函数的单调性 教学设计 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

教学设计

课程基本信息课题3.1.2函数的单调性教学目标1.理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性；2.让学生体验数学知识的发生发展过程，在体验函数单调性概念符号化的建构过程中掌握数学的认知策略；3.培养学生分析、综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象，提升核心素养.教学内容教学重点：掌握函数单调性的概念

教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性．教学过程1.情境引入:见到大家我很高兴,先和同学们分享三段“小曲儿”：1234567765432115351535来到这里我很高兴天气变的越来越冷添加衣服添加衣服问题1：你能描述上述三段小曲音调的变化规律吗？答：分别为上升、下降、有升有降。问题2：你能根据上述的变化规律分别给出一个函数吗？并在直角坐标系中绘制相应的函数图象．【设计意图】：创设“音调→图象”的问题情境，让学生用简单的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做使教学过程富有情趣，激发学生的学习热情。函数图象的变化趋势有三种情况：①在整个定义域上呈上升趋势；②在整个定义域上呈下降趋势；③定义域被划分成若干区间，在每个区间的上升（或下降）趋势是确定的，这三种情况和三段小曲相对应.2.温故知新:问题3：观察绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生绘制的图象定），你能指出图象变化的趋势吗?观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势．问题4：“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是如何描述的？例如，初中研究时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大．回忆初中对函数单调性的描述性定义：图象呈逐渐上升趋势⇔函数值y随x的增大而增大图象呈逐渐下降趋势⇔函数值y随x的增大而减小函数的这种性质称为函数的单调性．有的同学认为图像的上升或者下降趋势通过观察即可得出，又何必用函数值y随x的变化而变化呢？下面我们看这样一个函数图像这条直线，看起来是和x轴平行的，但通过取点发现，是呈上升趋势的。显然，仅靠观察图像得出函数的单调性是不行，还需要用代数的方法加以验证。【设计意图】：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的学习．对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点紧密衔接，符合学生的认知规律．3.建构概念问题5：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？第1步：将两个“增大”符号化．当时,第2步：再将“随”符号化．当时,第3步：再将隐含语言“任意”符号化．能否通过个别数值来说明单调性？例如，函数（x∈R），取x＝−1，2，3，4，…，相应地y＝1，4，9，16，…，能不能说函数值y随x的增大而增大？对区间I上有限个或无限个自变量满足且，都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质．必须强调的任意性，才能准确表述单调递增的特征．对任意，都有第4步：再将隐含语言“区间”符号化．在“任意”的同时，还有“不任意”，因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中∈I．对于区间I内的任意两个值，当时，都有定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间．问题6：如何定义单调减函数呢？定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA．如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间．【设计意图】：问题5的解决被设计成逐层递进的4步，让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密的，让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则．问题6则要求学生结合图象和单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的．4.呼应引入：说出学生绘制的函数的单调区间。5.例题巩固：例1.作函数的图象，并写出它的单调区间.解:函数的图象如图所示,和是两个减区间问:能否说函数在定义域上是单调减函数?为什么?引导讨论,带入特殊值举反例否定结论(如,)【设计意图】：学生对一个概念的认识不可能一次完成，要从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延．在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样否定一个函数的单调性,帮助学生理解函数单调性的概念，加深学生对“任意”两字的理解．例2判断函数的单调性，并求这个函数的最值．通过本例，学生主要学会：（1）判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察；定义法：严格按照定义进行验证；分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合．（2）概括出定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号→结论．练习：作函数、的图象，写出单调区间．(如有时间可证明)5.3函数的单调性单调性的定义