专题07二次函数(共74题)-五年(2016-2020)中考数学真题+1年模拟新题分项汇编(原卷版+解析)(北京专用)

五年（2016-2020）中考数学真题+1年模拟新题分项汇编（北京专用）专题07二次函数（共74题）五年中考真题五年中考真题1．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m二．解答题（共5小题）2．（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（12，−1a），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ4．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．6．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共10小题）1．（2020•丰台区二模）如图，抛物线y＝x2﹣1．将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论，其中错误的是（）A．图形C3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1 C．图形C3的周长大于2π D．图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π2．（2020•东城区二模）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞23．（2020•房山区一模）已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（）时，s的值最小．A．3 B．4 C．5 D．64．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（）A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.15．（2020•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1014…y…10525…则当x≥1时，y的最小值是（）A．2 B．1 C．12 6．（2020•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2）．将二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）的图象经过左（右）平移a（a＞0）个单位再上（下）平移b（b＞0）个单位得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．下列关于a，b的取值范围，叙述正确的是（）A．1≤a≤2，3≤b≤4 B．1≤a≤3，4≤b≤5 C．2≤a≤3，5≤b≤6 D．3≤a≤5，4≤b≤67．（2020•西城区校级模拟）定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（）x（单位：m）024y（单位：m）2.253.453.05A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m8．（2020•丰台区模拟）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒9．（2020•丰台区模拟）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18° B．36° C．41° D．58°10．（2020•朝阳区模拟）某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．x=0y=−3 B．x=2y=−1 C．x=3y=0二．填空题（共12小题）11．（2020•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是．12．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．13．（2020•丰台区一模）已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为．14．（2020•西城区一模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．15．（2020•平谷区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是．16．（2020•朝阳区模拟）若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是．17．（2020•北京模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是．18．（2020•海淀区校级一模）若函数y=x2+2(x≤2)2x(x＞2)的函数值y＝6，则自变量19．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．20．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是．21．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．22．（2020•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是．x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04三．解答题（共28小题）23．（2020•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．24．（2020•朝阳区三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（﹣1，1），将A点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，直线y＝2x+m经过点B，与y轴交于点C．（1）求点B，C的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴；（3）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．25．（2020•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴是直线x＝1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q（﹣m，2m﹣1）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．26．（2020•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．直线y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点D（m，1）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C的坐标；（3）点M与点A关于抛物线的对称轴对称，过点M作x轴的垂线l与直线AC交于点N，若MN≥4，结合函数图象，求a的取值范围．27．（2020•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．28．（2020•密云区二模）有这样一个问题：探究函数y=12x3﹣4文文根据学习函数的经验，对函数y=12x3﹣4下面是文文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x3﹣4x+1的自变量x的取值范围是（2）如表是y与x的几组对应值：x…﹣3﹣2−3﹣1−101213223…y…m−﹣352…则m的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程12x3−429．（2020•门头沟区二模）有这样一个问题：探究函数y=1x小菲根据学习函数的经验，对函数y=1x下面是小菲的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x2+x的自变量（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1−2−12312123…y…−26−7m191272351292294289…表中m的值为．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，写出：①x＝1.5时，对应的函数值y约为（结果保留一位小数）；②该函数的一条性质：．