第三章函数的概念与性质夯实基础篇-10函数解析式的求法（解析版）

必修第一册夯实基础篇10函数解析式的求法2/2第三章函数的概念与性质夯实基础篇10函数解析式的求法一、问题导入1.函数的表示法？2.如何求解函数的解析式？有哪些常见的求解析式的方式？二、知识构建知识点：函数解析式的求法1.换元法：令t＝g(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替f(g(x))解析式中所有的t即可．2待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．例如，一次函数可以设为f(x)＝kx＋b(k≠0)；二次函数可以设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)等．3.配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．4.方程组法：已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(g(x))的方程组．解之即可得出f(x)；三、类型应用类型一换元法求函数解析式【例1】已知函数，求的解析式．【答案】；【分析】（1）令，则，求出即得解；【解析】令，则．因为，所以故．【跟踪训练1-1】已知数，则的解析式为（）A． B． C．D．【答案】B【分析】首先换元，设，再代入求函数的解析式.【解析】设，则，则，即.故选：B【跟踪训练1-2】已知，则；【答案】【分析】利用换元法求得的解析式，从而求得，由此得解.【详解】因为，令，则，则，所以，则.故答案为：；.【跟踪训练1-3】已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数的值.【解析】，且，所以，，解得.故选：C.类型二待定系数法求函数解析式【例2】已知是二次函数，且满足求的解析式.【答案】【分析】设所求的二次函数为，根据已知求出即得解.【解析】设所求的二次函数为.∵则.又∵∴，即由恒等式性质得∴所求二次函数为【跟踪训练2-1】已知二次函数满足.(1)求的解析式；(2)求的对称轴方程和图象上最高点的坐标.【答案】(1)(2)对称轴为，最高点的坐标为【分析】（1）利用待定系数法直接求解析式；（2）结合二次函数的性质求解即可.【详解】（1）依题意设，因为，所以，解得，则.（2）由（1）知所以，所以的图象关于直线对称轴，图象上最高点的坐标为.【跟踪训练2-2】已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（）A．f(x)=-x B．f(x)=x-1C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x+1【答案】D【分析】利用待定系数法可求出结果.【解析】设f(x)=ax+b(a≠0)，则有所以a=-1，b=1，所以f(x)=-x+1．故选：D【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.【跟踪训练2-3】已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x-1，求f(x)；【答案】或.【分析】利用待定系数法可求函数的解析式.【解析】(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.∵f(f(x))=4x-1，∴，解得或，.类型三配凑法求函数解析式【例3】已知f=x2+，求f(x)；【答案】f(x)=x2+2；【分析】利用配凑法可求函数的解析式.【解析】（1）(配凑法)∵，∴.【跟踪训练3】已知函数f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)【解析】法一(换元法)：设t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1，x≥1.法二(配凑法)：因为x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，所以f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1，eq\r(x)＋1≥1，即f(x)＝x2－1，x≥1.答案：f(x)＝x2－1(x≥1)类型四方程组法求函数解析式【例4】已知，求.【答案】.【分析】在等式的两边同时以代x，构造一个新的等式，然后，求解f（x）即可；【解析】∵，①，∴f（）+2f（x），②①-②×2得：﹣3f（x）＝x，∴【跟踪训练4】已知函数满足，那么的解析式为.【答案】.【解析】函数满足，即，用代替上式中的，可得，由，消去，得.四、数学情境【例5】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①公里以内(含公里)，票价元；②公里以上，每增加公里，票价增加元(不足公里的按公里计算)．如果某条线路的总里程为公里，(1)请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式；(2)画出该函数的图像．【答案】(1)；(2)作图见解析.【分析】（1）根据给定条件，分段求出函数关系式作答.（2）由（1）中函数式，作出函数图象即可作答.【详解】（1）依题意，令x为里程数（单位：公里），为行驶x公里的票价（单位：元），当时，，当时，，当时，，当时，，所以票价与里程之间的函数关系式为.（2）由（1）得函数的图象，如下：【跟踪训练5】如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示成x的函数，并指出自变量的范围.【答案】，【解析】根据圆的半径可知直径，然后在直角三角形中根据勾股定理表示出矩形的另外一边，即可表示出矩形的面积，由于矩形内接于圆，所以可知矩形的边长大于零小于圆的直径.【详解】因为半径为25cm,矩形的一边长为xcm,则矩形另一边为，所以矩形面积,由于矩形内接于圆，所以其边长的范围是：，把y表示成x的函数为:，.【点睛】本题考查了的函数的应用，其中主要是将实际问题转化为数学问题也即数学建模，属于基本题型，解题的关键是根据矩形内接于圆这个条件得到自变量的范围.五、随堂检测题组一1.下列各图中，不可能是函数图象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义，可得答案.【详解】对于C，当时，任意对应两个，显然C错误.故选：C.2.下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（

