高中数学讲义-直线的参数方程

直线的参数方程

目录

教材内容解析........................................................................................1

学情分析............................................................................................1

教学方法与教学手段.................................................................................2

教学目标...........................................................................................2

教学重点............................................................................................2

教学难点............................................................................................2

教学过程............................................................................................2

课题引入....................................................................................2

二.直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）................................................3

三.参数f的几何意义..........................................................................3

四.直线参数方程的应用........................................................................4

五.本课小结..................................................................................8

六.作业......................................................................................8

教材：人教版普通高中课程标准实验教科书《教学》（A版）选修4—4坐标条与参数方程P35-P39,

分两节课完成，本教案是第一节课，内京主要在P35~P37.

教材内容解析

本节内容是人教A版选修4—4第二讲第三部分的内容.直线是学生最熟悉的几何图形，在教

材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直

线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参

数方程F=*°+'c°sa，。为参数）就是点斜式的变形.在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教

y=%+fsina.

材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程.这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方

法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程.

学情分析

学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性.而对事物的理解多以自己的经验为基础

来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中.高二学生的学习过程更是如此.

之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的

参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入

”方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知

识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备.

教学方法与教学手段

教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）.

教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）.

教学目标

1.利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；

2.理解并掌握直线的参数方程中参数f的几何意义；

3.通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；

4.在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质

选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想.

教学重点

1.分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；

2.直线的参数方程中参数f的几何意义.

教学难点

1.直线的参数方程中参数f的几何意义；

2.直线参数方程中参数f的几何意义的初步应用.

教学过程

一.课题引入

问题L已知直线/：x+y-l=O与抛物线y=V交于A,8两点，求M（T,2）到A,8两点的距离

之积.

解：解析法

।x+y—1=°_（•左门在六上儿l八mi4,t3+\/5.—1+A/53>/5

由〈，可知两交点坐标分别为4----------,--------）,8（---------,--------x）

y=x22222

所以4HM=J（_1—Z1^）2+（2_1^）2,J（_i-Zl^）2+（2・1^）2

=J（3-6.（3+石）=2.

【设计意图】

通过几何法求解距南，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫,

问题2.有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程”.

二.直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）

探究1.一般地，设直线/经过点用0（%,%），且倾斜角为a,动点M（x,y）为直线上任意一点，

直线/的单位方向向量记作e=（cosa,sina）,ae[0,不），那么

M.M//e,因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数/,使得「

MQM=te,—/

即（I-%,y-%）=Kcosa,sina）,于是，有/©/M

尸f=‘cos"为参数）/

y-y0=tsina/疏

因此，把上面的方程叫做经过点“。（%治）,倾斜角为a的直线/的O/"

参数方程.//

直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜

角的正余弦.

注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数J

【设计意图】

通过教呼引导和启发，由学生自己独立或在小组合作的基础上，借助直线的单住方向向量建.立

起直线/的参数方程，这是本节课的其中一个重点和关键.

探究3.参数/的符号又有什么意义呢？

当0<a<万时，sina>0,所以直线/的单位方向向量e的方向总是向上的.

（1）若£>0,由/=2二%=y—%>ony>%，可知点”在点上方，则M。"的方向向上;

sina

(2)若f<0,由/=^^包•=>y-%<0=>y<%,可知点M在点M()下方，则的方向向下；

sina

(3)若f=0,则、=%，从而点M点A/。重合.

【设计意图】

引导学生思考讨论后获取共投，直线的参数/具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的往

置，绝对值表示动点到定点的距青，为后面参数的应用做铺垫，

问题3.如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系

起来？

【设计意图】

回顾教辅概念，理解教物上的任意一点对应一个卖教，皮的生标的绝对值刖好是对应的点到原

点的距.离.

问题4.数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？

—i~NT周—

BO%

X1X2

规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。

己知数轴上两点A,B的坐标分别为乙，XB，则线段AB的中点坐标为土磬，A,8两点间

的距离为|的=,-斌.

