专题09平行四边形的判定及综合(专题测试)(原卷版+解析)

专题09平行四边形的判定及综合专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2019•泸州）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD2．（2019春•宁波期中）在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）3．（2019春•西湖区校级月考）已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种4．（2019秋•乐清市期末）已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形5．（2018春•江干区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（）A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF6．（2020春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角 B．没有直角 C．至少有一个角是直角 D．有一个角是钝角，一个角是直角7．（2019春•闽侯县期末）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对8．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（）A．15 B．9 C．6 D．39．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（2018春•南山区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④二、填空题11．（2019春•嵊州市期末）用反证法证明“若＞2，则a2＞4”时，应假设．12．（2019春•西湖区校级月考）如图所示，在平行四边形ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．13．（2019春•嘉兴期中）四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件，则使四边形ABCD成为平行四边形．14．（2019•余杭区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，1），移动点A，使得顺次连结这四个点的图形是平行四边形，则移动后点A的坐标为．15．（2019秋•海曙区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝°．16．（2019春•泉州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．三、解答题17．（2018春•拱墅区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．18．（2019春•温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E点D是CA延长线上的一点，且AD＝AC，连接DE、AF（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若四边ADEF的周长是24cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积．19．（2018春•德清县期末）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点O是AC的中点，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC＝BD＝8，∠AOD＝60°，求AB的长．20．（2018春•项城市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．21．（2019•苍南县一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，求∠DEF的度数．22．（2019春•越城区校级期中）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC＝60°，BD＝4，求平行四边形ADEF的面积．23．（2019春•宁波期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？专题09平行四边形的判定及综合专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．（2019•泸州）四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【点拨】由平行四边形的判定定理即可得出答案．【解析】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．2．（2019春•宁波期中）在平面直角坐标系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D的坐标是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）【点拨】根据平行四边形的判定，可以解决问题．【解析】解：若以AB为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，4）若以BC为对角线，则BD∥AC，BD＝AC＝4，∴D（﹣1，﹣4）若以AC为对角线，B，D关于y轴对称，∴D（1，0）故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是熟练利用平行四边形的判定解决问题．3．（2019春•西湖区校级月考）已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④∠A＝∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种【点拨】①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；③根据平行线的性质得角相等，再等量代换后根据平行四边形的判定即可得结论；④根据平行线的性质得角相等，再等量代换后根据平行四边形的判定即可得结论．【解析】解：如图①AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边；③∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边；④∵BC∥AD，∴∠B+∠A＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．4．（2019秋•乐清市期末）已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形【点拨】对于所给等式m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，先移项，故可配成两个完全式，即（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，进而可得m＝n，p＝q，四边形中两组邻边相等，故可判定是平行四边形或对角线互相垂直的四边形．【解析】解：m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq可化简为（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0∴m＝n，p＝q，∵m，n，p，q分别为四边形的四边∴m，n为对边，p＝q为对边，∴可确定其为平行四边形当m，n为邻边时，可以证明有两个顶点在一条对角线的垂直平分线上，∴四边形的对角线互相垂直的四边形．故选：C．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定问题，正确的对式子进行变形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．5．（2018春•江干区期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（）A．AF＝FE B．∠BAE＝∠DCF C．AF⊥CF，CE⊥AE D．BE＝DF【点拨】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解析】解：如图，连接AC与BD相交于O，在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；A、AF＝EF无法证明得到OE＝OF，故本选项正确．B、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；C、若AF⊥CF，CE⊥AE，由直角三角形的性质可得OE＝AC＝OF，故本选项错误；D、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6．（2020春•鹿城区校级期中）用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．至少有两个角是直角 B．没有直角 C．至少有一个角是直角 D．有一个角是钝角，一个角是直角【点拨】熟记反证法的步骤，然后进行判断．【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选：A．【点睛】此题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．（2019春•闽侯县期末）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对【点拨】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．【解析】解：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，根据三角形中位线定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．8．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC的周长为30，BC＝12．则MN的长是（）A．15 B．9 C．6 D．3【点拨】延长AM、AN分别交BC于点F、G，根据BN为∠ABC的角平分线，AN⊥BN得出∠BAN＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AN＝GN．同理AM＝MF，根据三角形中位线定理即可得出结论．【解析】证明：∵△ABC的周长为30，BC＝12．∴AB+AC＝30﹣BC＝18．延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BN为∠ABC的角平分线，∴∠CBN＝∠ABN，∵BN⊥AG，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°，∴∠BAN＝∠AGB，∴AB＝BG，∴AN＝GN，同理AC＝CF，AM＝MF，∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC，∴MN＝（AB+AC﹣BC）＝（18﹣12）＝3．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．9．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【点拨】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：延长BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．（2018春•南山区期末）如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④ B．①② C．②③④ D．①③④【点拨】求出F为CG中点，根据三角形的中位线性质即可判断①，求出∠ACG＝∠AGC＝∠B+∠BCG，即可判断②；根据三角形中位线性质即可判断③，求出2AE＜AB+BC和AE＞EF，即可判断④．