高中数学数列周练(一)题及答案

数列周练(一)

2

1、设函数f(x)=81nx+15x-x,数列｛aj满足an=f(n),n£N+,数列｛aj的前n项和Sn

最大时，n=()

A.15B.16C.17D.18

2.已知数列｛aj前n项和Sn满足：S=2an-1(nCN*),则该数列的第5项等于()

A.15B.16C.31D.32

2Sn+24

3.若等差数列｛aJ的前n项和S则an+1的最小值为()

A.4TB.8C.6D.7

4.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有

()

A.13项B.12项C.11项D.10项5.

由a1=l,d=3确定的等差数列｛aj中，当an=298时，序号n等于()

A.99B.100C.96D.101

6.在等差数列同｝中，2a7=a9+7,则数列同｝的前9项和S9=()

A.21B.35C.63D.126

7•已知等差数列｛aj满足:32=2,Sn-Sn.3=54(n>3),S=100,则n=()

A.7B.8C.9D.10

2

8,等差数列｛0｝的前n项和为S”已知ai/+Lm=0,尸38,则m=()

A.9B.10C.20D.38

9,设等差数列｛aj满足3*5由5,且&1>°,S”为其前n项和，则数列区｝的最大项为

()

A.523氏S24C.S25D.S?6

2

10.设数列⑸｝满足a尸2,an+i=l-,记数列｛斯｝的前n项之积为Tn,则T2oi8=

an+1

()

A.1B.2C.JD,2_

33

IL等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知@5=8,S3=6,则S2-S7的值是()

A.24B.48C.60D.72

12.在等差数列｛aj中，已知a+时16,则该数列前11项和Sf()

A.58B.88C.143D.176

13｛a｝a=la=11an>2nN*｛与｝n

、在数列n中，I，nn-l(，d)，则数列二的前

n2-ln-

项和Tn=.

14.公差不为0的等差数列｛aj中，ai+a产8,且a,为4和。和等比中项,则a产.

15.若等差数列｛a.｝中，满足Eu+a.o+a.^18,则SI9=.

16.知数列⑶｝中，ai=2,an+i=an+2n-1,(nGN+)则该数列的通项公式a0=.

17、已知数列｛aj是递增的等比数列，满足a=4,且年a?是七、a4的等差中项，数列也｝

满足*=bn+l,其前n项和为sn,且Sz+SFa,

(1)求数列｛aj,瓜｝的通项公式

(2)数列｛aj的前n项和为T“若不等式nlog式1才4)-Ab卡723n对一切neN*恒成

立，求实数人的取值范围.

18.已知数列｛aj的前n项和为S“且aFl,S0*「2SR(nWN*).

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)若数列｛bj满足b.=n+T",求数列｛bj的前n项和Tn.

19.设A(n)为关于n的k(keN)次多项式.数列｛aj的首项aE，前n项和为S..对于

任意的正整数n,an+Sn=fk(n)都成立.

(I)若k=0,求证：数列｛aj是等比数列；

(II)试确定所有的自然数k,使得数列｛4｝能成等差数列.

20.已知数列｛aj前n项和为S,,,且满足3S„-4a„+2=0.

(I)求数列｛a.｝的通项公式；

n1

(II)令b“=log2a“，T“为｛bn｝的前n项和，求证：£---<2.

k=l1k

21.已知函数f(x)=x?+(a-1)x+b+1,当xG[b,a]时，函数f(x)的图象关于y轴对

称，数列｛aJ的前n项和为S“，且S„=f(n+1)-1

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设b.=」，求数列｛bj的前n项和T..

2n

22.(12分)已知数列｛an｝是等差数列,且ai=2,ai+a2+a3=12.

(1)求数列｛an)的通项公式；

n

(2)令bn=an-3,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

试卷答案

1.B

【考点】数列的求和.

【分析】求出f(x)的导数，由导数大于0,可得增区间；导数小于0,可得减区间，再

计算f(l),f(8),f(16),f(17)的符号，即可得到所求数列｛aj的前n项和Sn最大

时，n的值.

