小学思维数学讲义：余数性质(一)-带详解

1、余数性质（一）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃 9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+1639 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+1942 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理a 与 b 的差除以

2、c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23167 除以 5 的余数等于 2，两个余数差 312. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14 除以 5 的余数分别是 3 和 4，23149 除以 5 的余数等于 4，两个余数差为 3544 3.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以 c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 313。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以

3、 c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即 2.乘方：如果 a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 an与 bn除以 m 的余数也相同二、弃九法原理在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一 个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是 这样进行的：例如：检验算式1234 +1898 +18922 +678967 +178902 =8899231234 除以 9 的余数为 11898 除以 9 的余数为 8

4、18922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几 个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以 9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的 各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去，所以这种方法被 称作“弃九法”。1

5、所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模 9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被 9 除的余数 即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用 注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式 2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往 可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。例题精讲模块一、余数的加减法定理【例

6、 1】 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 40 只桔子，200 块饼干，120 块奶糖。平均分发完毕，还剩 4 只桔子，20 块饼干，12 粒奶糖。这班里共有_位小朋友。【考点】余数的加减法定理 【难度】1 星 【题型】填空【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分【解析】 40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人数应是 36，180，108 的大于 20 的公约数，只有 36。【答案】 36【例 2】 在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7，则将这几个数归为一组这 样的数组共有_组【考点】余数的加减法定

7、理 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5因为 2 +5 =2 +5 +0 =7 ，2 +5 +3 +6 =0 +2 +5 +3 +6 =7 +9 ， 所 以 这 样 的 数 组 共 有 下 面 4 个 ：(20 0 0 , 2)0，0 3(1998,2000,2003)， (2000,2003,2001,1995 )， (1998,2000,2003,2001,1995 )【答案】 4【例 3】 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规

8、定每两人比赛的盘数是他们号码的和 被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理 【难度】2 星 【题型】解答【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。 那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5 盘 是最多的。【答案】 5【例 4】 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是_ 【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】

9、(70 +110 +160) -50 =290 ， 50 3 =16.2 ，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58，110 58 =1.52 ， 52 50 ，所以除数不是 58 70 29 =2.12 ，110 29 =3.23 ，160 29 =5.15 ， 12 +23 +15 =50 ，所以除数是 29【答案】 29【巩固】 用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么 n=_【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 n 能整除 63 +91 +129 -25 =258 因

10、为 25 3 =8.1 ，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n 不能大2于 63符合条件的只有 43.【答案】 43【例 5】 如果 11！，122！，1233！12399100100！那么 1！+2！+3！+100！ 的个位数字是多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 从 5！开始个位数字都是 0 了因此只需要计算前 4 个数,1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33 所以末位数 字一定是 3【答案】 3【例 6】 六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买成语大 词典一看定价才发现有 5

11、 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是_元【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小数报【解析】 六名小学生共带钱 133 元133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3 本，所以他们 五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本成 语大词典的定价是 (14 +17 +18 +21 +26) 3 =32 (元) 【答案】 32【巩固】 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，

12、两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 两个顾客买的货物重量是 3 的倍数 (15 +16 +18 +19 +20 +31) (1 +2) =119 3 =39.2 ，剩下的一箱 货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20 千克【答案】 20【巩固】 六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494 六个数，甲取 3 张，乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另 个人的 2 倍

13、，则丙手中卡片上的数是 _(第五届小数报数学竞赛初赛)【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】小学数学奥林匹克【解析】 根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍”可知，甲、乙手中五张卡片上 的数之和应是 3 的倍数计算这六个数的总和是1193 +1258 +1842 +1866 +1912 +2494 =10565 ， 10565 除以 3 余 2；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙手中的卡片上 的数除以 3 余 2六个数中只有 1193 除以 3 余 2，故丙手中卡片上的数为 1193【答案】 1193【例 7】 从 1

