

学生：先阅读材料，再

任务一：通过阅读上面内容，解答以下问题：

同翘1:（1）如何构建数学关系式解决是否超速问题？小组讨论上面两个问

（2）所得数学关系特征是什么？

题。

教师:请第2组同学代

表回答。

学生:发现两个式子含

有一个未知数，最高次

数是2次，而且是不等

概念1.一元二次不等式的概念关系。

一般地，形如应土近土£淮的不等式

形成教师:像这样两个式子设计目的：由

称为一元二次不等式，特殊到一般得

叫做一元二次不等式。

出一元二次不

其中a,b,c为常数，而且a#0.等式的定义。

教师：板演概念。

注意：不等号也可以是

“V”，>，，，々，，教师:不等号也可以是

什么样的？

学生：

“W”，勺，

公式

教师:下面我们来学习设计目的：激

推导发学生的兴

如何解一元二次不等

趣，调动学习

任务.：探究形如(x-xjx-三)>0或(1-*1)(l-巧)<0小等式的解集

，，阳2：⑴网个畋相奈巧果为止卜购这两个数痛足什么关系？式。

*«'-1仅1晨％的积极性。

(2)x(x-1)>0可以等价气化设什么账式？川线是什么？

*:山地大公,：：>0或{：<：<0所沙财斯》>1或X<0}任务二：探究解形如

(3)(xH)<x-l)<0的收集足什么？

解…|阁-m或小；<：所岫集为*卜1<*<1]

lx-l<0[x-I>0设计目的：明

Ja>0_0Jo<0(x-Xj)(x-x)>0

依此ab<0Fl仅当,<0成上>02

MJ»3:仗川内式分制法新兀.次不等式的前提是什么？有稠确任务。

或(x-X])(x-X2)<0

不等式的解集。

教师：两个数相乘，这

两个数满足什么关

系？

学生：同号。.设计目的：找

到依据。

教师：依据是

方法

ab>0当且仅当

得出师生共同完成：

\a>0„<0

J或1

[Z?>0[h<0

解：山原式得卜>°

[x-l>0教师：

设计目的：由

(2)x(x—1)>0可以

一般到特殊。

,,x<0转化成什么形式？解

或〈

x-1<0

集是什么？

教师：

所以解集为

(3)(x+1)(x-1)<0

卜%>1或％<0}的解集臬什么？

学生：讨论。

师:生共同完成：

教师：解题依据是什

方法

[x>0

:由原式得「1>0么？

得出解

学生:abvO当且仅当

x+1<0

或，

x-l>0a<0

<或

6<0b>0设计目的：由

所以解集为{x|-l<x<l}

教师:请同学们小组讨特殊到一般总

结出因式分解

师生共同完成：论总结形如

法解一元二次

这种解一元二次不等式的方法称(X71)(.r-x)>0

2不等式的结

为因式分解法。或(x-X])(x-X2)<0论。

师生共同完成：的方法。

“大于取两边，小于取中间”教师:使用因式分解法

解一元二次不等式的

前提是什么？

公式学生：有根

设计目的：学

应用教师:使请同学们做例

以致用。

题1.

学生回答教师板演。

设计目的：解

例1.求不等式/x-2>0的解集.

x2-6x-i<0

问到情境，“IS中的不等式.v:-l(h-600>0可以化为(v+20Xv-30)>0.教师:请同学们总结解题程序化。

闪此甲］的［速v>30：

r2-l0r-2000>0»J仪化为(V+4O)(V-5O)A.0,

囚此/.一的就建C50.由此一她.乙竹定超建厂题步骤。

师生共同完成：

1、因式分解化成

设计目的：学

公式

(x-Xj)(x-x)>0

2以致用，数学

深化教师:如果回到情景与

或(x-x】)(x-》2)<0的形式

源于生活又用

问题中的不等式请同

2、“大于取两边，小于取中间”

于生活。

学们得出结果。

师生共同完成：

教师：如果变为

通过因式分解法解的结果，并判

2

x-6x-l<0设计目的：引

断乙超速了。

能用因式分解法吗？出配方法。

学生：不能。

教师：下面我们一起

探究形如(x-h)2>左

或(X—0)2〈左不等式

.介作探文.知论(2)hilt

任务工探究膨如(xh);>*!«(x加；<A不等式的解集(6分钟)

HSS4：(1)通过代入数假验证的方法.给第以卜儿•次不N大的制集：的解集。

@arJ<-1.OJH>-2____®X1<9______,

<2)类比力科的便九方法.川小等式-v9设计目的：由

解:由原式得|t|<3

.-.-3<x<3所以解集为(・3.3)学生：回答问题4带特值得一<9

(3)侨助(2)州法相点X不第式

结论元二次不等式m：・<»+。>0(。^0)通过配方电是可以变为

(x-h):>kA(x-hy<km^.然K；根据上的正黄骅知识，教师:下类比方程的研得解法，又类

就可以得到原不等式的“集

究方法解不等式d<9比引出

2

师生共同完成：x-6x—1<0

教师：下借助产<9的

的解法。

解：由原式得IXI<3

解法解设计目的：

-3<x<3x2-6x-1<0师生合作共同

体验配方法的

所以解集为（-3,3）教师:这种解一元二次

得出，充分调

不等式的方法叫做配

动学生的积极

方法，请同学们总结步性、主动性，

发挥他们的潜

师生共同完成：骤。

能，尽量由学

解：由原式得。-3）2410学生：回答并完善。

生自主得出公

卜-3区J10一元二次不等式式，以便能够

ax1+6x+c>0(aW0)

.---Vio<%-3<Vi()更深刻的记

通过配方可以变为忆、更熟练的

解集为

(x-h)2>kB^(x-h)2<k运用。

师生共同完成：设计目的：

然后根据k的正负运

1、配方通过对用配方

算。

法解一元二次

2、转化

教师:请同学们小组讨不等式的几种

、得解

3特殊情况的总

论问题5.

