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第四章指数函数与对数函数单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数是指数函数的是(
)A. B. C. D.2.方程的根所在的区间是(
)A. B. C. D.3.已知函数,则的(
)A.图象关于原点对称,且在上是增函数B.图象关于轴对称,且在上是增函数C.图象关于原点对称,且在上是减函数D.图象关于轴对称,且在上是减函数4.若,,,则,,的大小关系是(
)A. B. C. D.5.函数的图象大致是(
)A. B.C. D.6.若关于的方程在内有解,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.7.已知函数,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.8.存在两个常数和,设函数的定义域为,则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为(
)①②;③A.0 B.1 C.2 D.3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(多选)下列函数不存在零点的是()A. B.C. D.10.下列说法中正确的是(
)A.函数的值域为B.函数的零点所在区间为C.函数与互为反函数D.函数与函数为同一函数11.已知实数满足,下列选项中正确的是(
)A. B.C. D.12.已知函数,,则下列结论正确的是(
)A.,恒成立,则实数a的取值范围是B.,恒成立,则实数a的取值范围是C.,,则实数a的取值范围是D.,,第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为___________.14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障交通安全,根据国家有关规定:血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,及以上定义为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升了.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过___________个小时才能驾驶.(结果保留整数,参考数据)15.写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.16.已知函数,若,,则________.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)化简或计算下列各式:(1);(2)18.(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分,加快发展冰雪装备器材产业,对筹办2022年冬奥会、残奥会,带动我国近3亿人参与冰雪运动有重要支撑作用.东北某家生产企业,生产某种冰雪产品的年固定成本为100万元,每生产千件需投入,当年产量不足80千件时(万元),当年产量不小于80千件时,(万元).每件产品售价为500元.经市场分析,该企业产品可以全部售完;(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?19.(12分)已知函数是定义在上的偶函数,且当时,,函数在轴左侧的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)若关于的方程有个不相等的实数根,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数且在上最大值和最小值的和为12,令.(1)求实数的值.(2)并探究是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由;(3)解不等式:.21.(12分)已知函数的图象过点.(1)求函数和的解析式;(2)设,若对于任意,都有,求m的取值范围.22.(12分)已知函数(1)设函数是定义在上的奇函数,当时,,求函数的解析式;(2)已知集合①求集合;②当时,函数的最小值为,求实数的值.第四章指数函数与对数函数单元综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数是指数函数的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A,是幂函数,对于B,系数不为1,不是指数函数,对于C,是底数为的指数函数,对于D,底数不满足大于0且不为1,故不是指数函数,故选:C2.方程的根所在的区间是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】令,显然单调递增,又因为,,由零点存在性定理可知:的零点所在区间为,所以的根所在区间为.故选:B3.已知函数,则的(
)A.图象关于原点对称,且在上是增函数B.图象关于轴对称,且在上是增函数C.图象关于原点对称,且在上是减函数D.图象关于轴对称,且在上是减函数【答案】A【解析】定义域为,,为奇函数,图象关于原点对称;当时,为增函数,为减函数,为增函数.故选:A.4.若,,,则,,的大小关系是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,故.故选:B5.函数的图象大致是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】因为,,排除A,所以,故函数是偶函数,图象关于对称,排除B,当时,,排除D,故选:C6.若关于的方程在内有解,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意在内有解,,时,,时,,所以.故选:A.7.已知函数,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】由得:或,因函数,由解得,因此函数有四个不同的零点,当且仅当方程有三个不同的根,函数在上递减,函数值集合为,在上递增,函数值集合为,函数在上递减,函数值集合为,在上递增,函数值集合为,在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图,方程有3个不同的根,当且仅当直线与函数的图象有3个公共点,观察图象知,当或,即或时,直线与函数的图象有3个公共点,所以实数的取值范围是.故选:A8.存在两个常数和,设函数的定义域为,则称函数在上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为(
