条件概率与全概率公式讲义-高三数学一轮复习

条件概率与全概率公式 1．条件概率（一）定义一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．（3）如果与互斥，则．注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．（三）计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则．2．相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是．（2）当时，与独立的充要条件是．（3）如果，与独立，则成立．3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意事件，都有，且.证明：如下图所示，因为事件中有且只有一个与事件B同时发生，其中互斥，即，显然也互不相容.所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：即得到全概率公式：中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为，而导致事件发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为，而且只有发生了才有事件的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择，易求.（二）贝叶斯公式（执果求因）(1)一般地，当且时，有(2)定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，.则对中的任意概率非零的事件，都有，且注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系．考点一条件概率1、一个袋中有个黑球和个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为；事件“第二次抽到黑球”为.（1）分别求事件，，发生的概率；（2）求．2、现有个节目准备参加比赛，其中个舞蹈节目，个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第次抽到舞蹈节目的概率；（2）第次和第次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第次抽到舞蹈节目的条件下，第次抽到舞蹈节目的概率．3、在一个袋子中装有个球，设有个红球，个黄球，个黑球，个白球，从中依次摸个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．4、根据以往数据统计,某酒店一商务房间天有客人入住的概率为，连续天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,求第二天也有客人入住的概率．5、从、、、、、、、、中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是3的整数倍”，求在的条件下发生的概率.6、某人一周晚上值班次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．考点二相互独立与条件概率的关系1、判断下列各对事件是否是相互独立事件．（1）甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生．现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”；（2）容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”；（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现点或点”．2、面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有，，三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：（1）他们都研制出疫苗的概率；（2）他们都失败的概率；（3）他们能够研制出疫苗的概率．3、在一段线路中并联着个自动控制的常开开关，只要其中个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算在这段时间内线路正常工作的概率．4、在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：（1）甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；（2）至少有一个气象台预报准确的概率．5、一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论与的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．考点三全概率公式1、甲箱的产品中有个正品和个次品，乙箱的产品中有个正品和个次品．(1)从甲箱中任取个产品，求这个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．2、一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？3、假定具有症状的疾病有，，三种，现从份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现症状人数试问当一个具有中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？4、某小组有名射手，其中一、二、三、四级射手分别有、、、名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为、、、，今随机选一人参加比赛，求该小组在比赛中射中目标的概率．5、袋中有