30．（2020•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+a2的顶点为A，直线y＝x+3与抛物线交于点B，C（点B在点C的左侧）．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在B，C两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W．①当a＝0时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；②如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．31．（2020•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+a2x+c与y轴交于点（0，2）．（1）求c的值；（2）当a＝2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若抛物线y＝ax2+a2x+c与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．32．（2020•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．33．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．34．（2020•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB＝2OD．（1）当b＝2时，①写出抛物线的对称轴；②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y＝x+b+22和拋物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求35．（2020•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．36．（2020•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1（m≠0）．（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．37．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．38．（2020•房山区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，且AB＝4．抛物线与y轴交于点C，将点C向上移动1个单位得到点D．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D纵坐标（用含有a的代数式表示）；（3）已知点P（﹣4，4），若抛物线与线段PD只有一个公共点，求a的取值范围．39．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．40．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数y＝﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．41．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A（m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．42．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．43．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．44．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．45．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求ba（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．46．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．47．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．48．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．49．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．50．（2020•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A（﹣1，0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）（2）已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．51．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a=12时，写出区域（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．52．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA=2（3）已知点B（m−12，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出53．（2020•西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果点G（0，b）（b＜0）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．（2）求点M（3，0）到直线y＝x+3的距离．（3）如果点N在直线x＝2上运动，并且到直线y＝x+4的距离为4，求N的坐标．54．（2020•丰台区三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．55．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．56．（2020•海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=1mx2﹣2x+1与y轴交于点A，它的顶点为点（1）点A的坐标为，点B的坐标为（用m表示）；（2）已知点M（﹣6，4），点N（3，4），若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．57．（2020•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，有抛物线y＝mx2﹣3mx﹣4m+3和直线y＝3x+6其中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．将点B向右平移6个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标和抛物线的对称轴；（2）若抛物线与折线段A﹣B﹣C恰有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．58．（2020•北京模拟）附加题：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B坐标（用含a的式子表示）；（3）已知点P（1，1a），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a59．（2020•海淀区校级模拟）已知抛物线y＝mx2﹣4mx+3（m＞0）．（1）求出抛物线的对称轴方程以及与y轴的交点坐标；（2）当m＝2时，求出抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知A（1，0），B（4，0），C（3，3）三点构成三角形ABC，当抛物线与三角形ABC的三条边一共有2个交点时，直接写出m的取值范围．60．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个公共点时，直接写出k的取值范围．61．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A（1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．62．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P．