圆锥曲线的方程讲义二十 高三数学一轮复习

高中数学高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二十知识点一根据离心率求椭圆的标准方程,求椭圆中的参数及范围,椭圆中向量点乘问题典例1、已知椭圆：（）经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，过椭圆上的点，（）的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值.

随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上一点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，求的取值范围；典例2、已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值．

随堂练习：已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求的面积；（3）对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.典例3、在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.

随堂练习：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．知识点二根据离心率求椭圆的标准方程,椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题典例4、已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.

随堂练习：已知椭圆：经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.典例5、已知椭圆的右焦点为，短半轴长为，为椭圆上一点，的最小值为．（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）若过点的直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否存在异于点的定点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

随堂练习：设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．（1）求椭圆和的方程；（2）若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由．典例6、已知，是椭圆：的焦点，，是左、右顶点，椭圆上的点满足，且直线，的斜率之积等于（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于，两点，若，，其中，证明

随堂练习：已知，，动点满足，轴于点，，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线交轴于点，轴，证明：.2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时二十答案典例1、答案：（1）；（2）2.解：（1）由题意知：，解得：，∴椭圆的方程为.（2）设，（），又直线的斜率存在且，∴设直线为：，可得：，，由，则，故，联立，可得：，又，故直线为，联立，得：，即B、D的横坐标为，∴，∵点到直线的距离，∴当且仅当，即时等号成立.∴面积的最大值为2.随堂练习：答案：（1）；（2）.解:（1）设椭圆的半焦距为c，由题知，解得，所以椭圆方程为；（2）由题意，①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，不妨设，，此时，，所以；②若直线的斜率存在，设的方程为，，，则由，消去得，，所以，，又，所以，因为，所以，所以，所以；综上，的取值范围为.典例2、答案：（1）（2）周长是定值，且定值为4解：（1）因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，又，可得：，由，所以，∴椭圆的标准方程为；（2）设直线的方程为，由得：，所以，设，，则：，所以.因为直线与圆相切，所以，即，所以，因为，又，所以，同理.所以，即的周长是定值，且定值为4．随堂练习：答案：（1）（2）（3）是，定值为8，证明见解析解：（1）长轴长是焦距的2倍，则，则，∴椭圆为，代入点得，解得.∴椭圆的方程为.（2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为.设，由得，∴，，.∴.∴.（3）的周长为定值，理由如下：直线l恒过椭圆左焦点，由椭圆定义可知的周长为.典例3、答案：（1）（2）解：（1）设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，（2）设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；随堂练习：答案：（1）（2）证明过程见解析解：（1）由椭圆的定义可知：M的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，，所以，所以C的方程为（2）设直线l为：，则联立得：，设，则，，，则，AB中点坐标为，所以AB的垂直平分线为，令得：，所以，，典例4、答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2），∴，椭圆，令，直线l的方程为：，联立方程组：，消去y得，由韦达定理得，，有，因为：，所以，，将点Q坐标代入椭圆方程化简得：，而此时：.，而，O点到直线l的距离，所以：，因为点P在椭圆内部，所以，得，又，所以，当，即时等号成立.所以的最大值是.随堂练习：答案：（1）（2）4解：（1）由题意可得：，又离心率为，所以，可得，那么，代入可得：，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，设，，联立可得：，其判别式，可知由韦达定理可得：，，那么，所以的面积典例5、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率；（2）存在点，使得．解：（1）由题知，，又，解得，所以椭圆的标准方程为，椭圆的离心率．（2）当直线的斜率存在时，设，．联立，消去并整理得，由，得或则，若存在异于点的定点，使得，则的平分线与轴平行，即．设，则解得，即；当直线斜率的不存在时，由对称性，显然有．综上，存在点，使得．随堂练习：答案：（1），.（2）不存在，理由见解析解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为，椭圆的离心率，，，，将点代入椭圆的方程得：，联立解得：，椭圆的方程为：，，轴，，的方程为：；（2）由、在圆上得，设，，，同理：，若，则，即，，由得，得，无解，故不存在．典例6、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）因为：上的点满足，所以表示焦点在轴上的椭圆，且，即，所以，，设，则，①所以直线的斜率，直线的斜率由已知得，即，②由①②得所以椭圆的方程为：（2）当直线的斜率为0时，与重合，与重合，，。成立.当直线的斜率不为0时，设的方程为联立方程组，消整理得，所以，解得或设，，则，由，得，所以设，由，得所，所以，所以点在直线上，且所以是等腰三角形，且，所以，综上，随堂练习：答案：（1）（2）证明见