类似地，有向直线类似于x轴，则A,3两点间的距离为|4邳=以-端，线段A3的中点对应

的参数为5.

2

【设计意图】

教材中在有向直线上确定两点间的距离，以及两点对应的参教，有些同学不能立刻理解，而用

教轴上两点间的距离以及线段中点的生标来类比，就可以帮助学生很好的理斛，这里类比思维起到

了重要作用.

四.直线参数方程的应用

例1.已知直线/过点M(-1,2),倾斜角为3万，写出直线/的参数方程.

4

解：因为直线/过点M(-l,2),且/的倾斜角为3万，

所以它的参数方程为

1o

x=-\-----1,

2口为参数）

尸2+2

2

变式1.已知直线/过点M(T,2),斜率为-1,写出直线/的参数方程.

解：因为直线/过点”(-1,2),且/的斜率为-1,

所以它的倾斜角为2万，从而直线的参数方程为

4

x=-\------1,

2。为参数）

y=2CH--V--2-1.

.2

变式2.已知直线/过点M(-1,2),斜率为-1,且与抛物线y=V交于A,8两点.求线段AB的长

和点M(-1,2)到A,8两点的距离之积.

解：解法一(解析法)：

因为直线/过点M(-1,2),且/的斜率为-1,

所以它的普通方程为y-2=-(x+l),即x+y-1=0

由y；1=°可知两交点坐标分别为人(土在，/叵

y=x22

-1+V53-V5

22

解法二(参数法(一))：

,V2

将直线/的参数方程a为参数)代入抛物线方程得

>=2+丁.

/+"-2=0

解之得『受叵53叵

所以由参数/的几何意义得|AB|=|MA|+|"M=H+N|=W，

|网.|网=叶冏=|%|=2

解法三（参数法（二））：

1o

x=-l---1,

将直线/的参数方程2（r为参数）代入抛物线方程得

y=2cH--V-21.

2

产+"—2=0

t\+t--V2

所以由韦达定理可知2

t^2=—2

所以由参数/的几何意义得

|=|MA|+|M8|=，|+\t2\=\t]-t2\=4%=M，

|刚.|四.小团=陶=2

【设计意图】

这是教材中的一道例题，做了适当的改动，变成两个问题求解，这样安排便于学生更家易熟悉

直线的参数方程，其次在变式2中，设计了三种方法求解，第一种刚好就是课题引入前的引例让

学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参教的优越性，斛折法家易想，但是不家易算，参数法

的引入就使问题的计算趋.于简单化，这也是引入参教方程的目的所在.

例题小结：

（1）体会参数法在解决几何问题时的方便性;

(2)数轴任意一点对应的坐标x相当于直线上任意一点对应的参数f；

(3)数轴上任意两点为，-之间的距离是|百一百=&,+%)2-4%%,直线上任意两点间的距离

刚好等于A，B两点对应的参数之差的绝对值|4却=/7=而+32-4他•

22

练习.经过点M(2,l)作直线/,交椭圆上+上=1于A,3两点.如果点M恰好为线段的中点,

164

求直线/的方程.

解：解法一：点差法

设4(”),B(x2,y2),则由题意可知

%1+x2=4,

j+%=2.

又因为点A(X1,yJ,BQ2,%)在椭圆上，则有

/2

V+史一

1

'-22221

/1640♦——।y一％=0=—一%___j_

、_2

V必2164一2

I164

因此，直线/的方程为y=-；x+2.

解法二：参数法

设过点M(2,1)的直线/的参数方程为

x=2+Ecosa,

(/为参数)，将其代入椭圆方程整理得

y=l+/sina.

(3sin2(2+l)r2+4(cos+2sina)t-8=0

_4(cosa+2sina)

所以

3sin2(7+1

因为点"(2,D为线段AB的中点，所以空=°,即

cosa+2sina=0

于是直线/的斜率为&=t