（1）求a的值；（2）求点P的坐标（用含k的式子表示）；（3）已知点A（0，1），B（2，1），若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点，直接写出k的取值范围．63．（2020•东城区校级模拟）对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”．（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是（只填选项）．A．正比例函数y＝xB．反比例函数y=C．二次函数y＝x2+2（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（3n，0），N（0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r．①若r＝23，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n的取值范围；②若n＝4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．64．（2020•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3与y轴交于点C，该抛物线对称轴与x轴的交于点A．（1）求该抛物线的对称轴及点A、C的坐标；（2）点A向右移动两个单位长度，向上移动两个单位长度，得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求m的取值范围．65．（2020•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2a（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度得到点B．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）已知点C（1，﹣2a）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．66．（2020•海淀区校级模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+（m﹣2）x+（n﹣2020）（m，n为常数）．（1）若抛物线的的对称轴为直线x＝1，且经过点（0，﹣1），求m，n的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数a，b（a＜b），当a≤x≤b时，恰好有1b≤y≤1a，请直接写出67．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A和顶点D的坐标；（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．68．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）已知点C（2，1），P（1，−32a），点Q在直线PC上，且①求Q点的纵坐标（用含a的式子表示）；②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．五年（2016-2020）中考数学真题+1年模拟新题分项汇编（北京专用）专题07二次函数（共74题）五年中考真题五年中考真题一．选择题（共1小题）1．（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解析】根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则c=54.0解得a=−0.0195b=0.585所以x=−b2a=故选：B．二．解答题（共5小题）2．（2020•北京）小云在学习过程中遇到一个函数y=16|x|（x2﹣x+1）（下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0121322523…y0116167161954872…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是7【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大．【解析】（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y=16|x|（x2﹣x+1）（观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m=16×故答案为73．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（12，−1a），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ【分析】（1）A（0，−1a）向右平移2个单位长度，得到点B（2，（2）A与B关于对称轴x＝1对称；（3）①a＞0时，当x＝2时，y=−1a＜2，当y=−1a时，x②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax−1a=2，x=a+|a+1|a或x=a−|a+1|【解析】（1）A（0，−1点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，−1（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax−1①a＞0时，当x＝2时，y=−1当y=−1a时，x＝0或∴函数与PQ无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax−1x=a+|a+1|a或当a−|a+1|a≤2时，a∴当a≤−12时，抛物线与线段4．（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解析】（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x=−b（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞−4将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥1∴a≥1②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜−4③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥13或a＜−45．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．所以A（1，0），B（3，0），设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），则b=33k+b=0解得k=−1b=3所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；（2）由y＝x2﹣4x+3得到：y＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）．∵y1＝y2，∴x1+x2＝4．令y＝﹣1，y＝﹣x+3，x＝4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，即7＜x1+x2+x3＜8．6．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m＝1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x，令y＝0，得x＝0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=1当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=1∴m的取值范围为19＜m一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共10小题）1．（2020•丰台区二模）如图，抛物线y＝x2﹣1．将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论，其中错误的是（）A．图形C3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1 C．图形C3的周长大于2π D．图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π【分析】画出图象C3，以及以O为圆心，以1为半径的圆，再作出⊙O内接正方形，根据图象即可判断．