结，有利于方

学生：回答并改正。

法的完善。

Mas）肥方法tr兀.次小等式的儿片特媒储心

①。的解集为也r人｝■-利”的解第为4.教师：请同学们仿照设计目的：

②3k（叫，小等式（x-4>£的解集为旦.小等式（，-厅&的解集为”.

例2求卜列不等式的解集：2有利于学生对

（l）x5+4.r+liO⑵•F+irTvO（3）2r+4.«+5>0x-6x-l<0

解一元二次不

在黑板上或者是练习

等式方法的掌

本上做例2的3个题握，同时也有

师生共同完成：

目。利于培养学生

针对黑板上3个学生的解答再一积极探索的精

次总结方法步骤并改正错误。神及理性的思

维品质。

设计目的：

知识网络化，

知识升华。帮

教师:请同学们说说这

助学生更好的

课堂节课有哪些收获。

巩固本节课的

小结学生：回答并完善。知识。

(w丝竺W财少w

/(x-^)(x-x,)>0或(x-h)2>k\

学情分析

学习基础：本节课是学生在学习本节内容之前已掌握了一元二次

方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，已经具备了一定

的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具

备了学习进一步研究一元二次不等式的解法和应用新知的渴求。

学习障碍：1.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和推理等能

力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不

够均衡，且受这一年龄段学习心理和认知结构的影响，所以学生学习

起来有一定难度。2.学生对一元二次不等式的解法比较陌生，学习思

维上存在障碍。在本节的教学中，引导学生多动脑筋，多交流，通过

研讨让学生获得知识，并掌握思考问题的方法，逐渐培养他们观察,

类比，分析，归纳的能力。

为了提高课堂的有效性，我在本节课的教学中主要运用了一下几

种方法：

一、创设数学情境，激发学生的学习兴趣。

“兴趣是最好的老师，有兴趣不是负担”。本节课先从复习一元

二次方程的定义和解法为类比得出一元二次不等式的定义及解法做

好铺垫，帮助学生从已有的认知出发轻车上阵继续学习一元二次不等

式的定义及解法打好基础。然后展示了判断超速现象的情境，在引入

课题的同时了激发学生的兴趣，调动学习的积极性.故事内容紧扣本

节课的主题与重点。

二、鼓励学生主动参与，积极动脑，动口，动手。

本节课在设计上采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学思路,

采用探究式教学方法。由浅入深，通过学生间的讨论、交流及多媒体

的演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升

到理性认识，因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受一元二次

不等式的解法的生成过程，先分析再合作探究，由此来突破难点。

三、创设高效课堂，提高学生对知识的吸收率。

在教学方法的选择上，我遵循学生、教师双主体的原则，采用教

师组织引导、问题驱动，学生自主探究一元二次不等式的定义及解法、

讨论解一元二次不等式的方法选择及特殊情况处理、动手实践解一元

二次不等式、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组

织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位。启发学生通过

主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接

受。

不足之处：

首先互动不是很多，替学生回答的多，给学困生鼓励少。

再次在解一元二次不等式的方法选择上不明确。

总之，课堂教学是教师与学生的双边活动，要提高高中数学课堂教学

质量，必须以学生为本，凭借数学思维强、灵活性强、运用性强的特

点，精心设计，给学生一点困难，让他自己去解决，给学生们一个问

题让他们去合作交流。注重思维品质的培养，收到事半功倍的效果。

教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难

点）

1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方

法的得出和应用方法三个方面的内容。把教材中的引例生成情境，这

样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。

2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程

的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次

不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与

认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。因

此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一

个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得

出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想

方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突

破。

教学重点：1.等比数列前〃项和公式的推导；

2.等比数列前〃项和公式的应用

【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会

一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中

去。因此它是本节课的重点内容。

教学难点：等比数列前〃项和公式的推导。

【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元

二次方程的解法进行类比，这是积极因素,应因势利导.不利因素是：

本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学

生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容

易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错.因此它是本节课的难

点内谷。

【难点的突破】本节课在设计上采用由特殊到一般、从具体到

抽象的教学思路，采用探究式教学方法。由浅入深，通过学生间的讨

论、交流及多媒体的演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，

从感性认识上升到理性认识，因此，在教学过程中我选择让学生自己

去感受一元二次不等式的解法的生成过程，先分析再合作探究，由此

来突破难点。

评测练习:

1.不等式3f—7x+2<0的解集为(

A*IMHB[小<；垢>2

C.卜昌

D.{x|x>2)

2.不等式(3X-2)(2—©20的解集是()

A.|),2_B(-8,1U[2,+8)

_32

-2--2

D.3

C.2r

一

3.解下列不等式:

(1)2^+7x+3>0：(2)—4/+18x—彳)0；

(3)—2<0；(4)—'X2+3x-5>0.

4.解不等式：一ZW-BxWlO.

5.解关于x的不等式。(〃-1)>0,(Q£R).

参考答案:

L解析:选A.因为#一7x+2=(x-2)(3x-l)v0,所以ga<2.

2.解析：选A.原不等式等价于口