2025届新高考数学冲刺精准复习空间向量与立体几何

2025届新高考数学冲刺精准复习空间向量与立体几何01课前自学02课堂导学目录【课时目标】理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量的语言

表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；能用向量方法证明立体几何

中有关线面位置关系的一些简单定理.【考情概述】在新高考涉及立体几何的解答题中，第一问多为证明线

线、线面、面面的平行与垂直，可建系应用空间向量法解决，也可不建

系利用立体几何的初步相关定理解决，多为基础题.1.直线的方向向量和平面的法向量（1）

直线的方向向量直线

l

上的向量

e

（

e

≠0）以及与

e

共线的非零向量叫做直线

l

的

⁠

⁠.（2）

平面的法向量如果表示非零向量

n

的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量

n

平面α，记作

，此时，我们把向量

n

叫做平面α

的

.

方向

向量垂直于n

⊥α

法向量

知识梳理2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线

l

1，

l

2的方向向量分别为

n

1，

n

2

l

1∥

l

2

n

1∥

n

2⇔

⁠

l

1⊥

l

2

n

1⊥

n

2⇔

⁠直线

l

的方向向量为

n

，平面α的法

向量为

m

l

∥α

n

⊥

m

⇔

⁠

l

⊥α

n

∥

m

⇔

⁠平面α，β的法向量分别为

n

，

m

α∥β

n

∥

m

⇔

n

＝λ

m

α⊥β

n

⊥

m

⇔

⁠n

1＝λ

n

2

n

1·

n

2＝0

n

·

m

＝0

n

＝λ

m

n

·

m

＝0

常用结论1.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是确定直线的方向向量和

平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间的关系.2.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.比如

用直线的方向向量与平面的法向量来证明线面平行，仍需强调直线

在平面外.回归课本1.判断：（1）

（RA选一P29练习第1题（1））零向量不能作为直线的方向向量

和平面的法向量.

（

√

）（2）

（RA选一P4定义改编）若两条直线平行，则它们的方向向量的方

向相同或相反.

（

√

）（3）

（RA选一P31定义改编）直线

a

的方向向量和平面α的法向量平

行，则

a

∥α.

（

✕

）（4）

（RA选一P32定义改编）若两平面的法向量垂直，则两平面垂直.

（

√

）√√✕√2.（RA选一P29定义改编）向量

m

是直线

l

的方向向量，向量

n

是平面α

的法向量，“

m

⊥

n

”是“

l

∥α”的（

B

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件B3.（RA选一P28例1改编）已知点

A

（1，0，0），

B

（0，1，0），

C

（0，0，1），则下列向量是平面

ABC

的法向量的为（

C

）A.（－1，1，1）B.（1，－1，1）C4.（多选）（RA选一P28例1改编）已知空间中三点

A

（0，1，0），

B

（2，2，0），

C

（－1，3，1），则下列说法正确的是（

ACD

）D.平面

ABC

的一个法向量是（1，－2，5）ACD

（1）

AE

∥平面

BCF

；证明：如图，取

BC

的中点

H

，连接

OH

，则

OH

∥

BD

.

又四边形

ABCD

为正方形，所以

AC

⊥

BD

.

所以

OH

⊥

AC

.

（2）

CF

⊥平面

AEF

.

证明：如图，取

BC

的中点

H

，连接

OH

，则

OH

∥

BD

.

又四边形

ABCD

为正方形，所以

AC

⊥

BD

.

所以

OH

⊥

AC

.

总结提炼

1.利用向量法证明平行问题（1）

线线平行：方向向量平行.（2）

线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直.（3）

面面平行：两平面的法向量平行.2.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法线线垂直证明两直线的方向向量互相垂直，即证两方向向量的数量积为零线面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直考点二

利用空间向量求距离问题

A.①②④B.②③④C.①④D.①②③D[对点训练]

B

考点三

利用空间向量解决有关位置关系的探索问题例3如图，在多面体

ABCC

1

B

1

N

中，

BC

⊥平面

ABB

1

N

，四边形

ABB

1

N

为直角梯形，∠

BAN

＝∠

ABB

1＝90°，

AN

＝

AB

＝

BC

＝4，

BB

1＝

8，

M

为

AB

的中点.在线段

CB

上是否存在一点

P

，使得

MP

∥平面

CNB

1？若存在，求

BP

的长；若不存在，请说明理由.

2.如图，正方形

ADEF

所在平面和等腰梯形

ABCD

所在平面互相垂直，

BC

＝4，

AB

＝

AD

＝2.（1）

求证：

AC

⊥

BF

.

[对点训练]

对接高考（2023·新课标Ⅰ卷节选）如图，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝4.点

A

2，