【解析】如图所示，A、图形C3恰好经过（1，0）、（﹣1，0）、（0，1）、（0，﹣1）4个整点，故正确；B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过1，故正确；C、图形C3的周长小于⊙O的周长，所以图形C3的周长小于2π，故错误；D、图形C3所围成的区域的面积小于⊙O的面积，大于⊙O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域的面积大于2且小于π，故正确；故选：C．2．（2020•东城区二模）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较A、B点到对称轴的距离大小可得到y1，y2的大小关系．【解析】抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣1，而A（1，y1）到直线x＝﹣1的距离比点B（2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，所以2＞y1＞y2．故选：A．3．（2020•房山区一模）已知关于n的函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0．则n取（）时，s的值最小．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到对称轴的取值范围和该函数图象的开口方向，从而可以得到当n取各个选项中的数时，当n是哪个数时，s的值最小，从而可以解答本题．【解析】∵函数s＝an2+bn（n为自然数），当n＝9时，s＜0；当n＝10时，s＞0，∴a＞0，该函数图象开口向上，∴当s＝0时，9＜n＜10，∵n＝0时，s＝0，∴该函数的对称轴n的值在4.5～5之间，∴各个选项中，当n＝5时，s取得的值最小，故选：C．4．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的图象如图所示，则a的值可以为（）A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1【分析】利用x＝﹣1时，y＜2和当x＝2时，y＞3得到a的范围，然后对各选项进行判断．【解析】∵x＝﹣1时，y＜2，即a＜2；当x＝2时，y＞3，即4a＞3，解得a＞3所以34＜故选：B．5．（2020•西城区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1014…y…10525…则当x≥1时，y的最小值是（）A．2 B．1 C．12 【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，得出其对称轴的直线方程，进而可得出结论．【解析】∵由表可知，当x＝﹣1时，y＝10，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝2，∴a−b+c=10c=5解得a=1b=−4∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5，∴其对称轴为直线x=−b∵x≥1，∴当x＝2时，y最小=4ac−故选：B．6．（2020•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2）．将二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）的图象经过左（右）平移a（a＞0）个单位再上（下）平移b（b＞0）个单位得到图象M，使得图象M的顶点落在线段AB上．下列关于a，b的取值范围，叙述正确的是（）A．1≤a≤2，3≤b≤4 B．1≤a≤3，4≤b≤5 C．2≤a≤3，5≤b≤6 D．3≤a≤5，4≤b≤6【分析】先求出二次函数y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）＝m（x﹣1）2﹣2的顶点坐标（1，﹣2），根据题意，二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，平移后的顶点坐标为（1﹣a，﹣2+b），进而得到满足条件的a、b的不等式，解之即可．【解析】∵y＝mx2﹣2mx+m﹣2（m≠0）＝m（x﹣1）2﹣2，∴二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），∵点A坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），∴二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M，∴平移后的顶点坐标为（1﹣a，﹣2+b）∵图象M的顶点落在线段AB上，∴﹣2≤1﹣a≤0，2≤﹣2+b≤3，解得：1≤a≤3，4≤b≤5，故选：B．7．（2020•西城区校级模拟）定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（）x（单位：m）024y（单位：m）2.253.453.05A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m【分析】首先根据提供数据列出函数解析式，然后确定其顶点坐标的横坐标即为本题答案．【解析】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，根据表可得：c=2.254a+2b+c=3.45解得：a=−0.2b=1∴y＝﹣0.2x2+x+2.25＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，∴可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为2.5米，故选：C．8．（2020•丰台区模拟）向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【分析】先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．【解析】∵此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x=6+17∴炮弹所在高度最高时：时间是第12秒．故选：C．9．（2020•丰台区模拟）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18° B．36° C．41° D．58°【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解析】由图象可得，该函数的对称轴x＞18+542且∴36＜x＜54，故选：C．10．（2020•朝阳区模拟）某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…﹣30﹣103…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．x=0y=−3 B．x=2y=−1 C．x=3y=0【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点坐标为（2，﹣1），于是可判断抛物线的开口向上，则x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，然后可判断A选项错误．【解析】∵x＝1和x＝3时，y＝0；∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴顶点坐标为（2，﹣1），∴抛物线的开口向上，∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，∴x＝0，y＝﹣3错误．故选：A．二．填空题（共12小题）11．（2020•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是①②．【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．【解析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），①∵点A（2，0），∴点A在对称轴上，∵m≠0，∴点A一定不在W上；故①正确；②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；③∵E（7，0），∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），∵C（﹣2，4），∴三点不在一条直线上，∴点C，E可能同时在W上，故③错误；故正确结论的序号是①②，故答案为①②．12．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为答案不唯一，如：1（0≤m≤1）（写出一个即可）．