高中数学人教A版选择性必修（第一册）同步练习：2

《作业推荐》一直线的交点坐标与距离公式综合篇

一、单选题(共48分)

L点(3,4)到直线y=ix-1的距离是()

A.3B.-3C.-D.--

55

【答案】C

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

直线y=久—1的一般式方程为：4%—3y—3=0,

点(3,4)到直线y=\-1的距离是=|

故选：C.

【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，是基础题.

2.已知点”(1,3)到直线/:加久+y-1=0的距离等于1,则实数机等于()

3443

A%B3C-3D]

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式求解即可

【详解】

由题，点M到直线Z的距离为:d=臂掾=1,解得m=-|,

Vm2+124

故选:D

【点睛】

本题考查点到直线距离公式的应用，属于基础题

3.已知P(-l,2),Q(2,4),直线Z:y=kx+3.若P点到直线，的距离等于Q点到直线，的距离，贝收=()

A/或6B.1C.0D.0或2

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得k的值.

【详解】

由题可知货等=华等，解得k=0或|.

Vl+fc2Vl+k23

故选：D

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.

：a—

4.已知直线人:％+ay+6=0,Z2(2)x+3y+2a=0,若LJ/G，则匕与%间的距离为()

A.正B.2C.2V2D照

333

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程3-a(a-2)=。求出a的值，再求两平行线间的距离得解.

【详解】

由题得3—a(a—2)=0,:.CL—3或a=-1.

当时，两直线重合，所以。=3舍去，所以。=1.

当a=-1时，两直线间的距离为了黑示=IV2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查两直线平行的判定和两平行线间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.已知尸、Q分别为直线11：3%+4丫-4=0与/2：3%+4丫+1=0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为()

♦B』C.1D.2—

【答案】B

【解析】

【分析】

易__得直线匕与"平行，当PQ的长度为两平行线间的距离时最短，利用两平行线间的距离公式计算可得答案.

【详解】

解：由直线人:3%+4y—4=0与G：3%+4y+1=0,可得直线与0平行，

当PQ的长度为两平行线间的距离时，线段PQ的长度的最小值，

可得k与％的距离为：嗡整=1，即线段PQ的长度的最小值为1，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.

6.已知A(—2,1),B(l,2),点C为直线尸事:上的动点，则|AC|+|BC|的最小值为()

A.2V2B.2V3

C.2V5D.2V7

【答案】C

【解析】

【分析】

求出点B关于直线y=9久的对称点夕的坐标后，利用两点间的距离公式即可求得答案.

【详解】

设B关于直线y=»_的对称点为8(X0,yo),则"+,，解得［与:2，可得"(2,—―1).由平面几何知识得

x+1

3y0+z_±xo(Jo=T

232

|AC|+|BC|的最小值即是⑻A|=J(2+2尸+(-1-1)2=2V5.

故选：C.

【点睛】

本题考查了点关于直线对称问题，考查了两点间的距离公式，属于基础题.

7.设点4(一2,3),3(3,2),若直线一"+y+2=—X)与线段AB没有交点,贝！Ja的取值范围是()

B.(-co,_1]ug,+oo)

C(-莪D咔,+8)

【答案】C

【解析】

【分析】

因为直线-ax+y+2=0过定点(0,-2),直线-ax+y+2=0与线段4B没有交点,转化为过定点(0,-2)的直线与线段4B无公共

点,画出图像,结合图像,即可求得答案.

【详解】

•••直线-ax+y+2=0与线段4B没有交点

即直线y=ax-2与线段48没有交点对于直线y=ax-2,

令x=0,则y=-2,则直线恒过点C(0,-2)

根据题意,作出如下图像——：

•••C(0,-2),A(-2,3)

•••根据两点求斜率公式可得:直线4c的斜率为心c=签=

•••C(0,-2),B(3,一2)

根据两点求斜率公式可得:直线BC的斜率为/CBC=登=:

3—U3

直线一a%+y+2=0的斜率为a

若直线-ax+y+2=0与线段4B没有交点

则-[<a<9

故选:C.

【点睛】

本题考查了直线与线段无交点求参数范围,解题关键是掌握两点求斜率公式和直线过定点的求法,数形结合,考查了分析能力和计

算能力,属于中档题.

8.已知点4(3,-1),8(5,-2),点P在直线x+y=。上，若使|P4|+|PB|取得最小值，则点P的坐标为()

A.(-L,l)B,(3,-3)C.(/穹

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据图形算出4关于直线x+y=O的对称点为C,求出直线BC,再联立直线和直线久+y=0即可求出P点坐标.

【详解】

如图所示：

设4(3,-1)关于直线x+y=。的对称点为C(x,y),

'y+i_]

得到/3―二0={;二3,即也-3).

-----1------=U

1-5

直线BC为：y+3=l(x-l),即x-4y-13=0.

X=一

(-%—4y—13=05

I%+y=013•

y=一《

即当P(当,-蔡)时，|P4|+|PB|取得最小值.

故选：D

【点睛】

本题主要考查点关于直线对称问题，数形结合为解题的关键，属于中档题.

二、填空题(共18分)

9.过原点。有一条直线Z,它夹在两条直线k：2x-y-2=0与%：x+y+3=0之间的线段恰好被点。平分，则直线1的方程为

【答案】丫="

【解析】

【分析】

设两交点分别为4(a,2a-2),利用中点为原点求解a,b,得到A点坐标，即得解.

【详解】

设两交点分别为4(a,2a-2),B(b,-3-b),

所以直线/的方程为y=gx.

故答案为：y=^x

【点睛】

本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.

