古典概型(第2课时)高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1随机事件与概率10.1.3

古典概型第2课时复习与回顾

2.什么是古典概型，古典概型的特征是怎样的？2.古典概型的概率计算公式是怎样的？如果一个随机试验的样本点和样本空间具有以下两个特征：(1)有限性：(2)等可能性：样本空间的样本点只有有限个;每个样本点发生的可能性相等.

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数。1.事件概率的意义是什么？表示事件发生可能性大小的数值（但不等同于实际结果）.一般地，事件A

的概率用

P(A)

表示.3.计算古典概型问题概率的一般思路是怎样的，要注意什么问题？

(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号

(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果

(必要时可借助图、表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);

(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性，确定试验是古典概型;

(3)计算样本点总个数及某事件包含的样本点个数，求出事件的概率：

注意：

若涉及类似于投掷等问题，一般都应首先对各个投掷物进行标记

(即便是问题中没有明确提出)，以便对不同情况和先后进行顺序区分，从而保证每个样本点的等可能性.接下来，我们继续学习古典概型的概率问题.例析

例1.袋子中有5

个大小质地完全相同的球，其中2

个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2

个球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”；

(3)AB=“两次都摸到红球”．思考(1):

题目中同种颜色的球有编号吗？

没有

因此，为了对不同情况和先后进行顺序区分，首先对球进行编号.如对两个红球分别编号为1、2，三个黄球分别编号为3、4、5.

思考(2):根据

题目中提供的信息，你认为这个试验是古典概型试验吗

是.理由如下(1)第一次摸球和第二次摸球时出现每种可能的结果都是等可能的，所以两次摸球的每一个配对结果出现的可能性也是相同.(2)两次摸球可能出现的配对结果个数是有限的：5×4=20

例1.袋子中有5

个大小质地完全相同的球，其中2

个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2

个球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”；

(3)AB=“两次都摸到红球”．解：

设两个红球编号为1、2，三个黄球编号为3、4、5.则

第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果.

将两次摸球的结果搭配成有序数对，可得到下列结果：第一次第二次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×∴n(Ω)=20

例1.袋子中有5

个大小质地完全相同的球，其中2

个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2

个球，求下列事件的概率：

(1)A=“第一次摸到红球”;(2)B=“第二次摸到红球”；

(3)AB=“两次都摸到红球”．解：(1)∵A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)}∴n(A)=8(2)∵B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,1),(4,2),(5,2)}∴n(B)=8(3)∵AB={(1,2),(2,1)}∴n(AB)=2

思考(3):

如果把此试验改为同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少?思考(3):

如果同时摸出2个球,那么事件AB的概率是多少?同时摸出2个球的可能结果为有：简析：

即Ω={1-2,1-3,1-4,1-5,2-3,2-4,2-5,3-4,3-5,4-5,4-6,5-5}，

且每一个样本点出现的可能性是相同的

∴n(Ω)=10

又∵AB={1-2}，即

n(AB)=112345234534545

依次摸出2个球跟顺序有关，一次性摸出2个球与顺序无关，但相同事件的概率相等.因为样本空间缩减了一半，事件所含的样本点也缩减了一半。思考(4):

若是有放回地先后取出两个球，结果又如何?与同时掷两枚骰子或将一枚骰子先后抛两次的问题类似

例2.从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.

(1)分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.

(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.

设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用有序数组（x1，x2）表示样本点.则

有放回简单随机抽样的样本空间为

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回简单随机抽样的样本空间

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2)，(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性别等比例分层抽样时，

从男生和女生中各抽取一人，，其样本空间为：

Ω3=｛

(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)｝解：(1)

例2.从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.

(1)分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.

(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.

设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组（x1，x2）表示样本点.则

有放回简单随机抽样的样本空间为

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回简单随机抽样的样本空间

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2)，(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性别等比例分层抽样时，

从男生和女生中各抽取一人，，其样本空间为：

Ω3=｛

(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)｝解：(2)(2)设事件A=“抽到两名男生”，则

在有放回简单随机抽样中,

A=

例2.从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人.

(1)分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.

(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.{(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)},即n(A)=4在不放回简单随机抽样中,

A={(B1,B2),(B2,B1)},即n(A)=2在比例分配分层抽样中,

A=

思考:

本题的同一个事在不同抽样方法中的概率不同，对此，你能得到什么启示?

在本问题中，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大.

因此，抽样方法不同，则样本空间不同，同一个事件发生的概率也可能不同.

由于抽样的随机性，有可能出现本题中的“全是是男生”的“极端”样本，这就会极大地影响样本的代表性，降低对总体的估计效果.

在本题中，相对于有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样进行抽样，有效地降低出现“极端”样本的概率.而在按性别等比例分层抽样中，全是男生样本出现的概率为0，完全避免了这类极端样本的出现.

所以，在抽样调查中，改进抽样方法对于提高样本代表性很重要.练习

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，样本空间为：Ω={(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}能构成一组勾股数的样本点为(3,4,5)简析：简析：3.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为_______

简析：

设第一次和第二次抽取的数分别为

x和

y

，则样本点可表示为有序（x，y）.共25个，如表：

∵每次都是

随机抽取，

∴

各样本点出现的可能性是相同的.

∴这是一个古典概型.

又∵事件“第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数”所含的样本点有：

例3.从1~20这20个整数中随机的选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除.求下列事件的概率.

(1)选到的数既能被2整除，又能被3整除.

(2)选到的数能被2整除，或能被3整除.(3