【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【解析】由y=xy=x2解得x=0∴函数y1＝x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1），∵函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1，故答案为答案不唯一，如：1（0≤m≤1），13．（2020•丰台区一模）已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点（0，1）；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为0．【分析】（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．【解析】（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，当x＝0时，y＝0+0+1＝1，∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点（0，1），故答案为：（0，1）；（1）∵k为任意正整数，∴k＞0，∴函数图象开口向上，∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x=−2k+12k=−∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵x＞m时，y随x的增大而增大，∴m≥﹣1−1故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．故答案为：0．14．（2020•西城区一模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式y＝x2﹣1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．【解析】∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．故答案为：y＝x2﹣1．15．（2020•平谷区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是﹣1≤y≤3．【分析】根据图象中的数据可以得到当0≤x≤3时，函数值y的取值范围．【解析】由图象可知，当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3．故答案为：﹣1≤y≤3．16．（2020•朝阳区模拟）若点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，且m＜1＜n，则c的取值范围是c＜﹣2．【分析】由已知可知一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点，则有x2+2x+c＝x，可得△＝1﹣4c＞0，再由已知，当x＝1时，3+c＜1，由此可求c的取值．【解析】∵点（m，m），（n，n）（m≠n）都在抛物线y＝x2+2x+c上，∴一次函数y＝x与抛物线y＝x2+2x+c有两个不同的交点，则有x2+2x+c＝x，∴△＝1﹣4c＞0，∴c＜1∵m＜1＜n，∴当x＝1时，3+c＜1，∴c＜﹣2，∴c＜﹣2，故答案为c＜﹣2．17．（2020•北京模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是①②④．【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标的求法即可判断；②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．【解析】①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故答案为：①②④．18．（2020•海淀区校级一模）若函数y=x2+2(x≤2)2x(x＞2)的函数值y＝6，则自变量x的值为【分析】把y＝6直接代入函数y=x【解析】把y＝6代入函数y=x先代入上边的方程得x＝±2，再代入下边的方程x＝3，故x＝2或﹣2或3，故答案为x＝2或﹣2或3．19．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为①④．【分析】用待定系数法确定四条抛物线的表达式，用函数图象的性质即可求解．【解析】将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：−2=4a−2b+cc=3解得：a=−1故抛物线y1的表达式为：y1=−12x2+32x+3，顶点（同理可得：y2=−54x2+154x+3，顶点坐标为：（y3=−58x2+54y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：①④．20．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是2．【分析】根据正方形的性质得到AB=22AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=22∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，AC有最小值2，即正方形的边长AB的最小值是2．故答案为：2．21．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为3；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是m＜n．【分析】利用图象，通过函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象的交点个数判断方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数；利用函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象与直线y＝1的交点位置可判断m、n的大小关系．【解析】函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．22．（2020•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是6.18＜x＜6.19．x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解析】由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．三．解答题（共28小题）23．（2020•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）先求出点A坐标，再根据平移规律即可求出点B坐标；（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1，结合b＞0即可求出b，问题得解；（3）把B坐标代入抛物线解析式，求出b，分b＞1，b＝1，﹣1＜b＜1，b＝﹣1，b＜﹣1，画出函数图象，即可求解．【解析】（1）由题意得抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴为x=−2b∴点A坐标为（b，0），∴点B坐标为（0，3﹣b2）（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵b＞0，∴b＝1．∴抛物线的表达式：y＝﹣x2+2x+2；（3）当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∴b2+1＝3﹣b2∴b＝±1，如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当﹣1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝﹣1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜﹣1时，抛物线与线段AB无交点．∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则﹣1≤b≤1．24．（2020•朝阳区三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（﹣1，1），将A点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，直线y＝2x+m经过点B，与y轴交于点C．