2025届新高考数学冲刺精准复习空间直角坐标系与空间向量

2025届新高考数学冲刺精准复习空间直角坐标系与空间向量01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位

置，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌

握空间向量的数量积及其坐标表示.【考情概述】空间向量在新高考中主要体现为工具性，较少单独考

查，常在解答题中结合空间图形的线面关系进行考查，难度不大.

知识梳理1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度（模）为

⁠的向量0单位向量长度（模）为

⁠的向量相等向量方向

且模

⁠的向量

a

＝

b

相反向量方向

且模

⁠的向量

a

的相反向量

为

⁠共线向量表示若干空间向量的有向线段所在的

直线互相

⁠的向量

a

∥

b

共面向量平行于同一个

⁠的向量0

01

相同相等a

＝

b

相反相等－

a

平行或重合a

∥

b

平面注意：空间任意两个向量共面.2.空间向量中的有关定理（1）

共线向量定理对空间任意两个向量

a

，

b

（

a

≠0），

b

与

a

共线的充要条件是存在实

数λ，使得

b

＝

⁠.（2）

共面向量定理如果两个向量

a

，

b

不共线，那么向量

p

与向量

a

，

b

共面的充要条件是

存在有序实数组（

x

，

y

），使得

p

＝

⁠.λ

a

xa

＋

yb

（3）

空间向量基本定理如果三个向量

a

，

b

，

c

不共面，那么对任意一个空间向量

p

，存在唯一

的有序实数组（

x

，

y

，

z

），使得

p

＝

⁠.xa

＋

yb

＋

zc

[0，π]

互相垂直②

两向量的数量积已知空间两个非零向量

a

，

b

，则

⁠叫做

向量

a

，

b

的数量积，记作

a

·

b

，即

⁠

⁠.（2）

空间向量数量积的运算律①

（λ

a

）·

b

＝λ（

a

·

b

），λ∈R；②

交换律：

a

·

b

＝

b

·

a

；③

分配

律：

a

·（

b

＋

c

）＝

a

·

b

＋

a

·

c

；④

a

·（

b

·

c

）≠（

a

·

b

）·

c

（结合律不

成立）.｜

a

｜｜

b

｜

cos

＜

a

，

b

＞a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜

cos

＜

a

，

b

＞4.空间向量的坐标表示及其应用设

a

＝（

a

1，

a

2，

a

3），

b

＝（

b

1，

b

2，

b

3）.向量表示坐标表示数量积

a

·

b

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3共线

a

＝λ

b

a

1＝λ

b

1，

a

2＝λ

b

2，

a

3＝λ

b

3垂直

a

·

b

＝0

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3＝0模｜

a

｜夹角余弦

cos

＜

a

，

b

＞＝

⁠a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3a

1＝λ

b

1，

a

2＝λ

b

2，

a

3＝λ

b

3a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3＝0

规定：零向量与任意向量平行或垂直.

✕✕√√2.（RA选一P15习题1.2第2题改编）若{

a

，

b

，

c

}是空间的一个基底，

则下列各项中，能构成空间的一个基底的是（

C

）A.{

a

，

a

＋

b

，

a

－

b

}B.{

b

，

a

＋

b

，

a

－

b

}C.{

c

，

a

＋

b

，

a

－

b

}D.{

a

＋

b

，

a

－

b

，

a

＋2

b

}3.（RA选一P19定义改编）已知向量

a

＝（1，1，0），

b

＝（－1，0，

2），且

ka

＋

b

与2

a

－

b

互相垂直，则

k

的值为（

A

）B.2D.1CA4.（多选）（RA选一P19定义改编）已知向量

a

＝（－1，λ，－2），

b

＝（2，－1，1），

a

与

b

的夹角为120°，则λ的值为（

AC

）A.17B.－17C.－1D.1

AC属于

考点一

空间向量的线性运算

B

B.2

A总结提炼

用基向量表示指定向量的方法（1）

结合已知向量和所求向量观察图形.（2）

将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.（3）

利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表

示出来.[对点训练]

（2）

判断点

M

是否在平面

ABC

内.

[对点训练]

总结提炼

由向量数量积的定义知，欲求

a

与

b

的数量积，一般需已知｜

a

｜，｜

b

｜和＜

a

，

b

＞，特别要注意

a

与

b

的夹角的大小，前提是要

弄清

a

，

b

的方向.[对点训练]3.在平行六面体

ABCD

－A'B'C'D'中，

AB

＝4，

AD

＝3，AA'＝5，∠

BAD