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC＝90°，在△AFG和△AFC中∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝CF，∵AE为△ABC的中线，∴BE＝CE，∴EF∥AB，故①正确；∵△AFG≌△AFC，∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，∵∠AGC＝∠B+∠BCG，∴∠ACG＝∠B+∠BCG，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，∴AC＝AG，∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，∵F、E分别是CG、BC的中点，∴EF＝BG，∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；∵∠AFG＝90°，∴∠EAF＜90°，∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，∴∠AFE＞∠EAF，∴AE＞EF，∵EF＝（AB﹣AC），∴（AB﹣AC）＜AE，延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，∵在△ACE和△MBE中∴△ACE≌△MBE（SAS），∴AC＝MB，在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，∵AE＝EM，∴2AE＜AB+AC，∴AE＜（AB+AC），即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形内角和定理、三角形三边关系定理、三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．二、填空题11．（2019春•嵊州市期末）用反证法证明“若＞2，则a2＞4”时，应假设a2≤4．【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是【解析】解：用反证法证明“若＞2，则a2＞4”时，应假设a2≤4．故答案为：a2≤4．【点睛】考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．12．（2019春•西湖区校级月考）如图所示，在平行四边形ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是③④，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．【点拨】由平行四边形的判定依次判断，即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，如果AF＝CF，则无法证明四边形AFCE是平行四边形，故①不合题意；如图，作AM⊥BC交BC于点M，FN⊥BC交BC于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝FN，∵AE＝CF，∴△AME≌△FNC（HL）∴∠AEM＝∠FCN，∴AE∥FC，∴四边形AFCE为平行四边形，若点E在BM上，四边形AFCE为梯形，故②不符合题意；如果∠BAE＝∠FCD，则△ABE≌△DFC（ASA）∴BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故③符合题意；如果∠BEA＝∠FCE，则AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；故④符合题意；故答案为：③④【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．13．（2019春•嘉兴期中）四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，添加一个条件AD＝BC或AB∥CD，则使四边形ABCD成为平行四边形．【点拨】根据平行四边形的判定方法即可解决问题．【解析】解：∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴只要添加AD＝BC或AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：AD＝BC或AB∥CD．【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．14．（2019•余杭区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，1），移动点A，使得顺次连结这四个点的图形是平行四边形，则移动后点A的坐标为（1，1）．【点拨】由题意得出BC＝3，由平行四边形的性质得出AD＝BC＝3，再由题意即可得出结果．【解析】解：∵B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），∴BC＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，∵D（﹣2，1），移动点A，使得顺次连结这四个点的图形是平行四边形，如图所示：∴A（1，1）；故答案为：（1，1）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（2019秋•海曙区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，则∠EPF＝40°．【点拨】依据四边形内角和即可得到∠BAD+∠ABC＝140°，再根据三角形中位线定理即可得到∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，进而得出∠APE+∠BPF＝140°，即可得到∠EPF的度数．【解析】解：∵四边形ABCD中，∠ADC+∠BCD＝220°，∴∠BAD+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，∵E、F分别是AC、BD的中点，P是AB边上的中点，∴PE是△ABC的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PE∥BC，PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∠APE＝∠ABC，∴∠APE+∠BPF＝∠BAD+∠ABC＝140°，∴∠EPF＝180°﹣140°＝40°，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．16．（2019春•泉州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝3或6秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．【点拨】由平行四边形的对边相等，即：PD＝CQ，建立方程即可得出结论；【解析】解：由运动知，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣3t＝t，∴t＝3秒；当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝3t﹣12，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴3t﹣12＝t，∴t＝6秒，故答案为：3或6【点睛】主要考查了平行四边形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．三、解答题17．（2018春•拱墅区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．【点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．（2）想办法求出AE、EF的长，根据S平行四边形AECF＝2•S△AEF计算即可；【解析】（1）证明：连接AF、EC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝5，∵△AEB≌△CFD，∴BE＝DF＝3，∴EF＝2，∴S平行四边形AECF＝2•S△AEF＝2××＝6．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，此题难度适中，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．18．（2019春•温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点F是CB的中点，过点F作FE∥AC交AB于点E点D是CA延长线上的一点，且AD＝AC，连接DE、AF（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若四边ADEF的周长是24cm，BC的长为6cm，求四边形ADEF的面积．【点拨】（1）根据平行线分线段成比例定理得到BE＝AE，根据三角形的中位线的性质得到EF＝AC，于是得到结论；（2）根据已知条件得到AD+AF＝12，求得AF＝12﹣AD，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵点F是CB的中点，过点F作FE∥AC，∴BE＝AE，∴EF＝AC，∵AD＝AC，∴EF＝AD，∵EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：∵四边形ADEF的周长是24cm，∴AD+AF＝12，∴AF＝12﹣AD，∵AC＝2AD，CF＝BC＝3，∴AC2+CF2＝AF2，即（2AD）2+9＝（12﹣AD）2，∴AD＝﹣4，∴四边形ADEF的面积＝AD•CF＝3﹣12．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（2018春•德清县期末）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点O是AC的中点，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC＝BD＝8，∠AOD＝60°，求AB的长．【点拨】（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD＝OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；（2）只要证明四边形ABCD是矩形，△AOD是等边三角形即可解决问题；【解析】（1）证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AC＝BD＝8，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴OA＝OD，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝4，∴AB＝＝4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（2018春•项城市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．【点拨】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出BC＝FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC为△FEG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，又∵H是FG的中点，∴FH＝FG，∴BC＝FH．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，∵CE＝CB，∴∠BEC＝∠EBC＝75°，∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，∴∠DAB＝40°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．21．（2019•苍南县一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，求∠DEF的度数．【点拨】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF＝∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH＝AD，FH＝AF，再根据等边对等角可得∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，然后求出∠DHF＝∠BAC，等量代换即可得到∠DHF＝∠DEF．【解析】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．∵∠AHF＝20°，∠AHD＝50°，∴∠DEF＝∠DHF＝∠AHF+∠AHD＝20°+50°＝