（1）求点B，C的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴；（3）若二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）由平移的性质可求点B坐标，代入解析式可求m的值，可求直线解析式，即可求点C坐标；（2）由对称轴为x=−b（3）分类讨论，结合图形，可求解．【解析】（1）∵点A（﹣1，1）向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B（2，3），∵直线y＝2x+m经过点B，∴3＝4+m，∴m＝﹣1，∴直线解析式为：y＝2x﹣1，∵直线y＝2x+m与y轴交于点C．∴点C（0，﹣1）；（2）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴直线x=−−2a（3）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点A（﹣1，1），∴1＝a+2a+c，∴c＝1﹣3a，∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣2ax+1﹣3a，∴顶点坐标为（1，1﹣4a）当a＞0时，如图所示，∴当﹣1＜1﹣3a＜3时，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（﹣1＜x＜2）的图象与射线CB恰有一个公共点，∴0＜a＜2当a＜0时，如图所示，∴﹣1＜1﹣3a＜3，∴−23综上所述：当0＜a＜23或−23＜a＜0时，二次函数y＝ax2﹣2ax+c25．（2020•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）．（1）若抛物线的对称轴是直线x＝1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象；（2）当已知点P（m，2），Q（﹣m，2m﹣1）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）先根据抛物线的对称轴求出m的值，进而求出抛物线解析式即可得出结论；（2）先判断出点P在抛物线与x轴围成的图象内部，分两种情况，利用x＝﹣m时y的值与2m﹣1建立不等式，解不等式即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴m2∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），画出图象如图1所示；（2）∵P（m，2），Q（﹣m，2m﹣1），当x＝m时，y＝﹣m2+m2+3＝3，∴点P在抛物线与x轴围成的图象的内部，∵当x＝﹣m时，y＝﹣m2﹣m2+3＝﹣2m2+3，当m≥0时，点P在第一象限内，∴点P在抛物线与x轴围成的图象的内部，∴线段PQ只有和在x＝m左侧的抛物线相交，∵抛物线与线段PQ恰有一个公共点，∴﹣2m2+3≤2m﹣1，∴m≤﹣2或m≥1，∵m≥0，∴m≥1，当m＜0时，点P在第一象限内，∴点P在抛物线与x轴围成的图象的内部，∴线段PQ只有和在x＝m右侧的抛物线相交，∵抛物线与线段PQ恰有一个公共点，∴﹣2m2+3≤2m﹣1，∴m≤﹣2或m≥1，∵m＜0，∴m≤﹣2，即满足条件的m的范围为m≤﹣2或m≥1．26．（2020•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．直线y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点D（m，1）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C的坐标；（3）点M与点A关于抛物线的对称轴对称，过点M作x轴的垂线l与直线AC交于点N，若MN≥4，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）直线y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点D（m，1），则1＝﹣m+3，即可求解；（2）令y＝ax2+bx+3a＝0，则x1x2=3aa=3①，函数的对称轴为x＝2=12（x1+x2）②，联立①②并解得：x（3）分a＞0、a＜0两种情况，通过画图确定二次函数图象和直线MN的位置关系，进而求解．【解析】（1）∵直线y＝﹣x+3与抛物线的对称轴交于点D（m，1），则1＝﹣m+3，解得：m＝2．∴抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）设点B、C的横坐标分别为x1，x2，则令y＝ax2+bx+3a＝0，则x1x2=3aa=函数的对称轴为x＝2=12（x1+x2），解得：x1+x2＝4联立①②并解得：x1＝1，x2＝3，故点C的坐标为（3，0）；（3）∵抛物线y＝ax2+bx+3a与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，3a）．∵点M与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点M的坐标为（4，3a）．①当a＞0时，如图1．∵MN∥y轴，∴ENOA=EC∴EN＝a．当MN＝3a+a＝4时，得a＝1．结合函数图象，若MN≥4，得a≥1．②当a＜0时，如图2．同理可得MN＝|3a|+|a|＝﹣4a＝4时，得a＝﹣1．结合函数图象，若MN≥4，得a≤﹣1．综上所述，a的取值范围是a≥1或a≤﹣1．27．（2020•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x＝0，即可求出点C的坐标；（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，﹣1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0），∴抛物线的对称轴为直线x=−−2m令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1）；（2）①当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，由（1）知，C（0，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线还经过（2，﹣1），∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），∴图形W内的整点只有（1，﹣1）一个；②如图，由①知，抛物线过点（0，﹣1），（2，﹣1），∵图形W内有2个整数点，∴2＜4m×(−1)−(2m∴﹣2≤m＜﹣1或1＜m≤2，∵m＞0，∴1＜m≤2．28．（2020•密云区二模）有这样一个问题：探究函数y=12x3﹣4文文根据学习函数的经验，对函数y=12x3﹣4下面是文文的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x3﹣4x+1的自变量x的取值范围是x（2）如表是y与x的几组对应值：x…﹣3﹣2−3﹣1−101213223…y…m−﹣352…则m的值为−52（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程12x3−4【分析】（1）函数y=12x3﹣4x+1的自变量（2）把x＝1代入y=12x3﹣4x+1求出（3）利用列表、描点、连线画出函数的图象；（4）方程12x3−4x＝﹣1的正数根，实际上就是函数y=12x【解答】（1）x取任意实数；故答案为：x取任意实数；（2）把x＝1代入y=12x3﹣4x+1得，y=1故答案为：−5（3）根据列表、描点、连线得出函数y=12x（4）通过图象直观得出函数的图象与x轴正半轴交点的横坐标．故答案为：0.3或2.7．29．（2020•门头沟区二模）有这样一个问题：探究函数y=1x小菲根据学习函数的经验，对函数y=1x下面是小菲的探究过程，请补充完整：（1）函数y=1x2+x的自变量x的取值范围是（2）如表是y与x的几组对应值．x…﹣3﹣2﹣1−2−12312123…y…−26−7m191272351292294289…表中m的值为0．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，写出：①x＝1.5时，对应的函数值y约为1.9（结果保留一位小数）；②该函数的一条性质：当x＜0时，y随x的增大而增大．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x＝﹣1时的函数值为m，把x＝﹣1代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出x＝1.5时对应的函数值以及该函数的性质．【解析】（1）函数y=1x2+x的自变量故答案为：x≠0；（2）令x＝﹣1，∴y=1∴m＝0，故答案为0；（3）如图（4）①根据函数图象，①x＝1.5时，对应的函数值y约为1.9，故答案为1.9；②该函