【解答】解：函数f(x)=81nx+15x-x2,x>0

导数为6+15-2X=8+15X-2X2

XX

—_-(x-8)(2x+l)»

x

当x>8时，f(x)<0,f(x)递减；当0<x<8时，f(x)>0,f(x)递增，

可得x=8处f(x)取得极大值，且为最大值，f(8)=81n8+120-64>0,

由an=f(n),nCN+，可得f(1)=15-l=14>0,

f(16)=81n16+15x16-162=81nl6-16>0,f(17)

=81nl7+15xl7-172=81nl7-34<0,

由单调性可得a,,a2,…，a%都大于0，ai7<0,

则数列&｝的前n项和Sn最大时，n=16.

故选：B.

【点评】本题考查数列前n项和的最值，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于

中档题.

2.B

【考点】8H：数列递推式.

【分析】根据题意，由数列的递推公式分析可以求出数列是以I为首项，以2为公比

的等比数列，即可得数列｛%｝的通项公式，将n=5代入计算即可得答案.

【解答】解：根据题意，..飞„=24-1,

.,.当n=l时,a产2a「1,解得&=1,

当n》2时，％=s“-S“T=(2an-1)-(2a„.i-1)=2a„-2a,,-i，

•"a”=2a“-1，

.•.数列｛aj是以1为首项，以2为公比的等比数列，

则as=*

三16

故选：B.

3.D

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】由S『n:可得af,aR.可得等差数列{a},的公差d=2.可得a可得

2S+241919

—=n+U,令N(x》l),利用导数研究其单调性即可得出.

an+lnx

【解答】解：由SHA可得a^l,l+aH=解得a由

.•.等差数列｛aj的公差d=3-1=2.

.'.a„-l+2(n-1)=2n-1.

.25n+242n2+2412,

"an+l2n-1+1n'

令—(x'l)，f'(x)=1

X

当虫时，f'(x)〈氏函数f(x)单调递减；当>27到寸，f(x)<0,函

数f(x)单调递增.

；.n=3或4时卫取得最小值

7.故选：D.

4.B

【考点】等比数列的性质.

【分析】先设数列的通项公式为aiqnr,则前三项之积：ajq3=2,后三项之积：a/q3n6=4

两式相乘得即a/qn1=2,又根据所有项的积为64,进而求出n.

【解答】解析：设数列的通项公式为aiq，，।则前三项分别为a”aiq,aiq2,后三项分别为

a)qn'3,aiqn-2,aiqn

；・前三项之积:aj3q3=2,后三项之积：a?q3n-6=4

两式相乘得：ai6q3<n1，=8,BParqn'1=2

又araiq,aiq2...aiqn'=64,

:.a；qn!?J)-=64,即(aj2qnl)n=642,

A2n=642,An=12

故选B

【点评】本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

5.B

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】先根据ai=l,d=3确定的等差数列的通项，再求项数.

【解答】解：由题意，an=3n-2,故有3n-2=298,，n=100,

故选B.

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及其运用，属于基础题.

6.C

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】由已知得ai+4d=a5=7,从而利用数列｛a,J的前9项和,(%+&9)=9@5，能

求出结果.

【解答】解：•••在等差数列｛&,｝中，2a7=a9+7,

.".2(ai+6d)=ai+8d+7,

；.ai+4d=a5=7,

q

数列⑸｝的前9项和5(a[+ag)=9a5=63.故

选：C.

【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差

数列的性质的合理运用.

7.D

【考点】等差数列的前n项和.

【分析】由等差数列的性质得a1=18.(n22),由此利用等差数列的通项公式能求出

n.

【解答】解：：等差数列｛4｝满足：包=2,S“-Si=54(n>3),S„=100,

.­.a„+a...,+a,,.2=54(n>3),又数列｛a,,｝为等差数列，

/.3a„.|=54(n22),

=

/•an.]18.(n22),

又@2=2,Sn=100,

(a+a

.c-2rrPXn_(2+18)Xn_i

・・o.------------------------------------------1UU,

o9

n=10.