14、，2，3，4，2007 中取 n 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除n 最大为 多少？【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 8 题【解析】 取出的 n 个不同的数中，任意三个的和能被 15 整除，则其中任意两个数除以 15 的余数相同，且这 个余数的 3 倍能被 15 整除，所以这个余数只能是 0，5 或者 10在 1 2007 中，除以 15 的余数为 0 的有 15 1， 15 2 ，15 133 ，共有133 个；除以 15 的余数为 5 的有 15 0 +5 ， 15 1+5 ， 15 133 +5 ，共有 134 个

15、；除以 15 的余数为 10 的有 15 0 +10 ，15 1 +10 ，15 133 +10 ，共有 134 个所以 n 最大为 134【答案】 134【例 8】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是 一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】解答3【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】 从任意三人岁数之和是 3 的倍数，100 除以 3 余 1，就知四个岁数都是 3k +1 型的数，又是质数只 有 7，13，19，31，37，43，就容易看出：父 43 岁

16、，母 37 岁，兄 13 岁，妹 7 岁【答案】 37【例 9】 有三所学校，高中 a 校比 b 校多 10 人，b 校比 c 校多 10 人三校共有高中生 2196 人有一所学 校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1.5 倍；还有一所学校高中、初 中人数相等三所学校总人数是 5480 人，那么 a 校总人数是_人【考点】余数的加减法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克【解析】 三所学校的高中生分别是：a 校 742 人，b 校 732 人，c 校 722 人如果 a 校或 c 校初中人数是高 中人数的 1.5 倍，该校总人数是奇

17、数，而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数，与三校总人 数 5480 是偶数矛盾，因此只能是 b 校的初中人数是高中人数的 1.5 倍三校初中的总人数是 5480 -2196 =3284 ，被 3 除余 2；732 被 3 整除，722 被 3 除余 2,742 被 3 除余 1从余数来看 2 2 +1 =5 ， 1 2 +2 =4 ，就断定初中人数是高中人数的 2 倍，只能是 c 校所以，a 校总人数是 742 +742 =1484 (人) 【答案】 1484模块二、余数的乘法定理【例 10】 求 2461135 6047 11 的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【

18、解析】 因为 2461 11 =223.8 ， 135 11 =12.3 ， 6047 11 =549.8 ，根据同余定理(三)，2461 135 6047 11 的余数等于 8 3 8 11 的余数，而 8 3 8 =192 ，192 11 =17.5 ，所以 2461135 6047 11 的余数为 5【答案】 5【巩固】 求 478 296 351除以 17 的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以 17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别

19、为 2，7 和 11， (2 7 11) 17 =9.1 【答案】 1【巩固】 求 437 309 1993 被 7 除的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 方法一：先将 437 309 1993 算出以后，即 437 309 1993 =269120769 再求得此数被 7 除的余 数为 1方法二：因为 473 除以 7 的余数为 3， 309 除以 7 的余数为 1，由“同余的可乘性”知：（437 309）除 以 7 的余数为（3 1）又因为 1993 除以 7 的余数为 5，所以（437 309 1993）除以 7 的余数 等于（3 15）即 15 除以 7

20、 的余数，算出 437 309 1993 被 7 除的余数为 1方法三：利用余数判别法，算出 437 309 1993 =269120769 ，奇数节的数之和与偶数节的数之和 的差即（2 +6 +9）（+7+6 +）9（-1+2+）0=17 + 22 - 3=，3636 除以 7 的余数为 1 ，即 437 309 1993被 7 除的余数为 1【答案】 1【例 11】 求 478 2569 352 除以 9 的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【分析】 4 +7 +8 =19 =2 9 +1 ， 2 +5 +6 =13 =9 +4 ， 3 +5 +2 =10 =9 +1