10.已知直线Ly=2ax+(a-2)过一、三、四象限，其中aEZ,贝!J点4(1,-3)到直线/的距离为.

【答案】竽

【解析】

【分析】

根据直线/所过象限列不等式组，结合aEZ求得a的值，再根据点到直线距离公式求得点4(1,-3)到直线/的距离.

【详解】

由于直线，:丫=2以+(。-2)过一、三、四象限，所以12a解得0<a<2,由于aCZ,所以a=l,所以直线方程为

2X7t=。，点4到直线的距离为导=管

故答案为：詈

【点睛】

本小题主要考查根据直线所过象限求直线方程，考查点到直线距离公式，属于基础题.

11.已知meR,动直线x+my—1=0过定点4,动直线分mx-y—2m+3=0过定点B,若"与G交于点P(异于点4B),

则AP4B面积最大值是.

【答案】£

【解析】

【分析】

根据题意，将直线，1、%的方程变形，分析可得4、B的坐标，又由直线的方程分析可得动直线匕与动直线％互相垂直，据此可得P

在以4B为直径的圆上，结合4、B的坐标可得P的轨迹方程，由直线与圆的位置关系分析可得当P4=PB时，APAB的面积取得最

大值，计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，对于直线+my-1=0,其恒过定点4,贝1」4(1,0)；

对于直线，2：血丫—y-2m+3=0,变形可得%；根(久-2)=y—3,恒过定点B,则8(2,3),

动直线x+my—1=0,，.一“■动直线，2：「久—y—2,+3=0,有1xm+mx(―1)=0,

则动直线k与动直线％互相垂直，

又由直线k与％交于点P，贝UP在以4B为直径的圆上，

又由4(1,0),5(2,3),

AB=J(l-2(+(0+3尸=V10,

当△P4B为等腰直角三角形时，面积取得最大值，

则有P4=PB=^X鱼=%时，AP4B的面积取得最大值，

此时△P4B的面积的最大值得xV5xV5=|.

故答案为一：

【点睛】

本题轨迹方程的计算，涉及恒过定点的直线，关键是找到P点的轨迹，属于中档题.

三、解答题（共24分）

12.已知m为实数，设直线%的方程为2%+my=1,直线1的方程为巾％+8y=m-2.

（1）若%与"平行，求小的值；

（2）当％与1相交时，用m表示交点4的坐标，并说明点4一定在某一条定直线上.

【答案】（1）m=-4；（2）4（震，一夫）（血力-4），证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m的方程，即可解出实数m的值；

（2）将两直线方程联立可求得交点A的坐标（鬻，-总-4）,然后令兀_=黑，"=-高，消去参数小得出关于x、y

的二元一次方程，即可证得结论.

【详解】

⑴F与％平行，叫黑二;或，解得,一4；

⑵联立仁武江怒2,解得"黑‘"=一意’所以点4（*一意），

m+2

空S=1-3=l+2y,即工一2y-1=0(y*0).

m+4m+4m+4/

因此，点4在直线久-2y-1=0„_•上.

【点睛】

本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.

13.已知直线，1：x-2y+3=0与直线，2：2x+3y-8=0的交点为M.

（I）求过点例且与直线修：3久-y+1=。平行的直线/的方程；

（H）若直线/'过点M,且点P（0,4）到Y的距离为隗,求直线，'的方程.

【答案】（I）3x-y-l=0（II）x-2y+3=0

【解析】

【分析】

（I）联立直线方程可求出交点，根据所求直线过交点且与，3：3x-y+l=0平行即可求解

(II)分斜率存在与不存在两种情况讨论，利用点到直线距离求解即可.

【详解】

(I)联立,解得：M(l,2).

所以与石平行的的直线方程为：y-2=3(x-l),

整理得：3x-y-l=0.

(II)当斜率不存在时，不合题意；

当斜率存在时，设，:y-2=k(x-l),即：kx-y+2-k=0.

由题得：V5=-^=f=>解得：4k2—4fc+1=0,k=：；

Vk2+12

所以，所求直线的方程为：x-2y+3=0.

【点睛】

本题主要考查了两直线的交点，平行直线，点到直线的距离，分类讨论，属于中档题.

14.已知以点4(-1,2)为圆心的圆与直线+2y+7=。相切，过点8(-2,0)的动直线/与圆4相交于M,N两点.

(1)求圆4的方程；

(2)当|MN|=2旧时，求直线/的方程.(用一般式表示)

【答案】(1)(x+l)2+(y-2)2=20；(2)x+2=。或3x-4y+6=0

【解析】

【分析】

(1)由点到直线的距离公式求出圆的半径，再求出圆的方程即可；

(2)由|MN|=2内求出圆心4到直线MN的距离为d,再结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

解：(1)由题意知：点4_—(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆4的半径H,

：.R=^^=2^,

V5

...圆4的方程为：(x+l)2+(y-2)2=20；

(2)设圆心4(-1,2)到直线MN的距离为d,

由垂径定理及勾股定理知：d=加二(的2=J(2%/-(内/=1,

又直一线过点8(-2,0),

当动直线，的斜率不存在时，直线Z的方程为x=-2,显然满足题意；

当动直线，的斜率存在时，设动直线,的方程为：y=k(x+2),

由点4一1,2)到动直线2的距离为1得：嗡科=1,解得：k/

此时直线，的方程为：3x-4y+6=0,

综上，直线/的方程为：3x-4y+6=0或久+2=0.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离，主要考查了垂径定理及勾股定理，重点考查了直线的一般式方程，属中档题.

15.已知直线=-2与工轴的交点为4点P满足线段4P的垂直平分线过