故选：D.

8.B

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】根据等差数列的性质可知，第m-1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入a.

「如-屋力中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m

-1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m

的值.

【解答】解：根据等差数列的性质可得：a…+&.尸24,

则a,„.i+amH-a：=a“(2-a,„)=0,

解得：a“=0或a[2,

r(a1+a2nl7)

又S2n，-尸----------'——=5-^—=(2m-1)a,,

2

若a*=0,显然(2m-1)a*=38不成立，故应有&=2

此时S2.-1-(2m-1)a.=4m-2=38,解得m=10

故选B.

9.C

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】设等差数列｛an｝的公差为d,由3aH=5呢，利用通项公式化为2&+49d=0,由

力〉0,可得d<0,S.=na产(1彳口d=[(n-25)?-利用二次函数的单调性即可

得出.

【解答】解:设等差数列入｝的公差为d,：3E=5aw，二3(a,+7d)=5(a,+14d),化为

2a1+49d=0,

，d<0,...等差数歹ij｛a｝单调递减，

cn(n-l).(49d、，n(n-l)/d2625,

S“=na,---d=n(-^-)+—q—d=y(n-25)-

.•.当n=25时，数列｛$J取得最大值，

故选：C.

1O.D

【考点】数列递推式.

【分析】依题意，数列｛an｝是以4为周期的函数数列，可求得

,,

a1«a2»a3»a4=a5*a6*a7*a8=...=a2oi3,a2oi4a2oi5a2oi6=l>从而可得答案•

2

【解答】解：Vai=2,a+i=l

nan+l'

2

.1211-T^l2

・31溶后吁1T必=■=2,.

+1-3+1

o

即an+4=an9

・•・数列｛an｝是以4为周期的函数，

又ai・a2・a3・a4=a5・a6・a7・a8=...=a2oo5・a2oo6・a2oo7・a2oo8=l，Tn为数列⑶｝的前n项之积，

12

eeee>

/•T2oi8=(ai*a2a3a4)•(a5・a6・a/a8)...(a2oi3,a2oi4a2oi5a2oi6)•a2oi7a2oi8=ara2=2X—=—,

oo

故选：D.

ll.B

【考点】等差数列的性质：等差数列的前n项和.

【分析】利用条件as=8,S3=6,计算等差数列的首项，公差，进而可求S10-S7的值

【解答】解：设等差数列的首项为ai，公差为d

35=8,S3=6,

a+4d=8

a1+ai+d+a[+2d=6

・・4

d=2

*'•Sio"S7=a8+a9+aio=3a।+24d=48

故选B.

12.B

【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和.

【分析】根据等差数列的定义和性质得a,+a产a,+&=16,再由S后史氏士父1,一运算求

2

得结果.

【解答】解：•••在等差数列｛aj中,已知a,+a,=16,

.\ai+aH=a1+a8=16,

11(a+a)

•C—1t1H1—QQ

••------------------------------------OO,

2

故选B.

13.

2n

n+1

【考点】数列的求和.

【分析】由条件可得乎点.缪,令书子可得年舄.…由

%_2、=2

求得b,,,进而得到a”，可

2

blb2bn-2bn-lnn(n+l)

再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和.

2

【解答】解：在数列｛an｝中，a】=l,an=—5—an-i(n>2,nGN*),

n-1

可氏T』，

nn+1n-1

=

令bn=---,可得bn-T7"*bn1，

nn+1

bbbb,2.3n-ln2

rh23n-ln

1117*7…7•7=1•-77*~~T--•aT~—丁，

bjb2bn_2LT34nn+1n+1

可得驾，

n+1

即%—二？十者

1

贝I前n项和-)=2(1-煮)

Z23nn+1

2n2n

故答案为

n+1n+1

【点评】本题考查数列的求和，注意运用构造数列法，结合数列恒等式，考查裂项相消求和,

考查化简整理的运算能力，属于难题.