21、 ， 478 2569 351 除以 9 的余数等 于14 1=4 【答案】 442 2 222 2 2222 2 222121212 6 612128989896【例 12】 一个数被 7 除，余数是 3，该数的 3 倍被 7 除，余数是 。【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 3 题，5 分【解析】 余数是 337 的余数，为 2【答案】 2【例 13】 在图表的第二行中，恰好填上8998 这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的 余数都是 3【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 因为两个数的乘积除

22、以 11 的余数，等于两个数分别除以 11 的余数之积因此原题中的8998 可以改换为110 ，这样上下两数的乘积除以 11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：【答案】【例 14】 1 +2 +3 + +2001 +2002 除以 7 的余数是多少？ 【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】实验中学【解析】 由于1 +2 +3 + +2001 +2002 =2002 2003 40056=10012003 1335 ，而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故1 +2 +3 + +2001 +2002 除以 7 的余数是

23、0； 【答案】 0【例 15】 求 644319 的余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 本题为余数乘法定理的拓展模式，即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由 644319 余 2，求原 式的余数只要求 2 19 的余数即可。但是如果用 219 发现会进入一个死循环，因为这时被除数比 除数小了，所以可以进行适当的调整， 2 =2 2 =64 64 ，6419 余数为 7，那么求 2 19 的余数就转化为求 64 64 19 的余数，即 4919 的余数。4919 余数为 11，所以原式 6443 19 的余数为 11.【答案】 11【巩固】 求 143 除以 7 的

24、余数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 法一：由于143 3 (mod 7 )(143 被 7 除余 3)，所以143893(mod 7 )( 14389被 7 除所得余数与 3被7 除所得余数相等),而 3=729 ， 729 1 (mod 7 )（729 除以 7 的余数为 1），58966655898913567895406406406406404242410140640623420101000n2324 2 26 3 310004 616610001997199739320202020201997176517651719971997所以 3333335(mod

25、7),故143除以 7 的余数为 5.14个法二：计算 3 被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：332334333mod7 32 6 4513于是余数以 6 为周期变化所以 335(mod 7)【答案】 5【巩固】 求 3写成十进制数时的个位数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 要想把 3具体数字算出来显然是不可能的，由于题目可以转化为求3除以 10 的余数看到题目里面有个很大的乘方，我们想到利用“同余的乘方性”可先确定 n，使 3n除以 10 的余数为 1通过尝试可知，最小的 n 为 4因为 3=33=（3）1013，（3 ）除以 10 的余数等于1

26、101除以10 的余数即 1， 32除以 10 的余数为 9，所以， 3除以 10 的余数为 1 9 =9 ，即 3写成十进制数时的个位数为 9 【答案】 9【巩固】 2009 2009 2010 个20092009 的个位数字是_【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 4 题【解析】 易知的个位数字是， 2009 的个位数字是， 2009 的个位数字是， 2009 的个位数字 是，两个为一周期，则 2009 的个位数字是.【答案】 1【巩固】 200720072007（2008 个 2007）的个位数字是 。【考点】余数的乘法定理 【难度】3

27、星 【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 1 题【解析】 可以看出 2007 的乘方其尾数是 7、9、3、1 四个数字循环的，2008 个 2007 相乘，其尾数为 1. 【答案】 1【例 16】 今天是星期四，10 天之后将是星期几？【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 先求较小的 n，使 10 除以 7 的余数为 110 除以 7 余 3，10 除以 7 余 2， 10 =10 10 除以 7 余 3 2 =6 ，10 =10 10 除以 7 余 2 2 =4 ， 10 =10 10 除以 7 的余数等于 6 6 =36 除以 7 的余数等于 1所以，10 除以 7 的余数等于 10 10 除以 7 的余数等于 4 1 =4 ，故 10 天之后，应是星期一【答案】星期一【例 17】 求 3的最后两位数【考点】余数的乘法定理 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 即考虑 3除以 100 的余数由于 100 =4 25 ，由于 3=27 除以 25 余 2，所以 3除以 25 余 8，10