2025届新高考数学冲刺精准复习立体几何的综合应用

2025届新高考数学冲刺精准复习立体几何的综合应用01课前自学02课堂导学目录【课时目标】掌握立体几何中的翻折、探究性问题；能借助空间直角

坐标系，将几何对象坐标化，解决存在性问题、最值问题.【考情概述】立体几何中的翻折、探究性问题常以多选题、解答题的

形式进行考查，难度中等偏上，属于中、低频考点.

知识梳理1.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形

在

关系和

⁠关系上的变化，这类问题称为平面图形的翻

折问题.在高考中，图形的翻折常与空间中的平行、垂直以及空间角相

结合命题.2.对于存在性问题，解题的一般策略为先假设

⁠，然后寻找其等

价条件.若不出现矛盾，则

；若出现矛盾，则

⁠

⁠.位置数量存在肯定存在否定存

在3.立体几何中与面积、体积相关的最值问题，一般求出表达式，运用函

数或不等式的方法求解.回归课本1.判断：

√

√（3）

（RA选一P31练习第2题改编）如图，在四面体

A

－

BCD

中，

E

为

BC

的中点，则直线

AD

上存在点

F

，使得

AE

∥

CF

.

（

✕

）✕

√2.（RA二P164习题8.6第15题改编）如图，在正方形

SG

1

G

2

G

3中，

E

，

F

分别是

G

1

G

2，

G

2

G

3的中点，

D

是

EF

的中点.若沿

SE

，

SF

及

EF

把这

个正方形折成一个四面体，使

G

1，

G

2，

G

3三点重合，重合后的点记为

G

，则在四面体

S

－

EFG

中，下列结论正确的是（

A

）A.

SG

⊥平面

EFG

B.

SD

⊥平面

EFG

C.

GF

⊥平面

SEF

D.

GD

⊥平面

SEF

A3.（RA选一P49复习参考题1第16题改编）如图，在棱长为

a

的正方体

OABC

－

O

'

A

'

B

'

C

'中，

E

，

F

分别是棱

AB

，

BC

上的动点，且

AE

＝

BF

.

当三棱锥

B

'－

BEF

的体积取得最大值时，

A

'

F

与平面

B

'

EF

所成角

的正弦值为（

D

）D4.（多选）（RA二P165习题8.6第21题改编）如图①，在正方形

ABCD

中，

E

为线段

BC

上的动点（不含端点），将△

ABE

沿

AE

翻折，使得二

面角

B

－

AE

－

D

为直二面角，得到如图②所示的四棱锥

B

－

AECD

，

F

为线段

BD

上的动点（不含端点），则在四棱锥

B

－

AECD

中，下列说

法正确的有（

AB

）

ABA.

B

，

E

，

C

，

F

四点不共面B.存在点

F

，使得

CF

∥平面

BAE

C.三棱锥

B

－

ADC

的体积为定值D.存在点

E

使得直线

BE

与直线

CD

垂直5.（RA选一P49复习参考题1第13题改编）如图，把正方形纸片

ABCD

沿对角线

AC

折成直二面角，

E

，

F

分别为

AD

，

BC

的中点，点

O

是原

正方形

ABCD

的中心，则折纸后∠

EOF

的度数为

⁠.120°

考点一

翻折问题例1如图，在矩形

ABCD

中，

BC

＝1，

AB

＝

x

，

BD

与

AC

相交于点

O

，现将△

BAD

沿直线

BD

翻折，则下列说法错误的是（

D

）

DA.存在

x

，在翻折过程中存在某个位置，使得

AB

⊥

OC

B.存在

x

，在翻折过程中存在某个位置，使得

AC

⊥

BD

C.存在

x

，在翻折过程中存在某个位置，使得

AB

⊥平面

ACD

D.存在

x

，在翻折过程中存在某个位置，使得

AC

⊥平面

ABD

→总结提炼

解决空间位置关系的动点问题，关键是搞清翻折前后图形中线面

位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的

性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.注意两种策略：（1）

灵活运用“反证法”或“分析法”；（2）

建立“坐标系”计算.

A.

BE

⊥平面

PED

B.二面角

C

－

BE

－

P

的余弦值为定值BD[对点训练]

（1）

求证：

PA

⊥平面

ABCD

.

总结提炼

1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作

条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标

是否有解，是否有规定范围内的解”等问题.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论

列出等式，解出参数.2.如图，在多面体

ABCDEF

中，平面

ACEF

⊥平面

ABCD

，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

AD

，

AD

＝2，

AB

＝

BC

＝1.（1）

求证：

CD

⊥

AF

.

[对点训练]

考点三

立体几何中的最值、范围问题例3（1）

如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是线段

B

1

D

1上

一动点，则异面直线

AP

与

BD

所成角的取值范围是（

C

）C（2）

（多选）（2022·济宁模拟）如图，

AC

为圆锥

SO

的底面圆

O

的直

径，

B

是圆

O

上异于点

A

，

C

的动点，

SO

＝

OC

＝2，则下列结论正确

的是（

BD

）BD总结提炼

在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大（小）、角的范围等问

题，常用的思路：（1）

直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的

量有相应的最大、最小值，即可求解.（2）

函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标

函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.3.如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，

PA

⊥平面

ABCD

，底面

ABCD

是矩

形，

PA

＝1，

AB

＝2，

AD

＝5，点

E

，

F

分别在

AB

，

BC

上，当空间四

边形

PEFD

的周长最小时，三棱锥

P

－

ADF

外接球的体积为

⁠.

[对点训练]

对接高考（2022·全国乙卷）如图，在四面体

A

－

BCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

为

AC

的中点.（1）

求证：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：（1）

证明：因为

AD

＝

CD

，

E

为

AC

的中点，所以

DE

⊥

AC

.

易

证△

ABD

≌△

CBD

.

所以

AB

＝

CB

.

又因为

E

为

AC

的中点，所以

BE

⊥

AC

.

因为

DE

⊂平面

BED

，

BE

⊂平面

BED

，

DE

∩

BE