14.13

【考点】等差数列的通项公式.

【分析】设等差数列｛aj的公差dWO,由4+a3=8,且a,为电和久和等比中项，可得

2a,+2d=8,(ai+d)(ai+8d)=(a]+3d产，联立解出即可得出.

【解答】解:设等差数列｛%｝的公差dWO,•；ai+a3=8,且a,为包和a”和等比中项,

,*.2al+2d=8,(a1+d)(a[+8d)=(a1+3d)2,

解得④=1,

d=3.则

a5=l+3X4=13.

故答案为：13.

15.114

【考点】等差数列的前n项和.

【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.

【分析】利用等差数列的性质可得：2,+2m由6=18=32.解得a,„,再利用求和公式及其性质

即可得出.

【解答】解：由等差数歹Maj的性质可得，a,+am+akRnBaK,,解得a/6,

19（31+aiq）

则Sr,=-----------——=19aio=114,

2

故答案为：114.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

16.

n2-2n+3

【考点】数列递推式.

【分析】由已知数列递推式，利用累加法求得数列通项公式.

【解答】解：由ai=2,an+i=an+2n-1,得

aa-ai=2xl-1,

aj-32=2x2-1,

34—a3=2x3-1,

...an-ani=2(n-1)-1,

(n>2)

累加得：an-ai=2[l+2+…+(n-1)]-(n-1),

・,・/=2+2Xq一1乂中士+ll-(n-l)=n?-2n+3(n>2).

验证n=l上式成立,

2

an=n-2n+3.

故答案为：n2-2n+3.

【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是基础题.

17.

【考点】数列与不等式的综合.

【分析】(1)利用是a2、%的等差中项，求出公比，可求数列｛aj的通项公式；

数列｛bj为等差数列，公差d=l,可求数列｛bj的通项公式；

(2)不等式nlogz(T„+4)-入15让72311化为112-11+72入(n+1),可得入《二!二!211

n+1

对一切n£N"恒成立，利用不等式，即可得出结论.

n-1

【解答】解：(1)设等比数列｛aj的公比为q,则q>l,a=4q

是a?和a,的等差中项，

•，-2X*|*a3=a2+%即2q2-5q+2=0,

n-1n+1

Vq>l,.,.q=2,Aan=4-2=2

依题意，数列｛bj为等差数列，公差d=l

又S2+s「32「.(21+1)+6〉+与也=32，

Abi=2,'bn=n+1…

nH

(2)a=2.T=g(2.n-1).=2什2―4.

0n乙1n2-1乙

不等式nlogz(T“+4)-入b"723n化为n?-n+72入(n+1)

VnEN*-

X《n、-n+%一切ne“恒成

n+1

而门+了(n+1)2-3(n+l)+99、o(TTn--3-3

FT-=------Q-------=(n+1)+W-3>2V(n+1)，toT3-3

当且仅n+l=3，

n+1

即n=2时等式成立，

/.XW3…

18.

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式.

【分析】(1)由题意可得S„.,+l=2(S„+l),即有数列｛S.+1｝是以8+1=2,2为公比的等比

数列，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式；

(2)求出b.=n+°Ln+n・(=)运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合

an2

等差数列和等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和.

【解答】解：(1)a产1,Sn“-2S”=1,

即为Sg+1=2(Sn+1),

即有数列£,+1｝是以S.+l=2,2为公比的等比数列,

则S、+l=2・2…=2",

即S“=2"-l,nGN*,

当n22时，a=Sn-Sn.,=2"-1-(2…-1)=2…，

上式对n=l也成立，

则数列｛aj的通项公式为a72"，nWN*；

(2)b„=n+-^-=n+n,(―)

an2

前n项和T“=(1+2+3+…+n)+[1,1+2*(-^-)+3*(/■)-+…+n*(-^-)'](

设M=ri+2・(―)+3・(―)斗…+n・(4)

n222

(g)+3*(=)§+…+n・(=)”,

22222

1

相减可得，~Mn=l+-^-+(-i-)2+(-i-)■,+,,•+(-i-)"--n・(')

乙乙乙乙乙乙

化简可得此=4-(n+2)•(a)…，

则T„=/n(n+1)+4-(n+2)•(3)n".

