高中数学人教A版2019选择性必修 第一册-高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量基本定理 公开课教学设计课件资料

1.2空间向量基本定理(二)

一、内容和内容解析

1.内容

应用空间向量基本定理证明异面直线的垂直、两直线平行，求异面直线成角

以及空间两点间距离.

2.内容解析

选择性必修第一册中关于空间向量安排了四节内容，是必修第二册中平面向

量内容的延续和拓展，空间向量基本定理的内容可以由平面向量的知识类比得至U.

空间向量的四节知识彼此渗透，彼此衔接，共同完成了空间向量的知识体系.本

节重点是空间向量基本定理在解决立体几何问题中线线位置关系的相关问题和

两点间距离问题.

在必修立体几何内容中，证明异面直线垂直、两直线平行以及异面直线成角

的求法，已经有相应的定理、定义作为保证.空间向量基本定理中蕴含的基底法

是解决向量问题的基本方法之一，空间向量应用在立体几何中，有利于学生克服

空间想象力的障碍和空间作图的困难.利用空间向量基底法解立体几何问题，可

以把抽象的立体几何问题平面化，转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和

可操作性.对于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心

素养有着重要意义.

二、目标和目标解析

1.目标

(1)能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行的关系.

(2)掌握利用空间向量基本定理中的基底法证明两直线的垂直和平行，求异面

直线成角的三角函数值以及空间两点间距离.

(3)让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.

（4）通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等

数学学科核心素养.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）通过在具体问题中选择恰当的基底，能够利用直线的方向向量的垂直（平

行）来证明两直线的垂直（平行），加深对直线方向向量含义的理解.

（2）在证明过程中能够熟练利用向量的相关运算，证得最终结果.

（3）理解直线方向向量的夹角与两异面直线成角之间的关系.能够利用直线方向

向量夹角三角函数值得到异面直线夹角的三角函数值.

（4）能够利用基底法解决空间中两点间距离问题.

三、教学问题诊断分析

有空间向量基本定理做支撑，学生不难接受利用“基底法”解决立体几何中

的相关问题.本节的难点在于三方面：一是解答过程中涉及向量的夹角运算，有

些学生会出现夹角找错的情况.二是忽略异面直线成角范围，导致错误答案.三是

对向量的相关运算不熟练，导致结果不正确.

教学中可以适当回顾向量夹角定义，以及不同连接方式下向量的夹角，以避

免运算当中错误的发生.对于异面直线成角的问题，除了回顾定义外，还可以用

教具进行演示，让学生领会的更深刻一些.

四、教学过程设计

（一）旧知回顾

问题1：上节课我们学习了空间向量基本定理，大家还记得它的内容吗？

师生活动：教师进行回答.

追问：在空间向量基本定理中，阐述了基底的选择标准，那么如何选择基底?

师生活动：教师进行回答.

设计意图：本节课以空间向量基本定理为出发点，准确地回顾有利于课程的顺利

展开.

问题2：空间向量都可以用基底表示，那么空间向量间的运算都可以转换成什么

数学量的运算呢？

师生活动：教师进行回答.

设计意图：为本节课内容做铺垫.

（二）概念的理解及巩固应用

问题3：大家还记得如何证明异面直线的垂直吗？

师生活动：教师进行讲解.

追问：这种方法是不是有些难想？学习了空间向量，异面直线的垂直是不是可以

用向量的方法解决？如何解决？

师生活动：教师讲解并指出证明两条直线的平行和垂直，都可以利用向量法解决.

设计意图：例题前的引入环节，让学生在头脑里形成了用向量解决问题的想法.

垂直是两直线的位置关系之一，经过提示，学生很容易能够得到利用空间向量数

量积为零来解决.

例1如图，在平行六面体加8-44012中，4®=4加=4,枫=5,ZDAB=60'

/8例=6r.M.N分别为DGC0的中点

求证：MN±AC,

师生活动：教师分析解题思路，讲解如何找到合适的基底，提示相关的计算方法

以及在计算中关于向量夹角的注意事项.学生动笔进行求解.然后教师给出规范

解答过程.

设计意图：通过具体实例，让学生体会利用“基底法”解决异面垂直的证明方法.

问题4：当异面直线不垂直时，它们所成的角度又该如何计算呢？

师生活动：教师给予解答.

追问：应用空间向量可以解决吗？

师生活动：教师给出正确的解决方法，更要指出异面直线成角的取值范围.

设计意图：由异面直线垂直的证明方法不难推导出利用向量夹角来计算异面成角

的问题，再注意一下取值范围，就完美了.

例2.如图，正方体A5CD-的棱长为1,石,£6分别为仁。,4。,。7)的中点

(1)求证：EF//AC；

(2)求CE与AG所成角的余弦值.

师生活动：第一问关于两直线平行的证明，教师展示规范解答.此题所涉及的基

底为单位正交基底.第二问的异面直线成角余弦值，教师先指出解决方法，然后

提醒异面直线成角的取值范围.最后教师给出规范解答.

设计意图：通过具体实例，让学生体会空间向量法求解异面直线成角余弦值的过

程.在解答过程中还涉及到向量数量积以及向量模长的计算，教师要给与相应的

指导.

问题5：前两个例题，我们解决了两直线位置关系和异面直线成角问题，立体几

何中其实还有距离问题.如何利用向量基底法解决立体几何中两点间的距离呢？

师生活动：首先回顾平面向量中求模长的一般解法,然后教师进行例题3的讲解.

在讲解过程中渗透“求模长就平方”的一般思路.另外，本题还可以利用勾股定

理直接求解.

例3.如图，在长方体45。—44。1。1中，加是^。与8。的交点若。14=2,9G=2,DQ=3.

求用知的长.

设计意图：通过具体实例，让学生体会到利用基底法求两点间距离的一般步骤和

方法.

（三）本节知识拓展

事实上，空间中线线、线面位置关系，三种空间角和空间中的距离问题都可

以用向量基本定理进行求解.本节主要应用空间向量基本定理证明异面直线的垂

直、两直线平行以及求异面直线成角、空间两点间距离.本节没有涉及的其他立

体几何中的问题，如何利用空间向量基本定理解决，请学生们课下进行探索和研

究.

(四)归纳总结、布置作业

归纳总结：1.教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：

(1)如何寻找恰当的基底？

(2)如何利用向量法证明两直线的垂直和平行？

(3)异面直线成角的取值范围是什么？如何利用向量法求异面直线成角的余弦

值？

(4)空间两点间的距离如何利用向量法求得？

2.通过本节的学习，大家要仔细体会用代数运算研究几何问题的思想方法，

还要提高直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象几方面的能力.

设计意图：从知识技能、核心素养以及数学思想三个方面对本节课进行小结.

布置作业：

1、教科书14页练习2.3.

2、教科书15页习题1.2第6题.

五、目标检测设计

1.已知四面体O43C,OB=OC,NAOB=ZAOC=6.

求证：OA1BC

设计意图：考查学生对基底选择标准