）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据题意，结合条件对图像逐一分析，即可得到结果.【详解】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B；故选：D3.下列各组函数表示同一函数的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；B中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；C中，函数和

，则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.故选：C.4.函数的定义域为（

）A．{且} B．{且}C． D．{且}【答案】D【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.【详解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D.5.函数，的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性和对称性进行求解即可．【详解】，对称轴为，，函数在上单调递减，在上单调递增，，由对称性可得，所以函数的值域是.故选：D.6.设，则=（

）A．3 B．5 C．-1 D．1【答案】A【分析】根据分段函数的定义区间和解析式，求函数值.【详解】，则.故选：A7.函数的定义域为.【答案】【分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可.【详解】解不等式组，得且，即，所以函数的定义域为.故答案为：8.已知函数，如果，那么实数的值为.【答案】或.【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得.【详解】因为，又，所以或，解得或.故答案为：或9.，用表示中的最小者，记为，则函数的最大值为.【答案】/【分析】画出函数的图象，结合图象即可求得结果.【详解】如图所示，，即，，即，由图可知，，所以的图象如图所示，所以当时，取得最大值为.故答案为：.10.已知函数，求的值.【答案】；；；【解析】直接代入解析式求值即可.【详解】解：；；；.【点睛】本题考查了求函数值，考查了代入思想，考查了数学运算能力.11.已知函数g(x)＝，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x＝4时，求g(x)的值；(3)当g(x)＝2时，求x的值.【答案】（1）不在；（2）；（3）.【分析】将分别代入即可得所求.【详解】(1)，故点不在函数的图像上.(2).(3)12.确定下列函数的定义域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的性质和分式的性质进行求解即可；（2）根据分式的性质进行求解即可.【详解】（1）因为二次根式的分母不能为零，即，且需，即，故的定义域为．（2）因为，所以且，故的定义域为；（选做）已知，若，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分段讨论求解不等式再整合答案即可.【详解】已知，当时,，由得，；当时，，由得，解得，此时不等式无解；当时，，由，得，解得，此时不等式无解．综上所述，的取值范围是．故选：C．题组二1.已知是反比例函数，且，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，利用待定系数法，即可得到结果.【详解】设，∵，，∴.故选：B.2．已知是一次函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解．【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，.故选：A．3．已知，则函数的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用换元法可求的解析式，结合选项可得答案.【详解】令，由于，则，，所以，得，所以函数的解析式为．故选：B4.若函数，且，则（

）A．9 B．11 C．10 D．8【答案】A【解析】转化条件为，即可得解.【详解】因为，所以，解得.故选：A.5.已知函数满足：，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过化简即可得出函数的解析式.【详解】因为，∴，故选：A.6.已知，则.【答案】5【分析】应用赋值法求函数值即可.【详解】令故答案为:5.7.已知函数，则．【答案】【分析】首先求，再求的值.【详解】．故答案为：-18.已知一次函数是R上的减函数，且，则=.【答案】【分析】设，代入，可得解析式.【详解】因为是R上的减函数，所以设，故，所以，解得或，又，得，所以.故答案为：9.某市出租汽车收费标准如下：在3以内（含3）路程按起步价9元收费，超过3的路程按2.4元/收费.试写出收费额（单位：元）关于路程（单位：）的函数解析式.【答案】.【分析】由题意分为两种情况分别求出关系式，写成分段函数即可.【详解】设路程为x时，收费额为y元，则由题意得：当时，；当时，按2.4元/所收费用为，那么有.于是，收费额关于路程的函数解析式为即.10.（1）已知，求函数的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；【答案】（1），（2）【分析】（1）用换元法即可求得解析式；（2）用待定系数法即可求得解析式.【详解】（1）设，，，，，，.（2）是二次函数，设，由，得，由，得，整理得，，，，，.由待定系数法可知，解得，所以.六、素养提升1.函数的图象与直线的交点个数（

）A．至少有1个 B．至多有1个 C．仅有1个 D．可能有无数多个【答案】B【分析】根据函数的定义判断.【详解】当x在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值与之对应,函数的图象与直线有唯一交点；当x不在定义域内时,函数值不存在,函数的图象与直线没有交点。故函数的图象与直线至多有一个交点，即函数的图象与直线的交点至多有一个，故选：B.2.函数的图象如图所示，(1)函数的定义域､值域各是什么？(2)r取何值时，只有唯一的值与之对应？图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数的图象，分析