19.

【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定：81)：等比关系的确定.

【分析】(I)若k=0,不妨设f。(n)=c(c为常数).即a“+S“=c,结合数列中々与S„

fsn=l

关系a“=Inc求出数列kJ的通项公式后再证明•

n'SnTn>2

(ID由特殊到一般，实质上是由已知4+$“=。(n)考查数列通项公式求解，以及等差数

列的判定.

【解答】(I)证明：若k=0,则fk(n)即fo(n)为常数，

不妨设f。(n)=c(c为常数).

因为an+S=fk(n)恒成立，所以a+S尸c,

c=2a尸2.而且当1122B寸，

Hn+Sn=2,①an

-1+S「尸2,②

①-②得2an-an.!=0(n£N,n22).

若a『0,则a心尸0,…，a尸0,与已知矛盾,所以anW0(n£N*).

故数列｛aj是首项为1,公比为•的等比数列.

(ID(1)若k=0,由(I)知，不符题意，舍去.

(2)若k=l,设f\(n)=bn+c(b,c为常数)，

当n22时，an+St=bn+c,③4-"广产b(n-1)

+c,(4)

③-④得2an-an-i=b(n《N,n22).

要使数列｛%｝是公差为d(d为常数)的等差数列，

必须有a「b-d(常数)，

而为=1,故｛aj只能是常数数列,通项公式为an=l(n@N*),

故当k=l时，数列｛4｝能成等差数列，其通项公式为&L1(n£W),

此时(n)=n+l.

2

(3)若k=2,设f2(n)=pn+qn+t(aWO,a,b,c是常数)，

当n22时，

2

a,+Sn=pn+qn+t,⑤a“r+S”尸p(n-1)

2+q(n-1)+t,(6)

⑤-⑥得2ari-an-i=2pn+q-p(nGN,n22),

要使数列｛aj是公差为d(d为常数)的等差数列，

必须有a,=2pn+q-p-d,且d=2p,

考虑到aFl,所以8n=1+(n-1)*2p=2pn-2p+l

(neN*).故当k=2时，数列｛aj能成等差数列，

其通项公式为a『2pn-2p+l(nEN*),

2

此时f2(n)=an+(a+1)n+1-2a(a为非零常数).

(4)当k》3时，若数列｛4｝能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二

次型函数，

则为+S”的表达式中n的最高次数为2,

故数列｛aj不能成等差数列.

综上得，当且仅当k=l或2时，数列｛a｝能成等差数列.

20.

【考点】数列的求和；数列递推式.

【分析】(I)当n=l,ai=2,当n22,求得an=4a…，数列｛aj是首项为为=2,公比为4

的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，

n11

(II)写出｛bj的通项公式，b=2n-1,及前n项和TE，采用裂项法，化简£十=2)

k=lTkn

<2.

【解答】解：(I)由3S”-4%+2=0,令n=l,可得：ai=2；…

,

当n22时，可得(3S“-4an+2)-(3Sn.1-4an.1+2)=0=»an=4an.I*,

所以数列瓜｝是首项为由=2,公比为4的等比数列，

故：a『2・4n"I=2"|…

2rrl

(IDbn=log22=2n-l，

T『l+3+…+(2n-1)=r?…

£人卡号1山1b,2力…I(n-1；xn…

=1+(14)+号4)+…+(-^7」)=2」V2”.

223n-lnn

21.

【考点】数列的求和；数列递推式.

【分析】(1)依题意，可求得a=l,b=-1,从而得暗加于是可求得a及a誉1rs

产2n+l(n22),观察即可求得数列｛4｝的通项公式;

2n~12n+5

(2)由(1)得——,利用错位相减法可求得—