)①②;③A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】对于①,,又因为,当且仅当,即时取等;所以.对于②,,,,所以对于③,因为当时,,所以时,,,,因为当时,,所以时,,所以.故在其定义域上有界的函数为①.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.(多选)下列函数不存在零点的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】A选项中,令,解得,故和1是函数的零点;B选项中,令,则,因为,所以该方程无解,所以函数无零点;C选项中,令,解得,故-1和1是函数的零点;D选项中,令,方程无解,故函数无零点.故选:BD.10.下列说法中正确的是(
)A.函数的值域为B.函数的零点所在区间为C.函数与互为反函数D.函数与函数为同一函数【答案】ABC【解析】A选项:函数,当时,取最小值为,所以函数的值域为;B选项:因为函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,且,,所以其零点所在区间为,B选项正确;C选项:,即,可得,所以函数与函数互为反函数,C选项正确;D选项:函数与函数的定义域均为,,,不为同一函数,D选项错误;故选:ABC.11.已知实数满足,下列选项中正确的是(
)A. B.C. D.【答案】AC【解析】,故选项A正确;,故选项B错误;,故选项C正确;,,故选项D错误.故选:AC.12.已知函数,,则下列结论正确的是(
)A.,恒成立,则实数a的取值范围是B.,恒成立,则实数a的取值范围是C.,,则实数a的取值范围是D.,,【答案】AC【解析】对于A选项,,恒成立,即,为减函数,所以,A选项正确;对于B选项,,恒成立,即,所以,B选项不正确;对于C选项,,,即,的图像为开口向上的抛物线,所以在对称轴处取最小值,在离对称轴最远处取最大值,所以,C选项正确;对于D选项,,,,即要求的值域是值域的子集,而的值域为,值域为,不满足要求,D选项不正确;故选:AC.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为___________.【答案】【解析】要使函数有意义,则,解得或,所以函数的定义域为.故答案为:.14.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障交通安全,根据国家有关规定:血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,及以上定义为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升了.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过___________个小时才能驾驶.(结果保留整数,参考数据)【答案】5【解析】设个小时后血液中酒精含量为,则,即,当,可得,所以该驾驶员至少经过个小时才能驾驶.故答案为:5.15.写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.【答案】(答案不唯一)【解析】因为,当时在定义域上单调递增,当时,画出,的图象如下所示:要使函数在上单调递增,由图可知当时均可满足函数在上单调递增;故答案为:(答案不唯一)16.已知函数,若,,则________.【答案】【解析】因为,所以,所以,所以函数的定义域为,又因为,,,所以,所以,故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)化简或计算下列各式:(1);(2)【解析】(1).(2).18.(12分)冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分,加快发展冰雪装备器材产业,对筹办2022年冬奥会、残奥会,带动我国近3亿人参与冰雪运动有重要支撑作用.东北某家生产企业,生产某种冰雪产品的年固定成本为100万元,每生产千件需投入,当年产量不足80千件时(万元),当年产量不小于80千件时,(万元).每件产品售价为500元.经市场分析,该企业产品可以全部售完;(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【解析】(1)每件产品售价500元,则千件销售额为万元,由题可知当时:,当时:;(2)当时,,此时当时(万元),当时,,当且仅当“”即“”时“=”成立,所以当年产量为30千件时获利最大,最大利润350万元.19.(12分)已知函数是定义在上的偶函数,且当时,,函数在轴左侧的图象如图所示.(1)求函数的解析式;(2)若关于的方程有个不相等的实数根,求实数的取值范围.【解析】(1)由图象知:,即,解得:,当时,;当时,,,为上的偶函数,当时,;综上所述:;(2)为偶函数,图象关于轴对称,可得图象如下图所示,有个不相等的实数根,等价于与有个不同的交点,由图象可知:,即实数的取值范围为.20.(12分)已知函数且在上最大值和最小值的和为12,令.(1)求实数的值.(2)并探究是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由;(3)解不等式:.【解析】(1)因为函数且在上为单调函数,所以,解得或.因为且,所以;(2)由(1)得,,所以;(3)由(2)得,,且,所以,所以,所以,整理得,,解得,所以原不等式的解集为.21.(12分)已知函数的图象过点.(1)求函数和的解析式;(2)设,若对于任意,都有,求m的取值范围.【解析】(1)因为函数的图象过点,所以,解得,所以.(2)因为且,所以且,因为在上单调递减,在上单调递增所以的最大值是或.因为.所以,若,只需,即,则,设,任取且,则,因为,所以,,即,所以,所以,即,所以在区间
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